Cálculo III

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UAB - UFJF - GABARITO da AP1 de Ca´lculo III
Professor: Grigori Chapiro
Aluno(a):
Polo: Data: 25/09/2010
Obs.: Conte´m 4 questo˜es. Prova individual sem consulta e sem calcu-
ladora. Resposta final a caneta.
Questa˜o 1 (25 pts.). Dada a func¸a˜o f : R2 → R definida por
f(x, y) =

x3
x2 + y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
(a) Determine o domı´nio de continuidade desta func¸a˜o.
(b) Calcule (se poss´ıvel) as derivadas parciais na origem.
Soluc¸a˜o:
(a) A func¸a˜o f(x, y) e´ cont´ınua para todos os pontos onde x2+ y2 6= 0,
portanto basta verificar se f(x, y) e´ cont´ınua na origem. Para isso
efetuamos o seguinte ca´lculo (usado va´rias vezes na apostila)∣∣∣∣ x3x2 + y2
∣∣∣∣ = |x| ∣∣∣∣ x2x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ |x| · 1 = |x|.
Portanto
0 ≤ lim
(x,y)→(0,0)
∣∣∣∣ x3x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ lim(x,y)→(0,0) |x| = 0.
Logo lim
(x,y)→(0,0)
∣∣∣∣ x3x2 + y2
∣∣∣∣ = 0 e consequ¨entemente lim(x,y)→(0,0) x3x2 + y2 = 0.
Domı´nio de continuidade e´ R2.
(b) Substituindo na definic¸a˜o:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
h3
h2+0
− 0
h
= lim
h→0
1 = 1.
∂f
∂y
(0, 0) = lim
h→0
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0
0+h2
− 0
h
= lim
h→0
0 = 0.
Pontuac¸a˜o:
Erro de conta (-5pts). Resposta sem justificativa 0 pts.
(a) 15 pts. Quem lembrou da definic¸a˜o de continuidade ganhou 10 pts.
(b) 10 pts. Quem lembrou da definic¸a˜o da derivada parcial ganhou
5 pts.
Questa˜o 2 (25 pts.). Definimos uma regia˜o no espac¸o por:
R = {(x, y, z) ∈ R3, −1 ≤ x ≤ 1, x > y2 + z2}.
(a) Responda, justificando, se os pontos (2, 1, 1) e (0,−1, 1) sa˜o pontos
de acumulac¸a˜o de R.
(b) Fac¸a um esboc¸o desta regia˜o.
Soluc¸a˜o:
(a) x = y2+z2 e´ a equac¸a˜o de um parabolo´ide el´ıptico regular. Portanto
a regia˜o R e´ a regia˜o limitada pelo parabolo´ide e pelo plano x = 1.
Um ponto e´ de acumulac¸a˜o se estiver no interior ou na fronteira da
regia˜o R.
Testando o ponto A = (2, 1, 1): 2 > 1, A esta´ fora da regia˜o R.
Testando o ponto B = (0,−1, 1): 0 < (−1)2+12, B esta´ fora da regia˜o
R.
(b) Embora na˜o era necessa´rio, eu coloquei os pontos A e B na figura
abaixo. OBS: A informac¸a˜o que −1 ≤ x e´ desnecessa´ria pois y2+ z2 ≥
0, ∀y, z.
Figura 1. A regia˜o R e´ o interior do “copo”.
Pontuac¸a˜o:
(a) 15 pts. Lembrou da definic¸a˜o do ponto de acumulac¸a˜o ou algum
resultado equivalente 5 pts. Teste para os pontos A e B (5 pts.) cada.
Resposta sem justificativa ou com justificativa errada (0 pts.)
(b) Esboc¸o da regia˜o (tem que aparecer o parabolo´ide) 10 pts.
Questa˜o 3 (25 pts.). Dada func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = x2− 2y2− 1.
(a) Encontre a equac¸a˜o da curva de n´ıvel de f(x, y) que corresponde
ao valor 0.
(b) Fac¸a o esboc¸o desta curva de n´ıvel.
Soluc¸a˜o:
(a) curva de n´ıvel de f(x, y) que corresponde ao valor 0:
x2 − 2y2 − 1 = 0.
(e´ uma hipe´rbole)
(b) Esboc¸o da curva x2 − 2y2 = 1:
Figura 2
Pontuac¸a˜o:
(a) 15 pts. (Fo´rmula errada 0 pts) (b) 10 pts.
Desenhar so´ a metade da hipe´rbole (-5 pts).
Desenhar a curva em 3D (plano z = 0) (-5 pts).
Confundir os eixos x e y (-5 pts).
Questa˜o 4 (25 pts.). Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico
da func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = y cos(xy) no ponto (x, y, z) =
(1, pi,−pi).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente temos que verificar se o ponto dado e´ realmente um
ponto da superf´ıcie. f(1, pi) = picos(1 · pi) = −pi.
As derivadas parciais da func¸a˜o no ponto (1, pi,−pi) sa˜o:
∂f
∂x
= −y2sen(xy), ∂f
∂x
(1, pi) = −pi2sen(1 · pi) = 0;
∂f
∂y
= cos(xy)− xysen(xy), ∂f
∂y
(1, pi) = cos(pi)− 1 · pisen(pi) = −1.
Usando a equac¸a˜o da apostila temos:
z = f(1, pi) +
∂f
∂x
(1, pi)(x− 1) + ∂f
∂y
(1, pi)(y − pi).
z = −pi + 0(x− 1) + (−1)(y − pi) = −pi − y + pi = −y.
Equac¸a˜o do plano: z + y = 0.
Pontuac¸a˜o:
Dei 5 pts. para quem lembrou da equac¸a˜o mas na˜o tem menor ide´ia o
que fazer com ela.
Erro de conta -5pts.