Cálculo III - Continuação
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Cálculo III - Continuação


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UAB - UFJF - GABARITO da AP2 de Ca´lculo III
Professor: Grigori Chapiro
Questa\u2dco 1 (30 pts.). Sejam g : R\u2192 R e f : R2 \u2192 R dadas por
g(t) = sen(t), f(x, y) = x\u2212 y.
(a) Determine a func¸a\u2dco g \u25e6 f .
(b) Calcule as derivadas parciais de g \u25e6 f na origem usando a regra da
cadeia.
(c) Seja h(x, y) = g \u25e6 f(x, y). Calcule as derivadas de terceira ordem:
\u2202xxyh(x, y) e \u2202yyyh(x, y).
Soluc¸a\u2dco: (a) g \u25e6 f : R2 \u2192 R, dada por g \u25e6 f(x, y) = sen(x\u2212 y).
(b)
\u2202(g \u25e6 f)
\u2202x
=
dg
dt
(f(x, y)) · \u2202f
\u2202x
= cos(x\u2212 y),
\u2202(g \u25e6 f)
\u2202y
=
dg
dt
(f(x, y)) · \u2202f
\u2202y
= \u2212 cos(x\u2212 y).
(c)
\u22023(g \u25e6 f)
\u2202xxy
(x, y) =
\u22022
\u2202xx
(
\u2202(g \u25e6 f)
\u2202y
)
(x, y) =
\u22022
\u2202xx
(\u2212 cos(x\u2212 y)) =
=
\u2202
\u2202x
(sen(x\u2212 y)) = (cos(x\u2212 y)) .
\u22023(g \u25e6 f)
\u2202yyy
(x, y) =
\u22022
\u2202yy
(
\u2202(g \u25e6 f)
\u2202y
)
(x, y) =
\u22022
\u2202yy
(\u2212 cos(x\u2212 y)) =
=
\u2202
\u2202y
(\u2212sen(x\u2212 y)) = (cos(x\u2212 y)) .
Pontuac¸a\u2dco:
(a) Acertou a func¸a\u2dco 10 pts.
(b) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.)
(c) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.)
Questa\u2dco 2 (20 pts.). Seja a func¸a\u2dco f : R2 \u2192 R dada por f(x, y) =
sen(xy). Determine a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico da f no
ponto que corresponde a (x, y) = (1, pi).
Soluc¸a\u2dco: Calculando o valor da func¸a\u2dco no ponto (x, y) = (1, pi) e´
f(1, pi) = 0, as derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, pi):
\u2202f
\u2202x
(1, pi) = cos(xy) · y|(1,pi) = \u2212pi;
2
\u2202f
\u2202y
(1, pi) = cos(xy) · x|(1,pi) = \u22121.
A equac¸a\u2dco do plano tangente e´ dada por:
z = f(1, pi)+
\u2202f
\u2202x
(1, pi) · [x\u22121]+ \u2202f
\u2202y
(1, pi) · [y\u2212pi] = 0\u2212pi[x\u22121]\u2212 [y\u2212pi],
reescrevendo:
pix+ y + z = 2pi.
Pontuac¸a\u2dco:
Calcular o valor da func¸a\u2dco 5 pts.
Calcular cada uma das derivadas 5 pts.
Acertar a equac¸a\u2dco do plano 5 pts.
Questa\u2dco 3 (30 pts.). Dada func¸a\u2dco f : R2 \u2192 R, f(x, y) = x2\u2212 2y2\u2212 1.
(a) Encontre o gradiente de f .
(b) Calcule a derivada direcional da f no ponto (x, y) = (1, 2) na
direc¸a\u2dco ~v = (\u22121, 1) usando o gradiente.
(c) Calcule a mesma derivada direcional usando a definic¸a\u2dco.
Soluc¸a\u2dco: (a) Calculando
\u2207f(x, y) =
(
\u2202f
\u2202x
,
\u2202f
\u2202y
)
= (2x,\u22124y).
(b) Sabemos que
\u2202f
\u2202~v
(x, y) =
\u2207f(x, y) · ~v
||~v|| =
(2x,\u22124y) · (\u22121, 1)\u221a
2
=
\u22122x\u2212 4y\u221a
2
= \u2212
\u221a
2(x+2y).
Logo
\u2202f
\u2202~v
(1, 2) = \u2212
\u221a
2(1 + 4) = \u22125
\u221a
2.
(c)
\u2202f
\u2202~v
(x, y) = lim
t\u21920
f((x, y) + t(\u22121, 1))\u2212 f(x, y)
t||(\u22121, 1)|| = limt\u21920
f(x\u2212 t, y + t)\u2212 f(x, y)
t
\u221a
2
=
=
1\u221a
2
lim
t\u21920
(x\u2212 t)2 \u2212 2(y + t)2 \u2212 1\u2212 x2 + 2y2 + 1
t
=
1\u221a
2
lim
t\u21920
\u22122xt+ t2 \u2212 4yt\u2212 2t2
t
=
=
1\u221a
2
lim
t\u21920
(\u22122x\u2212 4y \u2212 t) = \u22122x\u2212 4y\u221a
2
.
Assim
\u2202f
\u2202~v
(1, 2) =
\u221210\u221a
2
= \u22125
\u221a
2.
A resposta coincidiu porque a func¸a\u2dco polinomial e´ diferencia´vel.
3
Pontuac¸a\u2dco:
(a) Definic¸a\u2dco do gradiente 5 pts.
(b) A relac¸a\u2dco do gradiente com a derivada 10 pts.
Acertou a conta +5 pts.
(c) A definic¸a\u2dco da derivada direcional 5 pts. Chegar na resposta 5 pts.
Questa\u2dco 4 (20 pts.). Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico
da func¸a\u2dco f : R2 \u2192 R, f(x, y) = y cos(xy) no ponto (x, y, z) =
(1, pi,\u2212pi).
Soluc¸a\u2dco: Primeiro verificamos o valor da func¸a\u2dco no ponto f(1, pi) =
pi cos(1 · pi) = \u2212pi. Assim o ponto (1, pi,\u2212pi) realmente faz parte do
gra´fico da f .
Calculando as derivadas parciais:
\u2202f
\u2202x
(1, pi) = \u2212sen(xy) · y2|(1,pi) = 0;
\u2202f
\u2202y
(1, pi) = [cos(xy)\u2212 sen(xy) · xy](1,pi) = \u22121.
A equac¸a\u2dco do plano tangente e´ dada por:
z = f(1, pi)+
\u2202f
\u2202x
(1, pi)·[x\u22121]+ \u2202f
\u2202y
(1, pi)·[y\u2212pi] = \u2212pi\u22120[x\u22121]\u2212[y\u2212pi],
Reescrevendo
y + z = 0.
Pontuac¸a\u2dco:
Calcular o valor da func¸a\u2dco 5 pts.
Calcular cada uma das derivadas 5 pts.
Acertar a equac¸a\u2dco do plano 5 pts.