apol - algebra linear

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}B={v=(1,2),u=(x,y)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:u:
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,1)u=(−2,1)
Você acertou!
Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2R2, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y.  Logo, u=(-2,1).
(livro-base p. 143-149)
	
	B
	u=(0,0)u=(0,0)
	
	C
	u=(3,2)u=(3,2)
	
	D
	u=(1,−2)u=(1,−2)
	
	E
	u=(−2,2)u=(−2,2)
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considere a seguinte equação ∣∣
∣∣x+123x1531−2∣∣
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−32x=−32
	
	B
	x=−18x=−18
	
	C
	x=−25x=−25
	
	D
	x=−22x=−22
Você acertou!
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x
(Livro-base p. 39-42).
	
	E
	x=−20x=−20
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz:
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612
No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo:
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00ProdutoPreço14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[Filial1=28Filial2=44Filial3=37]
Você acertou!
a) Basta fazer a subtração das duas matrizes:
⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432]
 b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores:
 ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢
⎢
⎢⎣4532⎤⎥
⎥
⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437]
(Livro-base p. 36-41).
	
	B
	⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=21Filial2=42Filial3=38]
	
	C
	⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=24Filial2=39Filial3=38]
	
	D
	⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[Filial1=26Filial2=38Filial3=44]
	
	E
	⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=32Filial2=46Filial3=38]
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considere o operador linear T, dado por
T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y).
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de TT:
Nota: 10.0
	
	A
	λ1=2 e λ2=3λ1=2 e λ2=3
	
	B
	λ1=3 e λ2=1λ1=3 e λ2=1
	
	C
	λ1=4 e λ2=1λ1=4 e λ2=1
Você acertou!
Temos que a matriz T é dada por:
T=[3122]T=[3122]
Os autovetores são dados por:
T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1T=|3−λ122−λ|=0λ1=4 e λ2=1
(Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00")
	
	D
	λ1=−2 e λ2=2λ1=−2 e λ2=2
	
	E
	λ1=5 e λ2=2λ1=5 e λ2=2
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de transformação de T:R3→R3T:R3→R3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[T]=[100023032], assinale a alternativa com os autovalores de [T]:
Nota: 10.0
	
	A
	λ1=0,λ2=2,λ3=2λ1=0,λ2=2,λ3=2
	
	B
	λ1=−2λ2=2,λ3=2λ1=−2λ2=2,λ3=2
	
	C
	λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1
Você acertou!
det(A−λI)=∣∣
∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣
∣∣=0det(A−λI)=|1−λ0002−λ3032−λ|=0
Resolvendo o determinante temos que:
λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1
(livro-base p. 165-170)
	
	D
	λ1=3,λ2=2,λ3=1λ1=3,λ2=2,λ3=1
	
	E
	λ1=−2,λ2=2,λ3=1λ1=−2,λ2=2,λ3=1
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes:
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10].
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.
	
	B
	x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
Você acertou!
A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
(Livro-base p. 40-51)
	
	C
	x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2.
	
	D
	x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.
	
	E
	x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considere a forma bilinear B, dada por:
B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de 
B:B:
Nota: 10.0
	
	A
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]
	
	B
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]
	
	C
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]
Você acertou!
Comentário: Como a matriz de B é
[−1025][−1025]
Então
B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]
(Videoaula da Aula 6, tempo: 28')
	
	D
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]
	
	E
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
admita solução única.  
Nota: 10.0
	
	A
	k=1k=1
	
	B
	k=−1k=−1
	
	C
	k=0k=0
Você acertou!
Faça os escalonamentos:
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6
k−6=−6k=0k−6=−6k=0
(Livro-base p. 96)
	
	D
	k=−2k=−2
	
	E
	k=2k=2
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T][T] são λ1=1 e λ2=−2.λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T][T]:
Nota: 10.0
	
	A
	{(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)}
	
	B
	{(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)}
	
	C
	{(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)}
	
	D
	{(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)}
	
	E
	{(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)}
Você acertou!
Comentário:
A matriz de transformação é dada por:
[T]=A=[−34−12][T]=A=[−34−12]
Devemos determinar os autovetores
[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}
(livro-base p. 164-165)
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={(1,2),(−2,1)}B={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base BB:
Nota: 10.0
	
	A
	B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)}
Você acertou!
Comentário:
Temos que
u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5u=u|u|=(1,2)12+22=(1,2)5v=v|v|=(−2,1)(−2)2+12=(−2,1)5
B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)}
(Livro-base p. 150-152)
	
	B
	B′=1√5{(1,0),(0,1)}B′=15{(1,0),(0,1)}C
	B′={(1,2),(1,0)}B′={(1,2),(1,0)}
	
	D
	B′={(−2,2),(0,2)}B′={(−2,2),(0,2)}
	
	E
	B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}B′={15(−1,−2),13(−2,−1)}
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3).  
Assinale a alternativa cujo vetor são as coordenadas para o vetor t=(1,2,3)t=(1,2,3) em relação aos vetores da base u,v e wu,v e w.
Nota: 10.0
	
	A
	(1,2,−3)(1,2,−3)
	
	B
	(1,−1,1)(1,−1,1)
	
	C
	(2,−1,0)(2,−1,0)
	
	D
	(1,0,−1)(1,0,−1)
	
	E
	(0,1,−1)(0,1,−1)
Você acertou!
Considere o vetor ww, k=2k=2 e determine as coordenadas do vetor t=(2,3,4)t=(2,3,4) em relação aos vetores u,v e wu,v e w.
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3{a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3
Efetuando o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.{a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5{a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.
(Livro-base p. 96-100)
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3R3.  
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale  a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2]
Você acertou!
Para que os vetores u,v e wu,v e w  formem uma base do R3R3, é necessário que existam os reais a, b e c tais que au+bv+cw=(0,0,0)au+bv+cw=(0,0,0)  e que sejam todos nulos. Assim, tem-se o sistema linear:
⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{a=02a+b=03a+b+c=0
Esse sistema tem solução única, a=b=c=00.  Logo, formam uma base do  R3R3.
Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0)  em relação à base{u,v,w}{u,v,w} , digamos ββ  deve-se resolver o sistema:
⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{x=12x+y=13x+y+z=0
A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1z=−2,y=−1 e x=1 e as coordenadas do vetor são
⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]β  (livro-base p. 96-99).
	
	B
	⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2]
	
	C
	⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22]
	
	D
	⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2]
	
	E
	⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2]
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa com a matriz das 
coordenadas do polinômio p=x−4p=x−4 em relação a base A.
Nota: 10.0
	
	A
	[6   −5]t[6   −5]t
	
	B
	[5−8]t[5−8]t
Você acertou!
Determine as coordenadas de p=x−4p=x−4 em relação a base A.
p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].
As coordenadas são [5   −8]t[5   −8]t
(Livro-base p. 119-122)
	
	C
	[8   −6]t[8   −6]t
	
	D
	[7   −9]t[7   −9]t
	
	E
	[3   −2]t[3   −2]t
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Uma livraria registrou as vendas de livros didáticos durante a semana que antecede a volta às aulas (tabela 1), e na semana em que as aulas se iniciaram (tabela 2), conforme as respectivas tabelas a seguir:
Tabela 1
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012
Tabela 2:
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a matriz que representa o total de vendas de livros nas duas semanas, por dia e o tipo de livro vendido:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣20153012151515223020102551515⎤⎥⎦[20153012151515223020102551515]
	
	B
	⎡⎢⎣20153012151715203020102551514⎤⎥⎦[20153012151715203020102551514]
Você acertou!
Comentário: Basta somar cada elemento correspondente da linha e coluna.  
(Livro-base p. 26-32).
	
	C
	⎡⎢⎣201530121515152030201225141515⎤⎥⎦[201530121515152030201225141515]
	
	D
	⎡⎢⎣25153010151515223520103051515⎤⎥⎦[25153010151515223520103051515]
	
	E
	⎡⎢⎣10153012151518223021102651515⎤⎥⎦[10153012151518223021102651515]
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).
	
	E
	F-V-V
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Nota: 10.0
	
	A
	k≠8k≠8
	
	B
	k≠−7k≠−7
	
	C
	k≠5k≠5
	
	D
	k≠−9k≠−9
Você acertou!
Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0
Efetuamos o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9
(Livro-base p. 95-100)
	
	E
	k≠6k≠6
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear definida por T(x,y)=(2x−y,5x+y).T(x,y)=(2x−y,5x+y).
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, se o vetor  v=(−4,−3)v=(−4,−3)  pertence à imagem de TT, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor uu tal que  T(u)=v.T(u)=v. v.v.
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,3)u=(−2,3)
	
	B
	u=(−1,2)u=(−1,2)
Você acertou!
Para que vv pertença à imagem de TT, deve existir x e y tal que T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).
Resolvendo o sistema linear:
{2x−y=−45x+y=−3{2x−y=−45x+y=−3
solução: x=−1 e y=2.x=−1 e y=2.
logo,  u=(−1,2)u=(−1,2)  
(Livro-base p. 119-123).
	
	C
	u=(−2,5)u=(−2,5)
	
	D
	u=(2,−1)u=(2,−1)
	
	E
	u=(−3,−3)u=(−3,−3)
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Sejam A=[−1−2−3−5],A=[−1−2−3−5], B=[2−1]B=[2−1] , C=[14−4−8] e X=[xy]C=[14−4−8] e X=[xy] . 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale aquela que contém a matriz XX que satisfaz a equação A+BX=C.A+BX=C.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[31].X=[31].
	
	B
	X=[−31].X=[−31].
	
	C
	X=[1−3].X=[1−3].
	
	D
	X=[13].X=[13].
Você acertou!
Fazendo X=[xy],X=[xy], segue da equação A+BX=CA+BX=C que
[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].
Logo, x=1 e y=3x=1 e y=3
(Livro-base p. 26-39).
	
	E
	X=[−12].X=[−12].
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considere o vetor v=(3,2,1)v=(3,2,1) do R3R3 e o conjunto de vetores α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)}α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3R3. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.
( ) vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
( ) αα é  uma base do R3R3.
( ) Os vetores v1,v2 e v3v1,v2 e v3 sãolinearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F
	
	B
	V-V-V
Você acertou!
Comentário:  A sequência correta é V-V-V.
Se vv é combinação linear dos vetores de αα, então existe a, b e c, tal que   v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
Como o determinante dos vetores de αα é diferente de zero, logo existe a, b e c e vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
Alternativa I é verdadeira porque o determinante dos vetores é diferente de zero.
Alternativa II é verdadeira porque vv é uma combinação linear dos vetores.
Alternativa III é verdadeira porque o determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
(Livro-base p. 89-103).
	
	C
	F-V-V
	
	D
	V-F-F
	
	E
	F-F-F
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). 
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3u=v1−2v2+3v3.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3    (livro-base p. 89-93).
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3.
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3.
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.