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Exercício - Aula 2 - Solução 
O objetivo deste exercício é que os alunos percebam a importância de organizar a solução 
antes de iniciar a resolver um problema. Existem sempre muitos caminhos, alguns são 
substancialmente mais longos que outros. 
A proposta é fornecer um problema infactível no tempo fornecido e verificar por onde e até 
onde os alunos desenvolvem a solução. O problema é apresentado com a figura abaixo: 
 
Pede-se: 
a) Ix, Iy e Ixy dos eixos representados, que passam pelo centroide 
b) Determinar se esses são os eixos principais 
c) Se não forem, calcular os eixos principais 
Bem, por onde começar? 
Dado que o problema pede o cálculo dos momentos de inércia e do produto de inércia, a 
primeira pergunta que precisa ser respondida é: com relação a quais eixos? 
O problema sugere a direção dos eixos, mas não deixa claro qual é o centroide. Sendo assim, o 
primeiro passo é calcular a posição do centroide. 
Cálculo da Posição do Centroide 
Antes de mais nada, vamos usar um eixo x\u2019 y\u2019 de referência, conforme indicado abaixo. Todas 
as posições a seguir serão indicadas conforme esses eixos. 
 
Visto que a figura tem simetria na horizontal, o centroide se encontra exatamente no eixo de 
simetria. Como a figura tem 8 de largura, o eixo Y deverá estar no meio desta largura, ou seja, 
a uma distância 4 à direita do eixo y\u2019. 
Já a posição de X é um pouco mais complicada de se obter, já que a figura não tem simetria. 
Sendo assim, precisamos encontrar o momento estático com relação ao eixo x\u2019 para, dividindo 
este valor pela área total da figura, descobrirmos a posição do eixo X. 
Há diversas formas de calcular o momento estático da área mas, como o eixo x\u2019 foi 
posicionado convenientemente, uma forma prática é \u201cpicotando\u201d a figura em diferentes 
retângulos cujo momento estático é calculado diretamente, pela fórmula (b * h^2)/2: 
 
SxI = SxIII = ( b * h^2 ) / 2 = (2 * 7^2) / 2 = 7^2 = 49 
SxII = ( b * h^2 ) / 2 = ( 4 * 3^2 ) / 2 = 2 * 9 = 18 
Sx = SxI + SxII + SxIII = -49 -18 -49 = -116 => São negativos pq estão no 4º quadrante! 
Para calcular a altura do eixo X ainda precisamos da área da figura, que nada mais é que: 
A = AI + AII + AIII = 2*7 + 3*4 + 2*7 = 14 + 12 + 14 = 40 
Logo, a posição do eixo X pode ser calculada com a expressão: 
yg = Sx / A = -116 / 40 = -2.9 
Assim, podemos indicar os eixos que passam pelo centroide da figura: 
 
Agora que já sabemos os eixos, vamos para o trabalho de calcular os momentos de inércia. 
Cálculo dos Momentos de Inércia 
Como não sabemos calcular o momento de inércia da figura como um todo (ao menos não 
sem usar uma integral complicada), podemos recorrer ao mesmo artifício de \u201cpicotar a figura\u201d. 
Entretanto, os eixos não estão em posições que saibamos, de antemão, a fórmula de cálculo... 
precisaremos transladar os eixos. Sendo assim, para facilitar, vamos partir dos eixos centrais 
de cada um dos retângulos (podendo, assim, usar a fórmula de translação simplificada Ix\u2019 = Ix + 
d^2 * A ) e transladar cada um destes eixos para o centroide da figura. A soma destes valores 
todos será o momento de inércia da figura com relação aos eixos indicados. 
Comecemos pela figura I. Observe: 
 
O momento de inércia Ix\u2019 para a figura I é: 
Ix\u2019I = ( b * h^3 ) / 12 = (2 * 7^3) / 12 = 343 / 6 = 57,17 
Transladando para o eixo x, que está a uma distância (4,1-3,5) = 0,6 de x\u2019: 
IxI = Ix\u2019I + d^2 * A = 57,17 + 0,6^2 * 14 = 62,21 
IxI = 62,21 
Observe que, com relação ao eixo X, não há diferença entre as figuras I e III... logo... 
IxIII = 62,21 
Já o momento de inércia Iy\u2019 para a figura I é: 
Iy\u2019I = ( b * h^3 ) / 12 = (7 * 2^3) / 12 = 14 / 3 = 4,67 
Transladando para o eixo y, que está a uma distância (4-1) = 3 de y\u2019: 
IyI = Iy\u2019I + d^2 * A = 4,67 + 3^2 * 14 = 130,67 
IyI = 130,67 
Observe que, por simetria... IyIII = IyI 
IyIII = 130,67 
O produto de inércia também é simples: 
Ix\u2019y\u2019I = 0 
IxyI = Ix\u2019y\u2019I + dx * dy * A = 0 + (-3) * (-0,6) * 14 = 25,2 
IxyI = 25,2 
No caso do IxyIII... colocando o eixo convenientemente em seu centro de gravidade.... 
Ix\u2019y\u2019III = 0 
IxyIII = Ix\u2019y\u2019III + dx * dy * A = 0 + 3 * (-0,6) * 14 = -25,2 
IxyIII = -25,2 
Faltam agora os momentos de inércia da figura II, que precisam de eixos mais interessantes (o 
eixo y já é o eixo central da figura II, então ele é o que será usado!): 
 
Com relação ao eixo X, podemos calcular Ix\u2019II: 
Ix\u2019II = ( b * h^3 ) / 12 = (4 * 3^3) / 12 = 108 / 12 = 9 
Transladando para o eixo x, que está a uma distância (2,9-1,5) = 1,4 de x\u2019: 
IxII = Ix\u2019II + d^2 * A = 9 + 1,4^2 * 12 = 32,52 
IxII = 32,52 
O eixo y já é o eixo de simetria... logo 
IyII = ( b * h^3 ) / 12 = (3 * 4^3) / 12 = 192 / 12 = 16 
IyII = 16 
Com relação ao produto de inércia... 
Ix\u2019yII = 0 
IxyI = Ix\u2019yI + dx * dy * A = 0 + 0 * 1,4 * 12 = 0 
IxyI = 0 
 
Quadro Resumo dos Momentos de Inércia 
 
IxI = 62,21 IyI = 130,67 IxyI = 25,2 
IxII = 32,52 IyII = 16 IxyIII = -25,2 
IxIII = 62,21 IyIII = 130,67 IxyI = 0 
 
Logo.. 
Ix = 62,21 + 32,52 + 62,21 = 156,94 Ix = 156,94 
Iy = 130,67 + 16 + 130,67 = 156,94 Iy = 277,34 
Ixy = 25,2 -25,2 + 0 Ixy = 0 
 
Como Ixy = 0, estes são os eixos principais de inércia! Iy é o momento máximo e Ix é o 
momento mínimo... ainda que a figura não seja simétrica em relação ao eixo X! 
 
Parece muita coisa? Nem tanto: na página a seguir, apenas os cálculos estão apresentados. 
 
Exercício - Aula 2 \u2013 Solução (apenas Cálculos) 
Cálculo da Posição do Centroide 
SxI = SxIII = ( b * h^2 ) / 2 = (2 * 7^2) / 2 = 7^2 = 49 
SxII = ( b * h^2 ) / 2 = ( 4 * 3^2 ) / 2 = 2 * 9 = 18 
Sx = SxI + SxII + SxIII = -49 -18 -49 = -116 => São negativos pq estão no 4º quadrante! 
A = AI + AII + AIII = 2*7 + 3*4 + 2*7 = 14 + 12 + 14 = 40 
yg = Sx / A = -116 / 40 = -2.9 
 
Cálculo dos Momentos de Inércia 
Ix\u2019I = ( b * h^3 ) / 12 = (2 * 7^3) / 12 = 343 / 6 = 57,17 
IxI = Ix\u2019I + d^2 * A = 57,17 + 0,6^2 * 14 = 62,21 IxI = 62,21 / IxIII = 62,21 
Iy\u2019I = ( b * h^3 ) / 12 = (7 * 2^3) / 12 = 14 / 3 = 4,67 
IyI = Iy\u2019I + d^2 * A = 4,67 + 3^2 * 14 = 130,67 IyI = 130,67 / IyIII = 130,67 
Ix\u2019y\u2019I = 0 
IxyI = Ix\u2019y\u2019I + dx * dy * A = 0 + (-3) * (-0,6) * 14 = 25,2 IxyI = 25,2 
Ix\u2019y\u2019III = 0 
IxyIII = Ix\u2019y\u2019III + dx * dy * A = 0 + 3 * (-0,6) * 14 = -25,2 IxyIII = -25,2 
Ix\u2019II = ( b * h^3 ) / 12 = (4 * 3^3) / 12 = 108 / 12 = 9 
IxII = Ix\u2019II + d^2 * A = 9 + 1,4^2 * 12 = 32,52 IxII = 32,52 
IyII = ( b * h^3 ) / 12 = (3 * 4^3) / 12 = 192 / 12 = 16 IyII = 16 
Ix\u2019yII = 0 
IxyI = Ix\u2019yI + dx * dy * A = 0 + 0 * 1,4 * 12 = 0 IxyI = 0 
Ix = 62,21 + 32,52 + 62,21 = 156,94 Ix = 156,94 
Iy = 130,67 + 16 + 130,67 = 156,94 Iy = 277,34 
Ixy = 25,2 -25,2 + 0 Ixy = 0