secao-102

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| MA211 - Cálculo II | Integrais duplas
Exercícios
Integrais duplas
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Exercício Contextualizado Prática da Técnica Prática de Conceitos Demonstrações
Problemas Complexos
Outros
resposta solução
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 Conteúdos
Sobre
retângulo
Iteradas
Sobre região
geral
Em
coordenadas
polares
Área de
superfície
Aplicações
 Bibliografia
 Exercícios
3032    
Considere a integral
1. Desenhe a região de integração.
2. Calcule o valor da integral.
ver resposta
2076    
sin dydx.∫
1
0
∫
1
x2
x3 y3
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/
https://cursos.ime.unicamp.br/usuario/logar-se/
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https://cursos.ime.unicamp.br/usuario/novasenha/email/
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https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/integrais-duplas/
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https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/integrais-duplas/sobre-retangulo/
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https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/bibliografia/
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mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203032
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202076
Seja o retângulo , . Calcule , sendo 
igual a
1. 
2. 
ver resposta
3034    
Uma região é mostrada na figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas
polares ou retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é
uma função qualquer contínua em 
ver resposta
2938    
R 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 f(x, y) dxdy∬
R
f(x, y)
1
(x + y)2
1
1 + + 2xy +x2 y2
R
f(x, y) dA∬
R
f
R.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203034
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202938
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função
densidade , sendo: a região triangular com vértices e 
.
ver resposta
2849    
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde é o círculo
, 
ver resposta
3092    
1.   Seja e considere uma subdivisão uniforme do retângulo
 em retângulos menores. Tome como sendo o
centro do -ésimo  retângulo e aproxime a integral dupla de sobre pela soma
de Riemann resultante.
2.  Compare o resultado obtido no item anterior com o valor exato da integral.
2408    
Inverta a ordem de integração.
1. 
2.  
3. 
ver resposta
3108    
Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cone 
que está acima da região do primeiro quadrante limitada pela reta e a parábola
.
ver resposta
2689    
Passe para coordenadas polares e calcule.     
D
ρ D (0, 0), (2, 1), (0, 3)
ρ(x, y) = x + y
xy dxdy∬
R
R
+ − 2y ≤ 0x2 y2 x ≥ 0.
f(x, y) = x − 2y
R = [0, 2] × [0, 2] 16 ( , )x∗k y
∗
k
k f R
[ f(x, y) dx]dy∫
1
0
∫
ey
ey−1
[ f(x, y) dy]dx∫
1
0
∫
x+1
2x
[ f(x, y) dy]dx∫
π
4
0
∫
tan(x)
0
= 4 + 4z2 x2 y2
y = x
y = x2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202849
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203092
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mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203108
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202689
1.   
2.             
ver solução
3015    
1.   Uma luminária tem duas lâmpadas de um tipo com tempo de vida médio de
1.000 horas. Supondo que possamos modelar a probabilidade de falha dessas
lâmpadas por uma função densidade exponencial com média ,
determine a probabilidade de que ambas as lâmpadas venham a falhar dentro de
um período de 1.000 horas.
2.  Outra luminária tem somente uma lâmpada do mesmo tipo das do item anterior.
Se a lâmpada queima e é trocada por outra to mesmo tipo, determine a
probabilidade de que as duas venham a falhar dentro de 1.000 horas.
ver resposta
3027    
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
ver resposta
2383    
Calcule a integral iterada.
1. 
2. 
ver resposta
3096    
1.   Faça um esboço do sólido no primeiro octante compreendido pelos planos
, , , e .
xy dydx∫
1
0
∫
1+ 1−x2√
1− 1−x2√
dydx∫
a
−a
∫
−a2 x2√
− −a2 x2√
μ = 1.000
(1 − x − y) dydx.∫
1
0
∫
1−x
0
( + ) dydx∫
4
1
∫
2
1
x
y
y
x
dxdy∫
1
0
∫
3
0
ex+3y
x = 0 z = 0 x = 5 z − y = 0 z = −2y + 6
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203015
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203027
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202383
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203096
2.  Calcule o volume do sólido dividindo-o em duas partes.
3013    
A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias e é
1.  Determine a constante .
2.  Determine .
3.  Determine .
ver resposta
3019    
Esboce a região de integração para a integral iterada .
ver resposta
3035    
Uma região é mostrada na figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas
polares ou retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é
uma função qualquer contínua em 
ver resposta
X Y
f(x, y) = {Cx(1 + y),
0,
se 0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 2,
caso contrário.
C
P(X ≤ 1,  Y ≤ 1)
P(X + Y ≤ 1)
f(x, y) dxdy∫
2π
π
∫
ln(y)
sin y
R
f(x, y) dA∬
R
f
R.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203013
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203019
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203035
2918    
Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o
canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for
, é mais difícil girar a pá em torno do eixo ou do eixo ?
ver solução
2404    
Considere a integral iterada dada por
1.  Desenhe a região de integração no plano 
2.  Calcule a integral acima.
ver resposta
3111    
As equações paramétricas
representam o cone que resulta quando a reta do plano é girada em torno do
eixo . Determine a área de superfície da parte do cone para a qual e
.
ver solução
2846    
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde é a região
delimitada pelo semicírculo e o eixo 
ver resposta
2073    
Seja o retângulo , . Calcule , sendo 
igual a
1.  
2.  
ver resposta
ρ(x, y) = 1 + 0, 1 ⋅ x x y
dydx.∫
1
0
∫
x√
x
ey
y
xy.
x = u, y = u cos v, z = u sin v
y = x xy
x 0 ≤ u ≤ 2
0 ≤ v ≤ 2π
dA∬
D
e− −x
2 y 2 D
x = 4 − y2
− −−−−√ y.
R 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 f(x, y) dxdy∬
R
f(x, y)
1
x cos(xy)
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202918mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202404
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203111
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202846
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202073
2935    
Utilize o resultado   para calcular as integrais:
1. 
2. 
ver resposta
3030    
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
.
ver resposta
3008    
Calcule o centro de massa da região: o triângulo de vértices e e
a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.
ver resposta
3002    
A integral , em que , representa o volume de um
sólido. Esboce o sólido.
ver resposta
3011    
A fronteira de uma lâmina consiste nos semicírculos e   ,
juntamente com as partes do eixo que os une. Encontre o centro de massa da lâmina
se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.
ver resposta
3098    
Como não há antiderivada elementar da função , a integral
não pode ser calculada integrando-se primeiro em relação a . Calcule essa integral
expressando-a como uma integral iterada equivalente com ordem de integração
invertida.
dx =∫
∞
−∞
e−x
2
π−−√
dx∫
∞
0
x2e−x
2
dx∫
∞
0
x−−√ e
−x
f(x, y) dydx∫
1
0
∫
π/4
arctan x
D (0, 0), (0, 1) (1, 1)
∫ dA∫
R
9 − y2
− −−−−√ R = [0, 4] × [0, 2]
y = 1 − x2
− −−−−√ y = 4 − x2
− −−−−√
x
ex
2
dxdy∫
2
0
∫
1
y/2
ex
2
x
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202935
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203030
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203008
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203002
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203011
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203098
ver solução
2911    
Ao calcular por integração dupla o volume do sólido situado abaixo do gráfico de
 e limitado inferiormente por uma certa região no plano ,
chegou-se à seguinte expressão:
1.  Esboce a região 
2.  Expresse numa única integral dupla em coordenadas polares.
3.  Efetue a integração para calcular 
ver resposta
2353    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   e 
2.   , e 
ver resposta
2416    
Determine o volume do sólido descrito abaixo.
1.   Limitado pelo cilindro e pelos planos , e , no
primeiro octante.
2.  Cuja base é a região no plano que é limitada pela parábola e pela
reta , enquanto o topo do sólido é limitado pelo plano 
3.   No primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro   
 e pelo plano 
ver resposta
2110    
Sejam e duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos e
 Use o seguinte resultado
onde é o retângulo e , para calcular as integrais
V
f(x, y) = e +x
2 y 2 D xy
V = dydx − dydx.∫
2
0
∫
4−x2√
0
e +x
2 y 2 ∫
1
0
∫
1−x2√
0
e +x
2 y 2
D.
V
V .
+ 4 ≤ 4x2 y2 x + y ≤ z ≤ x + y + 1.
x ≥ 0 x ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ .ey
2
+ = 1x2 y2 y = z x = 0 z = 0
xy y = 4 − x2
y = 3x z = x + 4.
+ = 4x2 y2 z + y = 3.
f(x) g(x) [a, b]
[c, d].
f(x)g(y) dxdy = ( f(x) dx)( g(y) dy),∬
R
∫
b
a
∫
d
c
R a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202911
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202353
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202416
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202110
1. , onde é o retângulo 
2. , onde é o retângulo 
ver resposta
3018    
Esboce a região de integração para a integral iterada .
ver resposta
3106    
Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cilindro 
que está acima do retângulo .
ver resposta
2109    
Sejam e duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos e
 Use o seguinte resultado
onde é o retângulo e , para calcular as integrais
1.   , onde é o retângulo 
2.   , onde é o retângulo 
ver resposta
3023    
Esboce a região de integração e calcule a integral .
ver resposta
2023    
dxdy∬
R
xsin2
1 + 4y2
R 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ .
π
2
1
2
dxdy∬
R
xy sinx
1 + 4y2
R 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ 1.
π
2
f(x, y) dxdy∫
1
0
∫
3 y√
y√
+ = 9y2 z2
R = {(x, y) ∈ ;  0 ≤ x ≤ 2,   − 3 ≤ y ≤ 3}R2
f(x) g(x) [a, b]
[c, d].
f(x)g(y) dxdy = ( f(x) dx)( g(y) dy),∬
R
∫
b
a
∫
d
c
R a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d
x ln(y) dxdy∬
R
R 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2.
xy dxdy∬
R
e −x
2 y 2 R −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3.
dxdy∫
ln 8
1
∫
ln y
0
ex+y
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203018
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203106
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202109
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203023
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202023
Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.
1.   
2.   
ver resposta
3021    
Esboce a região de integração e calcule a integral .
ver resposta
3001    
A figura mostra o mapa de contorno de no quadrado .
1. Use a Regra do Ponto Médio com para estimar o valor de
.
2. Estime o valor médio de .
2384    
Calcule a integral iterada.
3 dA, R = {(x, y) ∈ : −2 ≤ x ≤ 2,  1 ≤ y ≤ 6}.∬
R
R
2
(4 − 2y) dA, R = [0, 1] × [0, 1].∬
R
x sin y dydx∫
π
0
∫
x
0
f R = [0, 4] × [0, 4]
m = n = 2
∫ f(x, y) dA∫
R
f
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203021
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203001
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202384
1.  
2. 
ver resposta
2111    
Utilize simetria para calcular , onde é a região limitada pelo
quadrado com vértices e 
ver resposta
2019    
Uma piscina de 8 por 12 metros está cheia de água. A profundidade é medida em
intervalos de 2 metros, começando em um canto da piscina, e os valores foram
registrados na tabela. Estime o volume de água na piscina.
ver resposta
2350    
Determine o valor médio de sobre o retângulo 
ver resposta
2209    
Calcule a integral dupla.
1. limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.
2. região no primeiro quadrante limitada pelas retas ,
, e 
(u − v dudv∫
1
0
∫
1
0
)5
r θ dθdr∫
2
0
∫
π
0
sin2
(2 − 3x + 4y) dA∬
D
D
(±5, 0) (0, ±5).
0
2
4
6
8
0
1
1
1
1
1
2
1, 5
1, 5
1, 8
1, 5
1
4
2
2
2, 7
2
1
6
2, 4
2, 8
3
2, 3
1
8
2, 8
3
3, 6
2, 7
1, 5
10
3
3, 6
4
3
2
12
3
3
3, 2
2, 5
2
f(x, y) = ey x + ey− −−−−√
R = [0, 4] × [0, 1].
(2x − y) dA, D∬
D
dA, D∬
D
x
y
y = x
y = 2x x = 1 x = 2.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202111
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202019
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202350
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202209
3. o quadrado , \;
4. região triangular cortadodo primeiro quadrante do
plano pela reta 
ver resposta
3112    
Encontre a área da parte da superfície que fica acima do retângulo do
plano cujas coordenadas satisfazem e .
ver solução
2843    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2842    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2108    
Sejam e duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos e
 Use o seguinte resultado
onde é o retângulo e , para calcular as integrais
1.   , onde é o retângulo 
2.   , onde é o retângulo 
ver resposta
dA, D∬
D
1
xy
1 ≤ x ≤ 2 1 ≤ y ≤ 2.
(x − ) dA, D∬
D
y√
xy x + y = 1.
z = 4 − x2
− −−−−
√ R
xy 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 4
dydx∫
1
−1
∫
1−x2√
0
xdydx∫
1
0
∫
x−x2√
0
f(x) g(x) [a, b]
[c, d].
f(x)g(y) dxdy = ( f(x) dx)( g(y) dy),∬
R
∫
b
a
∫
d
c
R a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d
∫ x dxdy∫
R
y2 R 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3.
∫ x cos(2y) dxdy∫
R
R 0 ≤ x ≤ 1, − ≤ y ≤ .
π
4
π
4
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203112
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202843
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202842
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202108
2356    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.  
2.   e 
ver resposta
3095    
Cada integral iterada abaixo representa o volume de um sólido. Faça um esboço do
sólido. (Não é necessário calcular o volume.)
1.  
2.  
2890    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2208    
Calcule a integral dupla.
1.  
2.  
3. 
4. 
5. região com vértices , e 
ver resposta
+ ≤ z ≤ 2x.x2 y2
x ≤ z ≤ 1 − y2 x ≥ 0.
(2 − x − y) dydx∫
1
0
∫
1
0
( + ) dxdy∫
2
−2
∫
2
−2
x2 y2
dydx∫
a
0
∫
−a2 x2√
0
dA, D = {(x, y) ∈ | 0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x}.∬
D
x3y2 R2
xdA, D = {(x, y) ∈ | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sinx}.∬
D
R
2
dA, D = {(x, y) ∈ | 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ ln(x)}.∬
D
x3 R2
dA, D = {(x, y) ∈ | 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y}.∬
D
y2exy R2
dA, D∬
D
y3 (0, 2) (1, 1) (3, 2).
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202356
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203095
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202890
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202208
2024    
Se é uma função constante, , e mostre que
ver resposta
3016    
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
ver resposta
3109    
Encontre a área da região descrita como sendo a parte do cone dentro
do cilindro .
3107    
Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do plano 
no primeiro octante.
2210    
Considere a integral
1.  Faça um esboço da região de integração.
2.  Calcule a integral sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
ver resposta
2940    
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função
densidade , quando: é delimitada por , , e
.
ver resposta
2260    
Escreva a integral dupla
f f(x, y) = k R = [a, b] × [c, d],
k dA = k(b − a)(d − c).∬
R
(4 − x − 2y) dxdy.∫
1
0
∫
1
0
z = +x2 y2
− −−−−−√
+ = 2xx2 y2
2x + 2y + z = 8
y dxdy.∫
2
0
∫
1
y
2
ex
3
D
ρ D y = ex y = 0 x = 0
x = 1; ρ(x, y) = y
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202024
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203016
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203109
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203107
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202210
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202940
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202260
onde é limitada pelas retas , e , das duas formas possíveis
(mudando a ordem de integração). Escolha uma dessas formas e calcule o valor dessa
integral.
ver resposta
2415    
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
1.  
2.  
3.  
ver resposta
2847    
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde é a região
acima do eixo do e dentro da circunferência 
ver resposta
2894    
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde
ver resposta
3153    
Mude a ordem de integração para mostrar que:
onde e são constantes e .
x cos y dA,∬
R
R y = 0 x = π/4 y = x
dydx∫
4
0
∫
2
x√
1
+ 1y3
dydx∫
π
0
∫
π
x
sin y
y
2 sin(xy) dydx.∫
2
0
∫
2
x
y2
cos( + ) dA∬
R
x2 y2 R
x + = 9.x2 y2
arctan( ) dA∬
R
y
x
R = {(x, y) ∈ |1 ≤ + ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.R2 x2 y2
[ f(x) dx] dy = (a − x) f(x) dx,∫
a
0
∫
y
0
em(a−x) ∫
a
0
em(a−x)
a m a > 0
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202415
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202847
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202894
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203153
3036    
Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou
retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é uma função
qualquer contínua em 
ver resposta
3113    
A tendência de uma lâmina de resistir a uma mudança no seu movimento de rotação
em torno de um eixo é medida pelo seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se
a lâmina ocupar uma região do plano e se sua densidade for uma função
contínua em , então os momentos de inércia em torno dos eixos , e são
denotados por , e , respectivamente, e são definidos por
Considere a lâmina retangular que ocupa a região descrita pelas desigualdades
 e . Supondo que a lâmina tenha densidade constante, mostre
que
2936    
R
f(x, y) dA∬
R
f
R.
R xy δ(x, y)
R x y z
Ix Iy Iz
Ix
Iy
Iz
= δ(x, y) dA,∬
R
y2
= δ(x, y) dA,∬
R
x2
= ( + )δ(x, y) dA.∬
R
x2 y2
0 ≤ x ≤ a 0 ≤ y ≤ b δ
= ,Ix
δab3
3
= ,Iy
δ ba3
3
= .Iz
δab( + )a2 b2
3
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203036
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203113
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202936
Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo , , de modo
que a densidade de carga em é (medida em coulombs por
metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.
ver resposta
2779    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é o
círculo 
ver resposta
3104    
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla
onde é a região contida no círculo .
ver resposta
2999    
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
.
ver resposta
3099    
Mostre (verifique) que as integrais abaixo podem ser calculadas como:
1.
2.
1 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 2
(x, y) σ(x, y) = 2xy + y2
( + 2y) dxdy∬
R
x2 R
+ ≤ 4.x2 y2
dA,∬
R
e−( + )x
2 y 2
R + = 1x2 y2
f(x, y) dydx∫
2
1
∫
ln(x)
0
6 y dxdy = ( − 16y) dy∫
5
1
∫
y/2
2
x2 ∫
5
1
1
4
y4
6 y dydx = ( − 12 ) dx∫
5
1
∫
x/2
2
x2 ∫
5
1
3
4
x4 x2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202779
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203104mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202999
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203099
3022    
Esboce a região de integração e calcule a integral .
ver resposta
2077    
Calcule a integral dupla.
1. 
2. 
ver resposta
3028    
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. .
ver resposta
2264    
Calcule sendo dados:
1.   e 
2.   e .
3.   e é o triângulo de vértices , e
4.   e a região compreendida entre os gráficos das funções
 e , com 
ver resposta
2840    
( y − 2xy) dydx∫
3
0
∫
0
−2
x2
(6 − 5 ) dA, R = {(x, y) ∈ : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.∬
R
x2y3 y4 R2
dA, R = {(x, y) ∈ : 0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}.∬
R
xy2
+ 1x2
R
2
f(x, y) dydx∫
4
0
∫
x√
0
f(x, y) dxdy∬
B
f(x, y) =
1
ln(y)
B = {(x, y) ∈ | 2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ }.R2 1
y
f(x, y) = xy cosx2 B = {(x, y) ∈ | 0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1}R2 x2
f(x, y) = cos(2y) 4 − xsin2
− −−−−−−−√ B (0, 0) (0, )π
2
( , ).π
2
π
2
f(x, y) = x + y B
y = x y = ex 0 ≤ x ≤ 1.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203022
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202077
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203028
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202264
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202840
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é
a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 
ver resposta
2690    
Passe para coordenadas polares e calcule.      
1.   , em que .
2.   , onde é a região do primeiro quadrante compreendida entre os
círculos x^2+y^2=4 x^2+y^2=2x.$ 
ver solução
2259    
Considere a integral
1.  Esboce a região de integração.
2.  Calcule a integral usando a ordem de integração apropriada.
ver resposta
2410    
Inverta a ordem de integração.
1.   
2.   
3.   
ver resposta
2839    
arctan( ) dA∬
R
y
x
R
+ = 25.x2 y2
dydx∫
a
0
∫
x
0
+x2 y2
− −−−−−
√ a > 0
xdA∬
D
D
e
dxdy.∫
1
0
∫
3
3y
ex
2
[ f(x, y) dy]dx∫
1
0
∫
2x√
x−x2√
[ f(x, y) dy]dx, a > 0.∫
3a
0
∫
4ax−x2√
x
3√
3
[ f(x, y) dy]dx∫
π
0
∫
sin x
0
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202690
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202259
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202410
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202839
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde
 é a região acima do eixo e dentro da circunferência 
ver resposta
2357    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   , e 
2.   e 
ver resposta
3102    
A reta intersecta a parábola nos pontos e . Mostre
que, se denotar a região englobada por e , então
3105    
Mostre que
3110    
A parte da superfície
entre o plano e o plano é um cone circular reto de altura e raio . Use uma
integral dupla para mostrar que a área da superfície lateral desse cone é dada por
.
2934    
Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo
das retas de leste a oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para
dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
ver resposta
2848    
∬ R sin( + ) dAx2 y2
R x + = 9.x2 y2
4x + 2y ≥ z ≥ 3x + y + 1 x ≥ 0 y ≥ 0.
0 ≤ z ≤ sin y3 ≤ y ≤ .x−−√ π−−√3
y = 2 − x y = x2 (−2, 4) (1, 1)
R y = 2 − x y = x2
(1 + 2y) dA = (1 + 2y) dydx = 18, 9∬
R
∫
1
−2
∫
2−x
x2
dxdy = .∫
+∞
0
∫
+∞
0
1
(1 + +x2 y2)2
π
4
z = (a,  h > 0)
h
a
+x2 y2
− −−−−−
√
xy z = h h a
S = πa +a2 h2
− −−−−−√
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202357
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203102
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203105
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203110
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202934
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202848
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde é o disco com centro na
origem e raio 3.
ver resposta
2207    
Calcule as integrais iteradas.
1. 
2. 
ver resposta
2937    
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
 e tem função densidade
ver resposta
2785    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é
limitado pelo círculo e pela reta 
ver resposta
2017    
Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
ver solução
2784    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é
limitado pelo triângulo de vértices , e 
ver solução
xy dA∬
D
D
drdθ∫
π/2
0
∫
cos θ
0
esin θ
dudv∫
1
0
∫
v
0
1 − v2
− −−−−√
D = {(x, y) ∈ : 0 ≤ x ≤ 2,   − 1 ≤ y ≤ 1}R2
ρ(x, y) = x .y2
dA∬
R
+x2 y2
− −−−−−
√ R
y = 2x − x2
− −−−−−
√ y = x.
3x + 2y + z = 6.
dA∬
R
+x2 y2
− −−−−−
√ R
(0, 0) (3, 0) (3, 3).
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202207
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202937
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202785
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202017
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202784
2851    
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde é a região, no plano ,
limitada pela curva (dada em coordenadas polares) , 
ver resposta
3100    
Mostre (verifique) que as integrais abaixo podem ser calculadas como:
1.  
2.  
2381    
Calcule a integral iterada.
1. 
2. 
ver resposta
2914    
Considere a integral dada em coordenadas polares por
a qual representa a área de uma região do plano 
1. Escreva a região em coordenadas cartesianas.
2. Faça um esboço da região 
3. Calcule a área da região 
ver resposta
3097    
xdxdy∬
R
R xy
ρ = cos(3θ) − ≤ θ ≤ .
π
6
π
6
6 y dxdy = ( − 16y) dy∫
5
1
∫
y/2
2
x2 ∫
5
1
1
4
y4
6 y dydx = ( − 12 ) dx∫
5
1
∫
x/2
2
x2 ∫
5
1
3
4
x4 x2
(1 + 4xy) dxdy∫
3
1
∫
1
0
( + ) dydx∫
4
2
∫
1
−1
x2 y2
r drdθ,∫
π/4
0
∫
2 cos θ
0
R xy.
R
R.
R.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202851
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203100
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202381
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202914
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203097
Suponha que a temperatura, em graus Celsius, num ponto   de uma chapa
metálica plana seja , onde e são medidos em metros.
Calcule a temperatura média da porção retangular da chapa dada por e
.
ver resposta
2921    
Utilize a integral dupla para determinar a área da região: dentro da cardióide
 e fora do círculo 
ver resposta
2922    
Utilize a integral dupla para determinar a áreada região: cortada do primeiro
quadrante pela curva 
ver resposta
2912    
Use a integral dupla em coordenadas polares para deduzir a fórmula
para a área da região em formato de leque entre a origem e a curva polar ,
ver resposta
2262    
Calcule , onde é o conjunto dado.
1.   é a região compreendida entre os gráficos de e , com
2.   é o paralelogramo de vértices , , e 
3.   é o semicírculo , 
4.  
ver resposta
2844    
(x, y)
T(x, y) = 10 − 8 − 2x2 y2 x y
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 2
r = 1 + cos θ r = 3 cos θ.
r = 2(2 − sin(2θ) .)1/2
A = dθ∫
β
α
1
2
r2
r = f(θ)
α ≤ θ ≤ β.
y dxdy∬
B
B
B y = x y = x2
0 ≤ x ≤ 2.
B (−1, 0) (0, 0) (1, 1) (0, 1).
B + ≤ 4x2 y2 y ≥ 0.
B = {(x, y) ∈ | x ≥ 0, − x ≤ y ≤ 0}.R2 x5
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202921
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202922
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202912
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202262
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202844
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2261    
Calcule , onde é o conjunto dado.
1. é o triângulo de vértices , e .
2.  
3.   é o conjunto de todos tais que 
4.   é o triângulo de vértices , e 
ver resposta
3037    
Uma região é mostrada na figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas
polares ou retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é
uma função qualquer contínua em 
( + ) dxdy∫
1
0
∫
1−y 2√
0
x2 y2
y dxdy∬
B
B
B (0, 0) (1, 0) (1, 1)
B = {(x, y) ∈ | − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x + 2}.R2
B (x, y) + 4 ≤ 1.x2 y2
B (0, 0) (1, 0) (2, 1).
R
f(x, y) dA∬
R
f
R.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202261
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203037
ver resposta
2349    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
ver resposta
2266    
{(x, y, z) ∈ |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + 2y}R3
{(x, y, z) ∈ |0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ }R3 xy−−√
{(x, y, z) ∈ |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy }R3 e −x
2 y 2
{(x, y, z) ∈ |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, + ≤ z ≤ 2}R3 x2 y2
{(x, y, z) ∈ |1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ z ≤ x + y + 2}R3
{(x, y, z) ∈ | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ }R3 ex+y
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202349
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202266
Calcule sendo dados:
1.   e a região compreendida entre os gráficos de e
, com 
2.   e 
3.   e é o conjunto de todos tais que e   
4.   e o conjunto de todos tais que e
ver resposta
2892    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2782    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é
limitado pelo círculo 
ver resposta
2889    
Passe para coordenadas polares e calcule: , em
que 
ver resposta
2838    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é a região no
primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo 
ver resposta
2016    
f(x, y) dxdy∬
B
f(x, y) = 1 B y = sinx
y = 1 − cosx 0 ≤ x ≤ .
π
2
f(x, y) = 1 + y3
− −−−−√ B = {(x, y) ∈ | ≤ y ≤ 1}.R2 x−−√
f(x, y) = x B (x, y) y ≥ x2
x ≤ y ≤ x + 2.
f(x, y) =
y
x + y2
B (x, y) 1 ≤ x ≤ 4
0 ≤ y ≤ .x−−√
dxdy∫
ln 2
0
∫
(ln 2 −)2 y 2√
0
e +x
2 y 2√
( + dA∬
R
x2 y2)3/2 R
+ = 4.x2 y2
dydx∫
a
0
∫
−a2 x2√
0
− −a2 x2 y2
− −−−−−−−−−
√
a > 0.
y dA∬
R
R
+ = 2x.x2 y2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202892
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202782
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202889
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202838
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202016
Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide e
pelos planos , , , e 
ver solução
2380    
Determine e , sendo 
ver resposta
2418    
Calcule a área limitada pelas curvas e 
ver resposta
2072    
Seja o retângulo , . Calcule , sendo 
igual a
1. 
2. 
ver resposta
2908    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo
cone e pelo cilindro 
ver resposta
2919    
Utilize a integral dupla para determinar a área da região: no interior do círculo
 e fora do círculo 
ver resposta
2405    
Inverta a ordem de integração.
1.  
2.  
z = 2 + + (y − 2x2 )2
z = 1 x = 1 x = −1 y = 0 y = 4.
f(x, y) dx∫ 50 f(x, y) dy∫
1
0 f(x, y) = 12 .x
2y3
x = − 1y2 x = 2 − 2.y2
R 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 f(x, y) dxdy∬
R
f(x, y)
x + y− −−−√
1
x + y
= +z2 x2 y2 + = 2x.x2 y2
+ (y − 1 = 1x2 )2 + = 1.x2 y2
[ f(x, y) dy]dx∫
1
0
∫
x
0
[ f(x, y) dy]dx∫
1
0
∫
x
x2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202380
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202418
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202072
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202908
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202919
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202405
3.  
ver resposta
2783    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é a
região anular limitada por e , 
ver resposta
2417    
Determine o volume do sólido.
1.  Abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e
2.  Abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e
3.   Abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices , e
4.  Limitado pelo cilindro e pelos planos , e , no
primeiro octante.
ver resposta
2778    
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a:  
ver resposta
2407    
Inverta a ordem de integração.
1.  
2.  
3.  
[ f(x, y) dx]dy∫
1
0
∫
y√
− y√
dA∬
R
x2
+x2 y2
R
+ =x2 y2 a2 + =x2 y2 b2 0 < a < b.
z = +x2 y2 y = x2
x = .y2
z = 3 +x2 y2 y = x
x = − y.y2
z = xy (1, 1) (4, 1)
(1, 2).
+ = 4y2 z2 x = 2y x = 0 z = 0
r drdθ∫
π/2
0
∫
4 cos θ
0
[ f(x, y) dy]dx∫
1
−1
∫
2−x2√
x2
[ f(x, y) dx]dy∫
1
0
∫
2−2y
y−1
[ f(x, y) dy]dx∫
1
0
∫
1
x2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202783
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202417
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202778
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202407
ver resposta
2352    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   e 
2.  
ver resposta
2907    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: dentro do
cilindro e do elipsoide 
ver resposta
2771    
Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco de modo que a
densidade de carga em é (medida em coulombs
por metro quadrado). Determine a carga total do disco.
ver solução
3029    
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
.
ver resposta
2413    
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
 e acima do retângulover resposta
2920    
Utilize a integral dupla para determinar a área da região: um laço da rosácea
ver resposta
3014    
1.  Verifique que
0 ≤ y ≤ 1 − x2 0 ≤ z ≤ 1 − .x2
+ + 3 ≤ z ≤ 4.x2 y2
+ = 4x2 y2 4 + 4 + = 64.x2 y2 z2
+ ≤ 4x2 y2
(x, y) σ(x, y) = x + y + +x2 y2
f(x, y) dxdy∫
3
0
∫
9−y 2√
− 9−y 2√
/4 + /9 + z = 1x2 y2 R = [−1, 1] × [−2, 2].
r = cos(3θ).
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202352
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202907
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202771
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203029
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202413
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202920
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203014
é uma função densidade conjunta.
2.  Se e são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é a função 
do item anterior, determine: (i) ,          (ii) .
3.  Determine os valores esperados de e .
ver resposta
2018    
1.  Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do
retângulo . Use a soma de Riemann com e
escolha os pontos amostrais como os cantos inferiores direitos.
2.   Use a Regra do Ponto Médio para dar uma estimativa da integral do item
anterior.
ver resposta
2412    
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano e
acima do retângulo 
ver resposta
2351    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   e 
2.   , , e 
ver resposta
3031    
No cálculo de uma integral dupla sobre uma região , obtivemos uma soma de
integrais iteradas como a que segue:
Esboce a região e expresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem
de integração contrária.
ver resposta
f(x, y) = { 4xy,
0,
se 0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1,
caso contrário,
X Y f
P(X ≥ )1
2
P(X ≥ ,Y ≤ )1
2
1
2
X Y
z = x + 2y2
R = [0, 2] × [0, 4] m = n = 2
3x + 2y + z = 12
R = {(x, y) ∈ | 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3}.R2
+ ≤ 1x2 y2 x + y + 2 ≤ z ≤ 4.
x ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≤ 1 0 ≤ z ≤ + .x2 y2
D
∫ f(x, y) dA = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy.∫
D
∫
1
0
∫
2y
0
∫
3
1
∫
3−y
0
D
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202018
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202412
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202351
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203031
2841    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2781    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde é o
conjunto de todos os tais que  ,  e 
ver resposta
2406    
Inverta a ordem de integração.
1.  
2.  
3.  
ver resposta
2382    
Calcule a integral iterada.
1. 
2. 
ver resposta
2079    
Sejam e duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos e
 Prove que
dydx∫
1
0
∫
2−x2√
x2
+x2 y2
− −−−−−
√
dxdy∬
R
e +x
2 y 2 R
(x, y) 1 ≤ + ≤ 4x2 y2 −x ≤ y ≤ x x ≥ 0.
[ f(x, y) dy]dx.∫
e
1
∫
x
ln(x)
[ f(x, y) dx]dy∫
1
0
∫
y+3
y
[ f(x, y) dy]dx∫
1
−1
∫
1−x2√
− 1−x2√
sinx cos y dydx∫
π/2
0
∫
π/2
0
(2x + y dxdy∫
2
0
∫
1
0
)8
f(x) g(x) [a, b]
[c, d].
f(x)g(y) dxdy = ( f(x) dx)( g(y) dy),∬
R
∫
b
a
∫
d
c
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202841
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202781
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202406
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202382
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202079
onde é o retângulo e 
ver resposta
2845    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
3005    
Determine os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região e tem função
densidade quando: é a região triangular delimitada pelas retas e  
.
ver resposta
3103    
Use uma integral dupla para calcular a área da região entre a parábola e a
reta .
ver solução
3101    
Seja a região triangular de vértices , e do plano . Expressa
como uma integral dupla, qual é área de ?
ver resposta
2770    
 Utilize coordenadas polares para combinar a soma
em uma única integral dupla. Em seguida, calcule essa integral dupla.
ver solução
2837    
Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: , onde
R a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d.
xdxdy∫
6
0
∫
y
0
D
ρ D x = 0,  y = x
2x + y = 6; ρ(x, y) = x2
R y =
1
2
x2
y = 2x
R (0, 0) (3, 3) (0, 4) xy
R
xy dydx + xy dydx + xy dydx∫
1
1
2√
∫
x
1−x2√
∫
2√
1
∫
x
0
∫
2
2√
∫
4−x2√
0
dA∬
R
x
+x2 y2
R = {(x, y) ∈ | + ≤ 4,x ≥ 1}.R2 x2 y2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202845
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203005
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203103
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203101
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202770
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202837
ver resposta
2078    
Calcule a integral dupla.
1. 
2.  
ver resposta
3040    
1. Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano )
onde é o disco com raio e centro na origem. Mostre que
2. Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é
onde é o quadrado com vértices . Use esse resultado para mostrar
que
3. Deduza que
4. Fazendo a mudança de variável , mostre que
(Este é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)
ver resposta
x sin(x + y) dA, R = [0,π/6] × [0,π/3].∬
R
xy dA, R = [0, 1] × [0, 2].∬
R
e yx
2
R
2
I = dA = dydx = dA,∬
R
2
e−( + )x
2 y 2 ∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
e−(x + )
2 y 2 lim
a→∞
∬
Da
e−( + )x
2 y 2
Da a
dA = π.∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
e−( + )x
2 y 2
dA = dA,∬
R
2
e−( + )x
2 y 2 lim
a→∞
∬
Sa
e−( + )x
2 y 2
Sa (±a, ±a)
dx dy = π.∫
∞
−∞
e−x
2 ∫
∞
−∞
e−y
2
dx = .∫
∞
−∞
e−x
2
π−−√
t = x2
–√
dx = .∫
∞
−∞
e− /2x
2
2π
−−
√
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202078
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203040
2910    
Calcule a integral iterada , convertendo-a antes para
coordenadas polares.
ver resposta
2414    
Inverta a ordem de integração, integrando primeiro em e depois em para calcular a
integral:
1.  
2.  
ver resposta
2895    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: abaixo do cone
 e acima do disco 
ver resposta
3094    
Cada integral iterada abaixo representa o volume de um sólido. Faça um esboço do
sólido. (Não é necessário calcular o volume.)
1.  
2.  
3093    
Use um software de apoio computacional para mostrar que o volume sob a
superfície e acima do retângulo no plano   é dado
por .
3000    
Calcule a integral trocando a ordem de integração. .
ver resposta
sin( + ) dydx∫ 3−3 ∫
9−x2√
0 x
2 y2
y x
dxdy∫
1
0
∫
1
y√
+ 1x3
− −−−−√
sin dxdy∫
1
0
∫
y√
x3
z = +x2 y2
− −−−−−√ + ≤ 4.x2 y2
4 dxdy∫
5
0
∫
2
1
dydx∫
3
0
∫
4
0
25− −x2 y2
− −−−−−−−−−
√
V
z = x sin(xy)y3 [0,π] × [0, 1] xy
V = 3/π
dydx∫
1
0
∫
1
x
ex/y
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202910
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202414
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202895
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203094
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203093
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203000
2411    
Inverta a ordem de integração.
1.  
2.  
3.  
ver resposta
3006    
Calcule o centro de massa do quadrado dado por   e com
densidade .
ver resposta
2074    
Seja o retângulo , . Calcule , sendo 
dada por
1. 
2. 
ver resposta
2896    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo
hiperboloide e acima do plano 
ver resposta
3114    
A tendência de uma lâmina de resistir a uma mudança no seu movimento de rotação
em torno de um eixo é medida pelo seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se
a lâmina ocupar uma região do plano e se sua densidade for uma função
contínua em , então os momentos de inércia em torno dos eixos , e são
denotados por , e , respectivamente, e são definidos por
[ f(x, y) dy]dx∫
π
4
0
∫
cos x
sin x
[ f(x, y) dx]dy∫
2
−1
∫
y+7
3
7+5y 2
3
√
[ f(x, y) dy]dx∫
3
0
∫
3x√
−2xx2
D 0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1
ρ(x, y) = y
R 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 f(x, y) dxdy∬
R
f(x, y)
y cos(xy)
x sin(πy)
− − + = 1x2 y2 z2 xy.
R xy δ(x, y)
R x y z
Ix Iy Iz
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202411
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203006
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202074
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202896
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203114
Considere a lâmina circular que ocupa a região descrita pelas desigualdades
. Supondo que a lâmina tenha densidade constante, mostre que
3038    
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo: 
ver resposta
3009    
Calcule o centro de massa da região dada.
1.   é o conjunto de todos tais que e a densidade é constante e
igual a 1.
2.   é o conjunto de todos tais que , , e a
densidade é o produto das coordenadas do ponto.
3.   é o conjunto de todos tais que , , e a densidade
é proporcional à distância do ponto à origem.
ver resposta
2211    
Ao calcular, por integração dupla, o volume do sólido situado abaixo do parabolóide
 e limitado inferiormente por uma certa região no plano , chegou-se
à seguinte expressão:
1.  Esboce a região 
2.  Expresse numa única integral dupla iterada.
3.  Efetue a integração para calcular 
ver resposta
Ix
Iy
Iz
= δ(x, y) dA,∬
R
y2
= δ(x, y) dA,∬
R
x2
= ( + )δ(x, y) dA.∬
R
x2 y2
0 ≤ + ≤x2 y2 a2 δ
= = , = .Ix Iy
δπa4
4
Iz
δπa4
2
r drdθ.∫
2π
π
∫
7
4
D
D (x, y) ≤ y ≤ xx3
D (x, y) x ≤ y ≤ x + 1 0 ≤ x ≤ 1
D (x, y) 1 ≤ + ≤ 4x2 y2 y ≥ 0
V
z = +x2 y2 D xy
V = ( + ) dxdy + ( + ) dxdy.∫
1
0
∫
y
0
x2 y2 ∫
2
1
∫
2−y
0
x2 y2
D.
V
V .
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203038
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203009
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202211
3039    
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo:
ver resposta
2906    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: acima do cone
 e abaixo da esfera 
ver resposta
2939    
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função
densidade quando: é a região triangular delimitada pelas retas e  
.
ver resposta
2891    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
3020    
Esboce a região de integração e calcule a integral .
ver resposta
2904    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado:
dentro da esfera e fora do cilindro 
ver resposta
2909    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo
paraboloide e pelo plano 
ver resposta
2071    
r drdθ.∫
π/2
0
∫
4 cos θ
0
z = +x2 y2
− −−−−−√ + + = 1.x2 y2 z2
D
ρ D x = 0,  y = x
2x + y = 6; ρ(x, y) = x2
ln( + + 1) dxdy∫
1
−1
∫
1−y 2√
− 1−y 2√
x2 y2
(4 − ) dydx∫
3
0
∫
2
0
y2
+ + = 16x2 y2 z2 + = 4.x2 y2
z = 9 − −x2 y2 z = 5.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203039
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202906
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202939
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202891
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203020
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202904
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202909
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202071
Seja o retângulo , . Calcule , sendo 
igual a
1.  
2.  
ver resposta
2354    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   e , 
2.  
ver resposta
2777    
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a:
ver resposta
3012    
Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles,
com os lados iguais tendo comprimento , se a densidade em qualquer ponto for
proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.
ver resposta
2850    
Passe para coordenadas polares e calcule: , onde é a região, no plano ,
limitada pela curva (dada em coordenadas polares) , 
ver resposta
2905    
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: uma esfera de
raio 
ver resposta
3024    
R 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 f(x, y) dxdy∬
R
f(x, y)
x + 2y
x − y
+ ≤x2 y2 a2 + ≤y2 z2 a2 a > 0.
+ ≤ z ≤ 1 − .x2 y2 x2
r drdθ∫
2π
π
∫
7
4
a
dxdy∬
R
R xy
ρ = cos(2θ) ≤ θ ≤ .
π
8
π
4
a.
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202354
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202777
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203012
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202850
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202905
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203024
Esboce a região de integração e calcule a integral .
ver resposta
2075    
Seja o retângulo , . Calcule , sendo 
igual a
1.  
2.  
ver resposta
3017    
Esboce a região de integração para a integral iterada .
ver resposta
3007    
Calcule o centro de massa da região: e a
densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo .
ver resposta
2265    
Calcule sendo dados:
1.   e o retângulo , 
2.   e 
3.   e o conjunto de todos taisque
4.   e a região compreendida entre os gráficos de e
, com 
ver resposta
2169    
Calcule as integrais iteradas.
(sinx + cos y) dxdy∫
2π
π
∫
π
0
R 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 f(x, y) dxdy∬
R
f(x, y)
yexy
xy2
f(x, y) dydx∫
2
−1
∫
4−x2
− 4−x2√
D = {(x, y) ∈ : + 4 ≤ 1,  y ≥ 0}R2 x2 y2
x
f(x, y) dxdy∬
B
f(x, y) = y3exy
2
B 0 ≤ x ≤ 1 1 ≤ y ≤ 2.
f(x, y) = cosx5 y3 B = {(x, y) ∈ | y ≥ , + ≤ 2}.R2 x2 x2 y2
f(x, y) = x2 B (x, y)
x ≤ y ≤ − + 2x + 2.x2
f(x, y) = x B y = cosx
y = 1 − cosx 0 ≤ x ≤ .
π
2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202075
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203017
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203007
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202265
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202169
1. 
2. 
ver resposta
3004    
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função
densidade , sendo: delimitada pelas parábolas e
.
ver resposta
3025    
Esboce a região de integração e calcule a integral .
ver resposta
3010    
Uma lâmina ocupa parte do disco no primeiro quadrante. Determine o
centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do
ponto ao eixo .
ver resposta
2419    
Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e
pelo plano 
ver resposta
2780    
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares: , onde
ver resposta
2385    
Expresse a integral dupla, sobre a região indicada, como uma integral iterada e ache
seu valor.
(x + 2y) dydx∫
1
0
∫
x2
0
(1 + 2y) dydx∫
1
0
∫
x
x2
D
ρ D y = x2
x = ; ρ(x, y) =y2 x−−√
dxdy∫
2
1
∫
y 2
y
+ ≤ 1x2 y2
x
z = 16 − x2
y = 5.
( + ) dxdy∬
R
x2 y2
R = {(x, y) ∈ |1 ≤ + ≤ 4}.R2 x2 y2
R
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203004
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203025
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203010
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202419
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202780
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202385
1. região retangular de vértices , , 
e 
2. região triangular de vértices , e 
3. região triangular de vértices , e 
4. região limitada pelos gráficos de , e 
ver resposta
3156    
Seja uma superfície plana paralela ao plano . Mostre que a fórmula para o cálculo
de áreas de superfícies nesse caso reduz à fórmula de integrais duplas para o cálculo de
área de regiões planas.
2263    
Calcule sendo dados:
1.   e 
2.   e 
3.   e o triângulo de vértices , e 
4.   e o retângulo , 
5.   e o paralelogramo de vértices , , e 
ver resposta
2923    
Utilize a integral dupla para determinar a área da região: limitada pelo eixo positivo e
pela espiral , A região se parece com uma concha de caracol.
ver resposta
3026    
Calcule . Esboce a região de integração.
(y + 2x) dA; R∬
R
(−1, −1) (2, −1) (2, 4)
(−1, 4).
(x − y) dA; R∬
R
(2, 9) (2, 1) (−2, 1).
x dA; R∬
R
y2 (0, 0) (3, 1) (−2, 1).
dA; R∬
R
ex/y y = 2x y = −x y = 4.
S xy
f(x, y) dxdy∬
B
f(x, y) = x cos y B = {(x, y) ∈ | x ≥ 0, ≤ y ≤ π}.R2 x2
f(x, y) = xy B = {(x, y) ∈ | + ≤ 2, y ≤ x e x ≥ 0}.R2 x2 y2
f(x, y) = x B (0, 0) (1, 1) (2, 0).
f(x, y) = xy +x2 y2
− −−−−−√ B 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1.
f(x, y) = x + y B (0, 0) (1, 1) (3, 1) (2, 0).
x
r = 4θ/3 0 ≤ θ ≤ 2π.
3 cos(x ) dydx∫ 10 ∫
1
x y
4 y2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203156
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202263
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202923
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203026
ver resposta
3003    
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função
densidade , sendo:
.
ver resposta
2893    
Passe para coordenadas polares e calcule: 
ver resposta
2913    
Suponha que a área de uma região no plano de coordenadas polares seja 
Esboce a região e encontre sua área.
ver resposta
2355    
Calcule o volume do conjunto dado.
1.   , , e 
2.   , , e 
ver resposta
CONTATO CRÉDITOS
© IMECC/UNICAMP 2016
D
ρ
D = {(x, y) ∈ : 0 ≤ y ≤ sin (πx/L),  0 ≤ x ≤ L}; ρ(x, y) = yR2
dydx∫
0
−1
∫
0
− 1−x2√
2
1 + +x2 y2
− −−−−−√
A = r drdθ.∫
3π/4
π/4
∫
2 sin θ
cosec θ
x + y + z ≤ 1 x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0.
x ≤ y ≤ 1 x ≥ 0 z ≥ 0 + + ≤ 2 .z2 x4 x2y2 x2
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%203003
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202893
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202913
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br?subject=[erro%20encontrado%20pelo%20usu%C3%A1rio]%20exerc%C3%ADcio%202355
mailto:contato@cursos.ime.unicamp.br
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