determine o valor de k, positivo, para as distâncias entre os pontos A(2,-1,2) e B(k,1,-2) seja de 6

Para determinar o valor de \( k \) de forma que a distância entre os pontos \( A(2,-1,2) \) e \( B(k,1,-2) \) seja 6, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço. A fórmula é dada por: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Substituindo os valores dados, temos: \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + (1 + 1)^2 + (-2 - 2)^2} \] \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + 2^2 + (-4)^2} \] \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + 4 + 16} \] \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + 20} \] Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, temos: \[ 6^2 = (k - 2)^2 + 20 \] \[ 36 = (k - 2)^2 + 20 \] \[ 16 = (k - 2)^2 \] Para que a distância entre os pontos seja 6, o valor de \( k \) deve ser 6 unidades à direita do ponto A(2,-1,2), ou seja, \( k = 2 + 6 = 8 \). Portanto, o valor de \( k \) para que a distância entre os pontos seja 6 é 8.