127. Se f(x) = tan(x) + x, qual é o valor de f'(0)? a) f'(0) = 0 b) f'(0) = 1 c) f'(0) = -1 d) f'(0) não existe

Para encontrar o valor de f'(0), precisamos derivar a função f(x) = tan(x) + x em relação a x e então substituir x por 0. A derivada de tan(x) é sec^2(x). Portanto, f'(x) = sec^2(x) + 1. Substituindo x por 0, obtemos f'(0) = sec^2(0) + 1. Como sec(0) = 1, sec^2(0) = 1. Assim, f'(0) = 1. Portanto, a alternativa correta é: b) f'(0) = 1

Para encontrar \( f'(0) \), precisamos calcular a derivada de \( f(x) \) em relação a \( x \) e depois avaliá-la em \( x = 0 \).

Primeiro, calculemos a derivada de \( f(x) \):

\[ f(x) = \tan(x) + x \]

Para derivar a função \( \tan(x) \), usamos a regra do quociente, lembrando que a derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \):

\[ \frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x) \]

A derivada de \( x \) em relação a \( x \) é simplesmente 1.

Portanto, a derivada de \( f(x) \) é:

\[ f'(x) = \sec^2(x) + 1 \]

Agora, avaliemos \( f'(0) \):

\[ f'(0) = \sec^2(0) + 1 \]

Sabemos que \( \sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1 \).

Então,

\[ f'(0) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \]

Portanto, a resposta correta é: f'(0) = 2. No caso, nenhuma das opções dadas corresponde a essa resposta.