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Usuário JEFFERSON GOMES LIRA Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead- 14901.01 Teste 20211 - PROVA N2 (A5) Iniciado 07/04/21 18:04 Enviado 07/04/21 18:53 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 48 minutos Instruções Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Caso necessite a utilização do "EXCEL" clique no link ao lado -----------> excel.xlsx Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: A derivada de uma função também é uma função. A derivada é vista como uma taxa de variação. Por exemplo, a derivada da função posição é a função velocidade, pois a função velocidade indica quanto do percurso foi percorrido em um intervalo de tempo. Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a função velocidade, sabendo que a função posição é . Resposta correta. A alternativa está correta. A função velocidade é obtida a partir da derivação da função posição , ou seja, . Ao aplicar as regras de derivação adequadas à função posição , temos que a função velocidade é . Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: O centro de massa de uma lâmina na forma de uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante é dado pelo par , onde e . Nesse caso, em coordenadas polares, temos , e , onde é uma constante. Considere uma lâmina na forma de uma semicircunferência de equação com . Assinale a alternativa que corresponde ao centro de massa da lâmina quando : Resposta correta. A alternativa está correta, pois a região de integração é dada por . Dado , temos que: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos https://anhembi.blackboard.com/bbcswebdav/pid-16418088-dt-content-rid-84766551_1/xid-84766551_1 Logo, e , ou seja, . Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: No método de frações parciais para integrar funções racionais , considere que os fatores de são todos lineares e alguns são repetidos, isto é, suponha que o fator se repetia vezes. Ao corresponder a esse fator que se repete, haverá a soma de frações parciais: . Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o cálculo da integral . Resposta correta. A alternativa está correta. Usando o método de frações parciais, temos que , e . Desse modo, , em que é a constante de integração. Pergunta 4 Analise a figura a seguir: Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante. Fonte: Elaborada pela autora. A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como , com . Supondo uma lâmina com o formato da região acima, a medida da densidade de 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: massa por unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é, , onde é uma constante. Assinale a alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita acima considerando e e sabendo que . Resposta correta. A alternativa está correta, pois, dados e , temos que e . Então, a região de integração é e a massa corresponde à integral . Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como . A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função no ponto P(1,-1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando essas informações na equação do plano obtemos . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Para calcular a área de uma região limitada por duas funções, é possível se utilizar da teoria de integrais. Com ela, a área entre duas funções e limitada em um intervalo pode ser definida como , desde que para todo . Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a área da região limitada pelas funções e no intervalo . . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Comentário da resposta: . Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que para todo . Assim, a área da região desejada é calculada por . Aplicando as regras de integrações adequadas, temos que . Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Analise as figuras a seguir: Fonte: Stewart (2016, p. 897). Além de regiões retangulares, podemos usar a integração dupla para integrar uma função sobre uma região de forma mais geral. Essa região pode ser classificada em diferentes tipos. “Uma região plana é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de , ou seja, , onde e são contínuas em [a,b]”. STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 896. Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral dupla , onde é a região do tipo I limitada pelas parábolas e . Resposta correta. A alternativa está correta, pois as parábolas se interceptam quando . Nesse intervalo de , temos que . Assim, a região , do tipo I, pode ser expressa como . Resolvendo a integral, obtemos . Pergunta 8 Suponha uma distribuição contínua de massa ocupando uma região do plano , suponha, também, que a medida da densidade de área dessa distribuição no ponto 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: seja medida em , onde é contínua em . O momento de inércia em torno do eixo , denotado por , dessa distribuição de massa será determinado por . Assinale a alternativa que corresponde ao momento de inércia da região limitada pelas curvas , e no primeiro quadrante e com densidade : Resposta correta. A alternativa está correta, pois temos que . Como e os parâmetros de dependem da variável , trocando todas as informações na integral de temos que primeiro efetuar a integração na variável e, em seguida, integrar na variável . Assim, . Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: V, V, V, F. V, V, V, F. Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua solução geral é: . Assim: Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que . Portanto, é solução da equação diferencial dada. Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que . Portanto, é solução da equação diferencial dada. Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que . Portanto, é solução da equação diferencial dada. 1 em 1 pontos Pergunta 10 Resposta Selecionada:Resposta Correta: Comentário da resposta: Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões podem ser classificadas em regiões do tipo I e do tipo II. Uma região do tipo I fornece como parâmetros para a variável funções de , isto é, . Já regiões do tipo II fornecem como parâmetros para a variável funções de , isto é, . Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral , onde é a região limitada pelas curvas e : 36. 36. Resposta correta. A alternativa está correta, pois a região pode ser vista tanto como uma região do tipo I como do tipo II. No entanto, ao considerá-la como uma região do tipo II, temos uma resolução menos trabalhosa. Assim, . Calculando a integral, obtemos: 1 em 1 pontos