Módulo 3 4 - Unidade 9 - Função exponencial e função logarítmica

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MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
161161161161161
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
FFFFFUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIAL
EEEEE FUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃO LOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICA
Objetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagem
Ao final desta unidade você estará apto a:
 identificar funções exponenciais e logarítmicas em diferentes situações
práticas;
 modelar problemas com funções exponenciais e logarítmicas;
 identificar propriedades e características das funções exponenciais
e logarítmicas.
PPPPPLANOLANOLANOLANOLANO DEDEDEDEDE ESTUDOESTUDOESTUDOESTUDOESTUDO DADADADADA UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE
Para uma visão geral da unidade observe o sumário das seções.
Realize as atividades propostas e esclareça todas as dúvidas para seguir
em frente de forma mais rápida e segura.
 Seção 1 – Introdução
 Seção 2 – Função exponencial
 Seção 3 – Logaritmos
 Seção 4 – Função logarítmica
 Seção 5 – Observe outros exemplos
O O O O O QUEQUEQUEQUEQUE VOCÊVOCÊVOCÊVOCÊVOCÊ VÊVÊVÊVÊVÊ UMAUMAUMAUMAUMA MENINAMENINAMENINAMENINAMENINA OUOUOUOUOU UMAUMAUMAUMAUMA VELHAVELHAVELHAVELHAVELHA?????
162162162162162
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Nesta unidade você irá revisar objetos matemáticos no
contexto das funções exponenciais e logarítmicas. Você poderá observar a
importância dessas funções para a resolução de problemas reais.
O O O O O PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA MOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADOR
A produção de um operário em uma fábrica pode ser
modelada?
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 1 1 1 1 1 – – – – – IIIIINTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃO
Para discutir as funções exponenciais e logarítmicas é preciso revisar
os objetos matemáticos envolvidos. Têm-se as potências e os logaritmos.
As potências já foram parcialmente discutidas nas unidades anteriores,
entretanto, é importante refletir um pouco mais sobre esse tema.
PPPPPOTÊNCIAOTÊNCIAOTÊNCIAOTÊNCIAOTÊNCIA COMCOMCOMCOMCOM EXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTE NATURALNATURALNATURALNATURALNATURAL
Considere um número real a e um número natural n, diferente de
zero. A expressão an (potência de base a e expoente n), representa um
produto de n fatores iguais de a:
an = 444 3444 21
fatoresn 
Assim, se tem:
(a) 31 = 3 Para n = 1, considera-se por definição que
a1 = a, uma vez que não há produto com um
único fator.
(b) 43 = 4 . 4 . 4 = 64
(c) (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = 4
(d) 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
(e) 
27
1 
3
1 
3
1 
3
1 
3
3
1 =⋅⋅=




a . a . a . ... . a
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
163163163163163UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
 EEEEEMMMMM TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
Cuidado!
 (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = 4
 - 22 = - (2 . 2) = - 4
Assim: (- 2)2 ≠ - 22
PPPPPROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADES DASDASDASDASDAS POTÊNCIASPOTÊNCIASPOTÊNCIASPOTÊNCIASPOTÊNCIAS COMCOMCOMCOMCOM EXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTE NATURALNATURALNATURALNATURALNATURAL
Observe:
(a) 23 . 24 = (2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27
ou 23 . 24 = 23 + 4 = 27.
(b) 33 . 34 . 32 . 35 = (3 . 3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) . (3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3 . 3) =
 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 314
ou
33 . 34 . 32 . 35 = 33 + 4 + 2 + 5 = 314.
Pode-se concluir:
Multiplicação de potências de mesma baseMultiplicação de potências de mesma baseMultiplicação de potências de mesma baseMultiplicação de potências de mesma baseMultiplicação de potências de mesma base: mantenha a
base e some os expoentes.
 am . an = am + n
Observe:
(a) 24 ÷ 23 = (2 . 2 . 2 . 2) ÷ (2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2
2 . 2 . 2 . 2
 = 21 = 2
ou 24 ÷ 23 = 24 - 3 = 21 = 2.
(b) 35 ÷ 32 = (3 . 3 . 3 . 3 . 3) ÷ (3 . 3) = 3.3
3 . 3 . 3 . 3 . 3
 = 33
ou 35 ÷ 32 = 35 - 2 = 33.
Pode-se concluir que:
Divisão de potências de mesma base:Divisão de potências de mesma base:Divisão de potências de mesma base:Divisão de potências de mesma base:Divisão de potências de mesma base: mantenha a base e
subtraia os expoentes.
am ÷ an = am - n com a ≠ 0
164164164164164
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
O que acontece quando os expoentes forem iguais? Observe:
(a) 23 ÷ 23 = (2 . 2 . 2) ÷ (2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2
2 . 2 . 2
 = 1
 ou 23 ÷ 23 = 23 - 3 = 20.
Como os dois resultados representam a mesma quantidade, pode-se
afirmar que, quando uma base qualquer é elevada ao expoente 0 o
resultado será 1.
a0 = 1 com a ≠ 0.
Tem-se, ainda, um outro caso: quando o expoente do divisor é maior
do que o do dividendo.
(a) 24 ÷ 27 = (2 . 2 . 2 . 2) ÷ (2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2) =
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
2 . 2 . 2 . 2
 = 2 . 2 . 2
1
 = 32
1
ou 24 ÷ 27 = 24 - 7 = 2- 3.
(b) 32 ÷ 36 = (3 . 3) ¸ (3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3) = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3
3 . 3
 =
43
1
ou 32 ÷ 36 = 32 - 6 = 3-4.
Pode-se concluir que:
a-n = na
1
Expandindo um pouco mais, se tem:
na
1
− = an e 
n
b
a −




 = 




a
b
n
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
165165165165165UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) 
1
7
5 −




 = 





7
5
1
 = 1. 5
7
 = 5
7
(b) 
2
2
3 −




 = 
2
3
2




 = 9
4
(c) 35
1
− = 53 = 125
Observe a situação em que uma base elevada é elevada a um
expoente, e todo esse número é elevado a outro expoente (potência de
outra potência).
(a) (23)2 = 23 . 23 = 23 + 3 = 26 ou (23)2 = 23 . 2 = 26
(b) (52)4 = 52 . 52 . 52 . 52 = 52 + 2 + 2 + 2 = 58 ou (52)4 = 52 . 4 = 58
Assim, pode-se escrever:
(am) n = am . n
 EEEEEMMMMM TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO:::::
Cuidado!
 (23)2 = 23 . 2 = 26
 
232 = 29
Assim: (23)2 ≠ 
232
Considere as expressões:
(a) (3 . 5)2 = (3 . 5) . (3 . 5) = 3 . 3 . 5 . 5 = 32 . 52
(b) (4 ÷ 7)3 = 
3
7
4




 = 7
4
 7
4
. 7
4
. = 3
3
7
4
 = 43 ÷ 73
Pode-se afirmar que
(a . b) n = a n . bn
(a ÷ b) n = a n ÷ bn ou 
n
b
a





 = n
n
b
a
166166166166166
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
NNNNNOTAÇÃOOTAÇÃOOTAÇÃOOTAÇÃOOTAÇÃO CIENTÍFICACIENTÍFICACIENTÍFICACIENTÍFICACIENTÍFICA
Quando trabalha-se com números muito grandes ou muito pequenos
é conveniente escrever em forma de potência.
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
 123 000 = 1,23 . 105
 100 000 000 = 108
 0,000 001 = 10-6
 0,000 123 = 1,23 . 10-4
Esta forma de expressar um número é conhecida como notação
científica. Para representá-la usa-se um número real pertencente ao
intervalo [1,9] multiplicado por uma potência de 10.
Note que o valor do expoente da potência 10 é o número de casas
que a vírgula teve que percorrer.
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) 10-1 = 0,1 = 10
1
(b) 10-3 = 0,001 = 1000
1
(c) 2 . 107 = 20 000 000
PPPPPOTÊNCIAOTÊNCIAOTÊNCIAOTÊNCIAOTÊNCIA COMCOMCOMCOMCOM EXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTE RACIONALRACIONALRACIONALRACIONALRACIONAL
Para a real, b real e n inteiro positivo, tem-se:
 n a = b
sendo n = índice;
a = radicando;
b = raiz.
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I167167167167167UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) 414 = 12 ⇔ 12 . 12 = 122 = 144
(b) 3 27− = - 3 ⇔ (- 3) . (- 3) . (- 3) = (- 3)3 = - 27
(c) 6 64 = 2 ⇔ 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 = 64
Por definição, representa-se uma raiz enésima pela expressão:
n
m
a = 
 n ma
PPPPPROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADES DASDASDASDASDAS POTÊNCIASPOTÊNCIASPOTÊNCIASPOTÊNCIASPOTÊNCIAS COMCOMCOMCOMCOM EXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTEEXPOENTE RACIONALRACIONALRACIONALRACIONALRACIONAL
As propriedades para expoentes racionais são as mesmas com
expoente natural.
Veja alguns casos:
mn aa . = mn mna× +
n ba. = nn a b . 
n
b
a
 = n
n
b
a
mn a )( = n ma
m n a = mn a.
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) 4 3 . 3 = 2
1
3 4
1
3 . = 4
1 
2
1
3
+ = 4
1 2
3
+
 = 4
3
3
(b) 44 5 . 3 = 4 5 . 3 = 4 15 ou
44 5 . 3 = 4
1
3 4
1
5 . = 4
1
5) . 3( = 4 5 . 3 = 4 15
(c) 5 32 = 10 32 ou 5 32 = 
2
1
5
3
2 



 = 2
1 . 
5
3
2 = 10
3
2
168168168168168
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 2 2 2 2 2 – – – – – FFFFFUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIAL
Agora você irá estudar as funções exponenciais. Observe que essas
funções são usadas para modelar o crescimento e o decrescimento
populacional e, também, em várias situações da Matemática Financeira.
A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao
mês (creditado mensalmente). Supondo somente este
juro, se você aplicar R$ 100,00 hoje, quanto terá daqui a
11 meses? E daqui a 10 anos?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais
e financeiras é o de juros compostos, que se baseia no seguinte
princípio:
 ao final do 1o período, os juros incidentes sobre o capital inicial
são a ele incorporados, produzindo o 1o montante;
 ao final do 2o período, os juros incidem sobre o 1o montante e
incorporam-se a ele, gerando o 2o montante;
 ao final do 3o período, os juros, calculados sobre o 2o
montante, incorporam-se a ele, gerando o 3o montante; e assim
por diante.
De modo geral, um Capital C, a juros compostos, aplicados a uma
taxa unitária fixa i, durante n períodos, produz:
M = C ( 1 + i ) n
No problema dado se tem C = 100, i = 0,5%=0,5/100=0,005 e
n = 11 na primeira pergunta e n = 120 na segunda questão.
Para 11 meses se tem R$ 105,64. De fato:
M = C ( 1 + i ) n
.64,105
)005,01(100
100
5,01100
11
11
≅
+=





 +=M
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
169169169169169UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
Para 10 anos ou 120 meses se tem R$ 181,94. De fato:
M = C ( 1 + i ) n
.94,181
)005,01(100
100
5,01100
120
120
≅
+=




 +=M
A Figura 9.1 apresenta um gráfico da evolução do investimento.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 9.1 - G9.1 - G9.1 - G9.1 - G9.1 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE nM )005,01(100 +=
De forma bastante simples se pode definir a função exponencial. É
uma função real que associa a cada número real x o número xa , com
0>a e 1≠a . Pode-se escrever:
f(x) = ax para a > 0, a ≠ 1
170170170170170
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) f(x) = 3x
(b) f(x) = 2x + 1
(c) f(x) = 3 x2 
OOOOOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃO
Por que aaaaa deve ser positivo?
Suponha que a = - 9 e x = 1/2. A função
f(x) = (- 9)1/2 = 9− .
Assim, você teria como resposta um número não real (veja
Unidade 5).
GGGGGRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DADADADADA FUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIAL
Analise o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = 2x (ver Figura 9.2)
 x x x x x f(x) = 2 f(x) = 2 f(x) = 2 f(x) = 2 f(x) = 2xxxxx y y y y y
 - 3 2-3 1/8
- 2 2-2 1/4
- 1 2-1 1/2
0 20 1
1 21 2
2 22 4
3 23 8
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 9.2 - G9.2 - G9.2 - G9.2 - G9.2 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE fffff(((((XXXXX) = 2) = 2) = 2) = 2) = 2XXXXX
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
171171171171171UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
(b) f(x) = 
x
2
1




 (ver Figura 9.3)
 xxxxx f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = 
x





2
1
 y y y y y
 - 3 (1/2)-3 8
 - 2 (1/2)-2 4
 - 1 (1/2)-1 2
 0 (1/2)0 1
 1 (1/2)1 1/2
 2 (1/2)2 1/4
 3 (1/2)3 1/8
 FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 9.3 - G9.3 - G9.3 - G9.3 - G9.3 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE fffff(((((XXXXX))))) = = = = = 
x
2
1





PPPPPROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADES
Pela observação das tabelas e gráficos, pode-se enunciar as
seguintes características:
 o domínio são todos os reais;
 a imagem é sempre positiva, excluindo o zero;
 o gráfico passa pelo ponto (0,1);
 para a > 1 a função é crescente;
 para 0 < a < 1 a função é decrescente.
Com um pouco de formalismo matemático é possível provar que
essas características são gerais para as funções exponenciais.
172172172172172
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 3 3 3 3 3 – – – – – LLLLLOGARITMOSOGARITMOSOGARITMOSOGARITMOSOGARITMOS
Os logaritmos surgiram para você poder realizar simplificações nos
cálculos, pois ao aplicar logaritmo em uma multiplicação estará o
transformando numa soma.
Uma aplicação de R$ 10 000,00 a juros de 10% ao ano
rendeu um montante de R$ 13.310,00 por quanto tempo
durou a aplicação?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Para resolver este problema você precisa utilizar o conceito de
logaritmo. Tem:
M = 13.310
C = 10.000
i = 10% = 0,1
Assim,
niCM )1( +=
13 310 = 10 000 (1 + 0,1)n
10000
13310)1,1( =n
(1,1)n = 1,331
Para encontrar n, aplique logaritmo:
log (1,1)n = log 1,331
Usando propriedades de logaritmos e usando uma calculadora se
tem:
n log (1,1) = 0,124
n . 0,041 = 0,124
n = 041,0
124,0
n ≅ 3
Ou seja, o capital inicial ficou aplicado por aproximadamente
3 anos.
Agora você irá estudar mais detalhes desta ferramenta. Acompanhe
o raciocínio!
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
173173173173173UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
Pense num número, por exemplo, 16, agora se pergunte: a qual
expoente se deve elevar o número 2 para obter 16? Sem muitas
dificuldades chega-se ao resultado 4, ou seja
24 = 16.
O que você acabou de fazer foi encontrar o logaritmo do número 16
na base 2. Apesar de um nome um pouco assustador – logaritmo –,
o que se faz, nada mais é que a busca de um expoente, isto é,
calcular o logaritmo de um número b>0 numa base a>0 e a ≠ 1, é
encontrar uma maneira de escrever b como uma potência de a,
melhor dizendo, qual expoente que deve-se elevar a para obter b?
No exemplo:
log216 = 4 pois 2
4 = 16
De maneira geral:
logab = x se e somente se a
x = b
 o número b é chamado de logaritmando;
 o número a é chamado de base;
 o número x é chamado de logaritmo.
OOOOOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃO
1. Quando calcula-se logab = x, note que para qualquer base
a > 0, não existe expoente para a, que nos retorne um número
negativo ou zero, logo b > 0.
2. Note que nunca se pode calcular o log1b, pois o número 1
elevado a qualquer expoente é sempre igual a 1, ou seja, não
se consegue escreverqualquer número positivo b, na base 1,
logo a ≠ 1.
Quando a base do logaritmo for igual a 10, não se costuma escrever
a base, por exemplo, log10100 escreva simplesmente log 100, e fica
subentendido que a base é 10. Aos logaritmos na base 10, se dá o nome
de logaritmos decimais ou de Briggs.
Na Unidade 4 você estudou que o número e irracional tem o valor
aproximado de (2,781...). Aos logaritmos que utilizam esta base se dá o
nome de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. A sua notação
também pode ser diferente: logeb = ln b.
174174174174174
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
1) Calcule log1010.000
Se log1010.000 = x então 10
x = 10.000
10x = 104
x = 4
Portanto log1010.000 = 4
2) Calcule log3471/49
Se log3471/49 = x então 347
x = 49
1
(73)x = 27
1
73x = 7-2
3x = -2
x = - 3
2
3) Calcule log81 3
Se log81 3 = x então 81
x = 3
(34)x = 2
1
3
34x = 2
1
3
4x = 2
1
x = 8
1
4) Verifique para qual valor de x, os logaritmos a seguir existem.
(a) log6(x - 6)
A base já é um número positivo e diferente de 1, logo a condição
deve ser estabelecida apenas para o logaritmando:
x - 6 > 0
x > 6
(b) log(x - 5)10
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
175175175175175UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
Como o logaritmando já é um número positivo, se estabelece apenas
a condição para a base:
x - 5 > 0 e x - 5 ≠ 1
x > 5 e x ≠ 6
Assim o conjunto verdade é dado por V = {x ∈ ú, x > 5 e x ≠ 6}.
 VVVVVOCÊOCÊOCÊOCÊOCÊ SABIASABIASABIASABIASABIA:::::
Na escala Ritcher se tem o uso de logaritmos? Você por acaso
sabe o que significa dizer que um terremoto atingiu 5 graus na
escala Ritcher? Na verdade este número é o logaritmo da
energia liberada pelo tremor. Quem criou esta escala foi o
sismologista americano Charles Ritcher. A energia liberada por
tremores é um número enorme, na casa dos bilhões. O que Richer fez,
foi calcular o logaritmo da energia em uma unidade chamada erg. Em
seguida subtraiu 11,8 do resultado do logaritmo da energia, e por fim
dividiu o resultado por 1,5. Com estas simplificações, os valores na
escala vão de 1 à 10, uma simplificação e tanto, não é? (Nota: o
número 11,8 que é subtraído do resultado do logaritmo, é um número
arbitrário).
PPPPPROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADES DODODODODO L L L L LOGARITMOOGARITMOOGARITMOOGARITMOOGARITMO
1) loga(m .n) = logam + logan
O logaritmo do produto de dois ou mais números, em uma mesma
base, é a soma dos logaritmos destes números na mesma base.
2) loga(m/n) = logam - logan
O logaritmo do quociente de dois números numa mesma base é a
diferença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador,
na mesma base.
3) logab
n = n . logab
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta
potência pelo logaritmo da base da potência, mantendo o logaritmo na
mesma base.
OOOOOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃO
(a) loga1 = 0 , pois a
0 = 1
(b) logaa = 1 , pois a
1 = a
(c) logaa
m = m
176176176176176
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
1) Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule o
log 24.
Primeiramente se fatora o número 24 = 23 . 3, assim:
log 24 = log(23. 3) = log 23 + log 3 = 3log 2 + log 3 = 3 . 0,3010 + 0,4771 = 1,3801.
2) Sabendo que log a = 0,3010, log b = 0,4771 e
log c = 0,8450, calcule log
c
ba.
Use as propriedades:
log
c
ba. = log( ba. ) - log c = log 2
1
a + log b - log c = 2
1
log a + log b - log c =
= 2
1
0,3010 + 0,4771 - 0,8450 = -0,2174.
3) Calcule log 0,2 , sabendo-se que log 2 = 0,3010.
Tem:
log 0,2 = log 10
2
 = log 2 - log 10 = 0,3010 - 1 = -0,699.
MMMMMUDANÇAUDANÇAUDANÇAUDANÇAUDANÇA DEDEDEDEDE BASEBASEBASEBASEBASE DEDEDEDEDE LOGARITMOLOGARITMOLOGARITMOLOGARITMOLOGARITMO
As bases de logaritmo mais comuns são as decimais ou de Briggs e
as naturais ou neperianas. Estas aparecem na maior parte das calculadoras
científicas e financeiras.
Como será trabalhado, se por alguma razão, o problema que é
apresentado ou o fenômeno físico são representados por um logaritmo em
base diferente das usuais?
Use a mudança de base. Acompanhe as idéias seguintes:
BACB CA =⇒=log (1)
BDFB FD =⇒=log (2)
ADGA GD =⇒=log (3)
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
177177177177177UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
De (1) e (2) se tem que FC DA = . Como de (3) se tem que ADG = ,
se pode reescrever
FGC
FCG
FC
DD
DD
DA
=
=
=
)(
ou
G
FC
FGC
=
=
Assim, se pode reescrever (1) como:
G
FBA =log
Quando D = B, se pode escrever:
A
BB
B
B
A log
loglog =
ou
A
B
B
A log
1log =
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) log 213 = 2log
13log
3 
3 = 2log
13log
5 
5 = 2log
13log
7 
7 = 2log
13log
 = 301030,0
113943,1
 = 3,70044
(b) log 35 = 3log
5log
 = 477121,0
698970,0
 = 1,464974
178178178178178
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 4 4 4 4 4 – – – – – FFFFFUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO LOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICA
Agora você irá estudar a função logarítmica de forma comparativa
com a função exponencial. Verifique que essas funções são inversas uma
da outra.
Ao resolver um problema prático é possível observar que
se pode usar a função exponencial ou a função
logarítmica.
Por que isto acontece?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Para responder esta pergunta lembre da definição de logaritmo. Tem:
baxb xa =⇔=log
As operações indicadas são ditas inversas. Da mesma forma a função
exponencial é a função inversa da função logarítmica ou vice-versa.
A existência da inversa fica garantida, pois ambas as funções são
ditas sobrejetoras. Veja:
Se )(xfy = é uma função de A em B e se para cada By ∈ , existir
exatamente um valor Ax ∈ tal que )(xfy = , então se pode definir
uma função 1−= fg tal que )( ygx = .
Para facilitar o esclarecimento da definição acima se pode visualizar
a Figura 9.4 que mostra a função que modela o problema inicial da
Seção 2. Nessa figura se pode observar uma função exponencial,
uma função logarítmica e a função linear y = x. Verifique a perfeita
simetria em relação a reta y = x.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 9.4 - F9.4 - F9.4 - F9.4 - F9.4 - FUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIAL EEEEE LOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICA
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
179179179179179UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
Para reforçar as idéias acima resgate o problema da Seção 2 fazendo
um novo questionamento
A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês
(creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se você
aplicar R$ 100,00 em quanto tempo vai ter um saldo de R$ 135,00?
Escreva a inversa de nM )005,1(100= . Basta aplicar logaritmo e
explicitar o valor de n. Tem:
005,1log
100loglog
005,1log100loglog
])005,1(100log[log
−=
+=
=
Mn
nM
M n
Usando a calculadora se pode obter (observar que se está usando
logaritmo na base 10).
100
log67,461 Mn = .
Para responder a pergunta do problema basta aplicar o valor
 R$ 135,00 para obter o valor de n.
.60
100
135log67,461
100
log67,461
≅
=
=
n
n
Mn
Tem, portanto 60 meses ou 5 anos.
Formalmente se pode definir a função logarítmica como a função
inversa da função exponencial. Assim
y = logax, se e somente se, a
y = x
Faça uma análise conjunta das duas funções facilitando, assim, as
reflexões sobre as propriedades e características.
180180180180180
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDEEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
As funções f(x) = ax e g(x) = logax, são inversas uma da outra. O
gráfico de f(x) = ax é simétrico ao gráfico da função g(x) = logax em
relação a reta y = x.
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
181181181181181UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 5 5 5 5 5 – – – – – OOOOOBSERVEBSERVEBSERVEBSERVEBSERVE OUTROSOUTROSOUTROSOUTROSOUTROS EXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOS
Observe bem os detalhes para esclarecer todos os conceitos e
propriedades das funções discutidas nesta unidade.
Inicialmente, resgate o problema inicial da unidade.
O O O O O PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA MOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADOR
A produção de um operário em uma fábrica pode ser
modelada?
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 9.9 - G9.9 - G9.9 - G9.9 - G9.9 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE )1(50)( 34,0 tetf −−=
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
A partir de informações (dados) é possível modelar a produção de um
operário em uma fábrica. Por exemplo, )1(50)( ktetf −−= , sendo t o
tempo em dias e k uma constante característica do contexto no qual os
dados são coletados. A partir de uma informação pontual é possível
achar o valor de k. Por exemplo se o operário produzir 37 unidades em
4 dias, tem 37)4( =f ou 37)1(50)4( 4 =−= −kef
182182182182182
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Pode-se reescrever: 
50
13
1350
503750
375050
4
4
4
4
=
−=−
−=−
=−
−
−
−
−
k
k
k
k
e
e
e
e
Aplicando logaritmo natural: 
34,0
35,14
50
13lnln 4
≅
−≅−
=−
k
k
e k . Assim a equação que
modela é: )1(50)( 34,0 tetf −−= (ver Figura 9.9).
Acompanhe outros exemplos.
Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1
Em um laboratório, um determinado inseto apresenta um
ciclo reprodutivo de 1 hora: a cada hora um par de inseto
gera outro par. Um par foi deixado junto para reprodução.
Depois de 5 horas verificou-se o número de insetos presentes.
Qual o valor encontrado? Como modelar essa experiência?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Acompanhe a análise:
P0 = população inicial = 2
P1 = população após 1 hora = P0 . 2 = P0 . 2
1
P2 = população após 2 horas = P1 . 2 = P0 . 2 . 2 = P0 . 2
2
P3 = população após 3 horas = P2 . 2 = P0 . 2 . 2 . 2 = P0 . 2
3
P4 = população após 4 horas = P3 . 2 = P0 . 2 . 2 . 2 . 2 = P0 . 2
4
P5 = população após 5 horas = P4 . 2 = P0 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = P0 . 2
5
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
183183183183183UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 9 9 9 9
Genericamente, se poderia dizer que para este ciclo, se tem:
Pn = P0 . 2
 n
sendo: n = número de horas;
 P0 = população inicial;
 Pn = população após determinado número de horas.
Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2
Observe os cálculos:
(a) 00005,0
20000
1
100000
5
10
510.5 5
5 ====− .
(b) 0139,0222
2
2
2
2
22
22
22
22
22
)2(2 6
37
6
5215
3
26
2
5
3
26
2
5
3
28
2
2
1
3/28
22/1
3/22
82/1
232
24
≅=====
×
×=
×
×=
×
× −−−
+
+
−
−
−
−
Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3
Veja a simplificação:
( )
.
z . wz . w
z . 
10
51
5110
24
8
17
12
524
8
161
12
83242
8
1
3
2
4
1
2428/13/24/1
24
232
84
24
232
4
w
zzwzwzwzw
zzwwzww
=×=



×=



×=



×=
=×××=


 ×=








−
−+−+−
−
−−
Observe que tem outra maneira para encaminhar as simplificações.
Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4
Qual a taxa mensal (%) para dobrar um capital em 2 anos?
184184184184184
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
A expressão que se deve usar para resolver esse problema é:
M = C ( 1 + i ) n
Ao querer encontrar i tal que C seja duplicado, ou seja M=2C.
Como se quer taxa mensal use n = 2 anos = 24 meses. Assim,
029,0
12
12
)1(2
)1(2
24
24
24
24
≅
−=
+=
+=
+=
i
i
i
i
iCC
Portanto, se tem 2,9 %.