Aula 1 - Matematica basica - Potenciacao

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Prof. Jeferson K. de Morais
Matemática básica
Potenciação
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2
Nesta aula revisaremos as principais
propriedades da potenciação
Divisão de potências de mesma base
Potência com expoente natural
Multiplicação de potências de mesma base
Potência com expoente negativo
Potência de potência
Potência de expoente 1
Potência de expoente 0
Potência de ordem superior
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3
A Seleção Brasileira de Futebol é o time
que representa o país nas competições
de futebol organizadas
pela CONMEBOL e pela FIFA. Formada
em 1914 e considerada um dos maiores
símbolos do país, é chamada de
"Seleção", "Seleção Canarinha" ou
"Verde-Amarela". É a seleção mais
bem-sucedida da história do futebol
mundial.
Descubra quantos títulos mundiais
(Copas do Mundo) a seleção brasileira
de futebol masculino conquistou
calculando o valor de:
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4
Potência com expoente natural
Dados um número real positivo 𝒂 e um número natural 𝒏
diferente de zero, chama-se potência de base 𝒂 e expoente 𝒏
o número 𝒂𝒏 que é igual ao produto de 𝒏 fatores iguais a 𝒂:
Para 𝒏 = 𝟏, considera-se por definição que 𝒂𝟏 = 𝒂, uma vez que
não há produto com um único fator. (𝒂𝟏 = 𝒂 para 𝒂 𝝐 ℝ)
Exemplos:
−𝟐 𝟑 = −𝟐 ∙ −𝟐 ∙ −𝟐 = −𝟖
𝟐
𝟑
𝟑
=
𝟐𝟑
𝟑𝟑
=
𝟐
𝟑
∙
𝟐
𝟑
∙
𝟐
𝟑
=
𝟖
𝟐𝟕
𝟎, 𝟓 𝟐 = 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓
−𝟐𝟑= − 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = −𝟖
𝟐𝟒 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟏𝟔
−𝟐 𝟐 = −𝟐 ∙ −𝟐 = 𝟒
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5
Multiplicação de potências de mesma base
De modo geral, para quaisquer 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ∗, podemos provar que:
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝟐
𝟑
𝟐
∙
𝟐
𝟑
𝟑
=
𝟐
𝟑
𝟐+𝟑
=
𝟐
𝟑
𝟓
=
𝟐𝟓
𝟑𝟓
=
𝟑𝟐
𝟐𝟒𝟑
Exemplos:
𝟓𝟑 ∙ 𝟓𝟐 = 𝟓𝟑+𝟐 = 𝟓𝟓 = 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟎, 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐𝟐 = 𝟎, 𝟐 𝟏+𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟑 = 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖
−𝟐 𝟐 ∙ −𝟐 𝟑 ∙ −𝟐 =
−𝟐 𝟐+𝟑+𝟏 = −𝟐 𝟔 =∙ −𝟐 ∙ −𝟐 ∙ −𝟐 ∙ −𝟐 ∙ −𝟐 ∙ −𝟐 = 𝟔𝟒
Um produto de potências de mesma base é igual à potência
obtida conservando a base e somando os expoentes.
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6
Potência com expoente negativo
A potência de expoente negativo é o
inverso da mesma potência de expoente
positivo
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
Inverso de um número
Dois números são ditos inversos quando o produto entre eles
é 1.
𝟐 . 𝟎, 𝟓 = 𝟏
𝟒 . 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟏
𝟐 .
𝟏
𝟐
= 𝟏
𝟒 .
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏 𝟒 .
𝟏
𝟒
= 𝟏
Para encontrar o inverso de um número
basta trocar numerador por denominador
na fração.
𝟐
𝟏
inverso
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏
inverso
𝟏
𝟒
Todo número diferente de zero elevado a um expoente
negativo é igual ao inverso do mesmo número com expoente
positivo.
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7
Potência com expoente negativo
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏Quanto é 𝟑
−𝟐? 𝟑−𝟐 =
𝟏
𝟑𝟐
=
𝟏
𝟗
Quanto é 
𝟏
𝟐
−𝟑
?
𝟏
𝟐
−𝟑
=
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
=
𝟏
𝟏
𝟖
= 𝟏 ∙
𝟖
𝟏
= 𝟖
De uma forma mais prática trocamos as posições do numerador e do
denominador da fração e o sinal do expoente.
𝟏
𝟐
−𝟑
=
𝟐
𝟏
𝟑
=
𝟖
𝟏
= 8
4
8
Divisão de potências de mesma base
Observe que:
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 =
𝒂𝒎
𝒂𝒏
=
𝒂𝒎
𝟏
∙
𝟏
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎 ∙ 𝒂−𝒏 = 𝒂𝒎+ −𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏, com 𝒎,𝒏 ∈ ℤ e 𝒂 ≠ 𝟎
Desta forma:
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
Exemplos:
𝟒𝟕: 𝟒𝟒 = 𝟒𝟕−𝟒 = 𝟒𝟑 = 𝟒 ∙ 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟔𝟒
Um quociente de potências de mesma é igual à potência que
se obtém conservando a base e subtraindo os expoentes.
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
−𝟓
=
𝟐
𝟑
𝟐−(−𝟓)
=
𝟐
𝟑
𝟐+𝟓
𝟐
𝟑
𝟕
=
𝟐𝟕
𝟑𝟕
=
𝟏𝟐𝟖
𝟐𝟏𝟖𝟕
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9
Potência de potência
Uma potência elevada a um expoente é igual à potência que
se obtém conservando a base e multiplicando os expoentes:
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏
𝒙𝟓
−𝟐
= 𝒙𝟓 ∙ −𝟐 = 𝒙−𝟏𝟎
𝟐 ∙ 𝒂𝟐
𝟓
𝟑
=
𝟐𝟏∙𝟑 ∙ 𝒂𝟐∙𝟑
𝟓𝟏∙𝟑
=
𝟐𝟑 ∙ 𝒂𝟔
𝟓𝟑
=
𝟖 ∙ 𝒂𝟔
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟐
𝟑
=
Potência de ordem superior
𝟐𝟐∙𝟐∙𝟐 = 𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟏
𝟐𝟑
= 𝟐𝟏
𝟖
= 𝟐
𝟏 = 𝟐
Tenha atenção!
𝟐𝟐
𝟑
é diferente de 𝟐𝟐
𝟑
𝟐𝟐
𝟑
= 𝟐𝟐∙𝟑 = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒
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10
Voltando à proposta inicial, vamos descobrir quantos títulos
mundiais a seleção brasileira de futebol masculino
conquistou até então?
1
2
−2
+ 2−1 − −2 −1 −1
1
1
2
2 +
1
2−1 − −2 −1 1
1
1
4
+
1
1
21
−
1
(−2)1
1
1 ∙
4
1
+
1
1
2 −
1
−2
1
4 +
1
1
2 − −
1
2
1
4 +
1
1
2 +
1
2
1
4 +
1
1 + 1
2
1
4 +
1
2
2
1
4 +
1
1 1
4 +
1
1
4 + 1 = 5
Assim, a seleção brasileira de
futebol masculino venceu 5
campeonatos mundiais, ou
seja, é pentacampeão
mundial.
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏
𝒂𝟏 = 𝒂
𝒂𝟎 = 𝟏
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11
Praticando
−𝟒 𝟐 − 𝟐𝟐 − 𝟑 ∙
𝟕
𝟐
𝟎
𝟐−𝟐 +
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟖
=
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏
𝒂𝟏 = 𝒂
𝒂𝟎 = 𝟏
𝟏𝟔 − 𝟒 − 𝟑 ∙ 𝟏
𝟏
𝟐𝟐
+
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟖
=
𝟏𝟔 − 𝟒 − 𝟑
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟖
=
𝟗
𝟐 + 𝟒 + 𝟑
𝟖
=
𝟗
𝟗
𝟖
=
𝟗 ∙
𝟖
𝟗
=
𝟕𝟐
𝟗
=
= 𝟖
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12
Praticando
𝟑𝟕 ∙ 𝟑𝟏𝟎∙ 𝟑
𝟐
𝟑𝟓 𝟕
=
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏
𝒂𝟏 = 𝒂
𝒂𝟎 = 𝟏
𝟑𝟕+𝟏𝟎+𝟏
𝟐
𝟑𝟓∙𝟕
=
𝟑𝟏𝟖
𝟐
𝟑𝟑𝟓
=
𝟑𝟏𝟖∙𝟐
𝟑𝟑𝟓
=
𝟑𝟑𝟔
𝟑𝟑𝟓
=
𝟑𝟑𝟔−𝟑𝟓 =
𝟑𝟏 =
= 𝟑
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13
Praticando
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏
𝒂𝟏 = 𝒂
𝒂𝟎 = 𝟏
𝟐−𝟑
𝟑−𝟐
−𝟑
∙
𝟐−𝟑
𝟑−𝟐
𝟐
=
𝟐−𝟑
𝟑−𝟐
−𝟑+𝟐
=
𝟐−𝟑
𝟑−𝟐
−𝟏
=
𝟏
𝟐𝟑
𝟏
𝟑𝟐
−𝟏
=
𝟏
𝟖
𝟏
𝟗
−𝟏
=
𝟏
𝟖
∙
𝟗
𝟏
−𝟏
=
𝟗
𝟖
−𝟏
=
𝟏
𝟗
𝟖
𝟏
=
𝟏
𝟗
𝟖
= 𝟏 ∙
𝟖
𝟗
=
𝟖
𝟗
4
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RESUMO
Divisão de potências de mesma base
Potência com expoente natural
Multiplicação de potências de mesma base
Potência com expoente negativo
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
Potência de potência 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏
Potência de expoente 1 𝒂𝟏 = 𝒂
Potência de expoente 0
𝒂𝟎 = 𝟏
Potência de ordem superior