Problemas de Matemática

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\to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \)? 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\infty\) 
 d) \(\frac{\infty}{\infty}\) 
 **Resposta: \(-\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \cos(x) \), temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2 + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2}\). 
 
130. Qual é a solução para a equação \( \log_{5}(x) = 4 \)? 
 a) \(x = 125\) 
 b) \(x = 625\) 
 c) \(x = 3125\) 
 d) \(x = 15625\) 
 **Resposta: a) \(x = 125\)** 
 **Explicação:** Aplicando a definição de logaritmo, \( \log_{5}(x) = 4 \) implica \(x = 5^4 = 
625\). 
 
131. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)} \, dx \)? 
 a) \(0\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(1\) 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{3}\)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)} \) de \(0\) a \( \frac{\pi}{3} \) pode 
ser resolvida usando substituição trigonométrica, resultando em \( \frac{1}{3} \). 
 
132. Qual é a derivada de \( y = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)? 
 a) \( -\frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 b) \( -\frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 c) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 d) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{1}{\sin^2(x)} \)