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P2 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2010.1- Gabarito
1. Considere a func¸a\u2dco
f(x, y) = 2x+ x2 \u2212 y2 + xy2.
(a) (1.0) Encontre a aproximac¸a\u2dco de Taylor quadra´tica
S(x, y) de f em torno do ponto (0, 0).
Soluc¸a\u2dco: Temos
S(x, y) = 2x+ x2 \u2212 y2.
(b) (1.0) Esboce a curva de n´\u131vel 1 de S(x, y).
Soluc¸a\u2dco: Hipe´rbole centrada em (\u22121, 0), eixos
principais paralelos aos eixos coordenados e com
a = b =
\u221a
2.
2. Considere a func¸a\u2dco
f(x, y) =
[
(x\u2212 1)2 + y2]·[(x+ 1)2 + y2] = x4+y4+2x2y2\u22122x2+2y2+1
e os pontos P1 = (0, 0),P2 = (1, 0),P3 = (0, 1),P4 =
(\u22121, 0) e P5 = (0,\u22121).
(a) (1.0) Quais dentre os pontos P1, P2, P3, P4 e P5
sa\u2dco cr´\u131ticos.
Soluc¸a\u2dco: Temos \u2207(f) = (4x3+4xy2\u2212 4x, 4y3+
4yx2 + 4y). Dentre os pontos acima, os u´nicos
com gradiente nulo sa\u2dco P1, P2 e P4.
(b) (1.0) Classifique os pontos cr´\u131ticos obtidos em
(a) como ma´ximo local, m\u131´nimo local ou sela.
Soluc¸a\u2dco: A matriz Hessiana e´
1
H =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 12x2 + 4y2 \u2212 4 8xy
8xy 12y2 + 4x2 + 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Nos pontos P2 e P4, os autovalores sa\u2dco 8 e 8. No
ponto P1 os autovalores sa\u2dco \u22124 e 4. Portanto P2
e P4 sa\u2dco m\u131´nimos locais e P1 e´ sela.
(c) (1.0)Algum dentre estes pontos e´ extremo global?
Soluc¸a\u2dco: Nos pontos P2 e P4 a func¸a\u2dco vale 0, e e´
sempre na\u2dco-negativa. Portanto estes pontos sa\u2dco
m\u131´nimos globais.
3. Considere a func¸a\u2dco f(x, y, z) = x2+ x3+2y2+3z2 e
o dom\u131\ufffd\ufffdnio
D = {(x.y, z) \u2208 R3| x2 + y2 + z2 \u2264 1 }
(a) (1.0) Encontre os pontos cr´\u131ticos no interior do
dom\u131´nio.
Soluc¸a\u2dco: Temos\u2207(f) = (2x+3x2, 4y, 6z). Igua-
lando este gradiente a zero, obtemos os pontos
cr´\u131ticos P1 = (0, 0, 0) e P2 = (\u22122/3, 0, 0).
(b) (1.5) Encontre os candidatos a extremos na fron-
teira do dom\u131´nio.
Soluc¸a\u2dco: Utilizando multiplicadores de Lagrange
temos (2x+ 3x2, 4y, 6z) = \u3bb(x, y, z). Resolvendo
este sistema e usando que x2 + y2 + z2 = 1,
obtemos os candidatos P3 = (0,\u22121, 0), P4 =
(0, 1, 0), P5 = (0, 0,\u22121), P6 = (0, 0, 1), P7 =
(\u22121, 0, 0), P8 = (1, 0, 0), P9 = (2/3,
\u221a
5/3, 0) e
P10 = (2/3,\u2212
\u221a
5/3, 0).
2
(c) (0.5) Encontre o ma´ximo global da func¸a\u2dco f ,
caso exista.
Soluc¸a\u2dco: Avaliando a func¸a\u2dco em todos os can-
didatos a ma´ximo global temos que o maior valor
e´ f(P5) = f(P6) = 3. Como o dom\u131´nio e´ com-
pacto e a func¸a\u2dco cont´\u131nua, o teorema de Weier-
strass garante a existe\u2c6ncia de uma ma´ximo global.
Portanto P5 e P6 sa\u2dco os ma´ximos globais.
3