sel310-A14 Eq Maxwell Sel310 612
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sel310-A14 Eq Maxwell Sel310 612


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Equações de Maxwell
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
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planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
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2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL03/05/2012
Representação complexa
( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }
Amplitude e frequência angular
invariantes no domínio do tempo
cos R
exp co
e exp
s
A t A j
n
t
j jse
\u3c9
\u3c6 \u3c6 \u3c6
\u3c6 \u3c9 \u3c6\uf8ee \uf8f9+ = +\uf8ef \uf8fa
= +
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( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( ) ( )
( )
cos R
exp exp
e
e exp
Re
: fasor
: fasor (notação con
xp
den
exp 
ex sada)p 
A j j t
A j j t
A j
A t A j t
\u3c6 \u3c9
\u3c6
\u3c9
\u3c9
\u3c6
\u3c6 \u3c9 \u3c6\uf8ee \uf8f9+ = +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Vetor real e complexo-1
, , : projeções sobre os eixos
( )
y
y
x
x
z
z
V V x V y V
V
V t
V
z
V
=
+= +
\u2322
\u2322
\u2322 \u2322
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cos( )
cos( )
cos( )
x x
y y
z z
V t x
V t y
V t z
\u3c9 \u3c6
\u3c9 \u3c6
\u3c9 \u3c6
+
+
+
+ +
\u2322
\u2322
\u2322
Vetor real e complexo-2
\u2c6 \u2c6 \u2c6( ) cos( ) cos( ) cos( )
x x y y z z
V t V t x V t y V t z\u3c9 \u3c6 \u3c9 \u3c6 \u3c9 \u3c6= + + + + +
A representação complexa deste vetor é 
\u2c6 \u2c6 \u2c6( ) Re{[ exp( ) exp( ) exp( ) ]exp( )}
x x y y z z
V t V j x V j y V j z j t\u3c6 \u3c6 \u3c6 \u3c9= + +
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( ) Re{ exp( )}V t V j t\u3c9=
vetor complexo 
\u2c6 \u2c6 \u2c6exp( ) exp( ) exp( )
x x y y z z
V V j x V j y V j z\u3c6 \u3c6 \u3c6= + +
Valor Médio de Grandeza Variável no Tempo
o valor médio de vetor complexo é 
grandeza escalar 
0
( ) cos( )v t V t\u3c9 \u3c6= +
00
1
( ) cos( ) 0
T
v t V t dt
T
\u3c9 \u3c6= + =\u222bvalor médio da função 
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 6
o valor médio de vetor complexo é 
0
1
[ cos( ) cos( ) c( )) os( ] 0
T
x x y y z z
V t V t x V t y V t z
T
\u3c9 \u3c6 \u3c9 \u3c6 \u3c9 \u3c6+ + + + += =\u222b
\u2322 \u2322 \u2322
2
2
0
021( )
2
( )
T
v
T
tt dt
V
v = =\u222b
Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-1
vetores complexos 
i
r i
r
B B
A A
jB
jA+
= +
=
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domínio do tempo 
( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )
( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )
r i
r i
A t A j t A t A t
B t B j t B t B t
\u3c9 \u3c9 \u3c9
\u3c9 \u3c9 \u3c9
= = \u2212
= = \u2212
Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-2
( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )
( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )
r i
r i
A t A j t A t A t
B t B j t B t B t
\u3c9 \u3c9 \u3c9
\u3c9 \u3c9 \u3c9
= = \u2212
= = \u2212
produto vetorial 
( ) ( )2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( )A t B t A B t A B t\u3c9 \u3c9× = × + × \u2212
domínio do tempo 
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 8
( ) ( )
( )
2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( )
sen( )cos( )
r r i i
r i i r
A t B t A B t A B t
A B A B t t
\u3c9 \u3c9
\u3c9 \u3c9
× = × + × \u2212
× + ×
valor médio deste produto vetorial 
( )
0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2
T
r r i i
A t B t A t B t dt A B A B
T
× = × = × + ×\u222b
Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-3
valor médio deste produto vetorial 
( )
0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2
T
r r i i
A t B t A t B t dt A B A B
T
× = × = × + ×\u222b
( ) ( ) ( )2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( ) sen( )cos( )r r i i r i i rA t B t A B t A B t A B A B t t\u3c9 \u3c9 \u3c9 \u3c9× = × + × \u2212 × + ×
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( ) ( ) ( ) ( )r i r i r r i i i r r iA B A jA B jB A B A B j A B A B
\u2217
× = + × \u2212 = × + × + × \u2212 ×
{ }*1( ) ( ) Re
2
A t B t A B× = ×
o valor médio do produto vetorial de dois vetores é determinado a partir da representação complexa 
Propagação de perturbação
repouso
perturbação
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 10
Animação onda
Ref.: http://phet.colorado.edu
Campo vetorial
Objetivo: modelagem, representação de fenômeno
Velocidade e direção de fluido em movimento pelo espaço
Intensidade (magnitude) e direção de força gravitacional, elétrica, magnética
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 11
Modelo Cessna 182 em túnel de vento Vórtice produzido avião
Linhas de campo
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elétrico magnético
Função e derivada
2
' 2 2
( ) sin( ) 1
( ) sin( ) 2 cos( )
f x x x
f x x x x
= +
= +
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 13
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Gra
ph_of_sliding_derivative_line.gif
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Calculu
s_Grapher
Operadores diferenciais vetoriais-1
 : gradiente de escalar
 : rotacion
 : divergente de
al de vetor
 vetor
\u3c8\u2207
\u2207
\u2207×
\u22c5A
A
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 14
2
2
 : rotacion
 : laplaciano de escalar
al de vetor
 : laplaciano de vetor
\u3c8\u2207
\u2207
\u2207×A
A
Operadores diferenciais vetoriais-2
y zx
x y z
x y z
A AA A A A
AA A
x y z
\u3c8 \u3c8 \u3c8
\u3c8
\u2202 \u2202 \u2202
\u2207 = + +
\u2202 \u2202 \u2202
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6\uf8eb \uf8f6\u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\uf8f7 \uf8f7\uf8ec \uf8ec\uf8f7\uf8ec
\u2202\u2202 \u2202
\u2207 \u22c5 = + +
\u2202 \u2202 \u2202
A
\u275 \u275 \u275
\u275 \u275 \u275
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2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
y yz x z x
x y z
x y
A AA A A A
x y z
y z z x x y
x A y A z A
z
\u3c8 \u3c8 \u3c8
\u3c8 \u3c8
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6\uf8eb \uf8f6\u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\uf8f7 \uf8f7\uf8ec \uf8ec\uf8f7\uf8ec
\u2202
\uf8f7 \uf8f7\uf8f7\uf8ec
\u2202 \u2202
\u2207 \u22c5\u2207 = \u2207 = + +
\u2202
\uf8ec\uf8ec\u2207× = \u2212 + \u2212 + \u2212\uf8f7 \uf8f7\uf8f7\uf8ec \uf8ec\uf8ec\uf8f7 \uf8f7\uf8f7\uf8ec \uf8ec\uf8f7\uf8ec\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\uf8f7 \uf8f7\uf8ec \uf8ec\uf8ed \uf8f8\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
\u2207
\u2202 \u2202
= \u2207 + \u2207 + \u2207
A
A
\u275 \u275 \u275
\u275 \u275 \u275
Integração
( )
Teorema da di
Teorema de Stokes
vergência
SC
d d\u22c5 = ×\u2207 \u22c5\u222b \u222b\u222bA l A s\ufffd
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16
( )
A soma de todo fluxo gerado menos a soma de todo fluxo dissipado 
é igual à soma de fluxo saindo do volume pela área .
Teorema da divergência
VS
V A
d dv= \u2207\u22c5 \u22c5\u222b \u222b\u222b\u222b\u222b A s A\ufffd
Partitura L. van Beethoven
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17 dezembro de 1770 \u2013 26 março de 1827
Equações de Maxwell
\ufffd James Clerk Maxwell
\ufffd 13 junho de 1831, em
Edinburgh, Escócia
\ufffd 5 novembro de 1879, 
em Cambridge
\ufffdDocente em\ufffdDocente em
\u2013 Marischal College, 
Aberdeen
\u2013 King´s College, London
\u2013 Cambridge University
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18
GleinlairParton Chuchyard
Equações de Maxwell
Símbolo Descrição Unidade
Vetor campo elétrico volt/metro (V/m)
Vetor campo magnético ampere/metro (A/m)
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
E
H
D
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
Vetor densidade de fluxo magnético weber/metro2 (Wb/m2)
Vetor densidade de corrente ampere/metro2 (A/m2)
Densidade volumétrica de cargas coulomb/metro3 (C/m3)
D
B
\u3c1
J
Equações de Maxwell-1
/E B t\u2207× = \u2212\u2202 \u2202
D
H J
t
\u2207× = +
\u2202
\u2202
Lei de Faraday
Lei de Ampere
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 20
t\u2202
0B\u2207\u22c5 =
D \u3c1\u2207\u22c5 =
Lei de Gauss (magnética)
Lei de Gauss (elétrica)
animação
Equações de Maxwell-2
yz x
EE B
y z t
\u2202\u2202 \u2202
\u2212 = \u2212
\u2202 \u2202 \u2202
(1)
B
E
t
\u2202
\u2207× = \u2212
\u2202
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 21
yx z
BE E
z x t
\u2202\u2202 \u2202
\u2212 = \u2212
\u2202 \u2202 \u2202
y x z
E E B
x y t
\u2202 \u2202 \u2202
\u2212 = \u2212
\u2202 \u2202 \u2202
(2)
(3)
Equações de Maxwell-3
yz x
x
HH D
J
y z t
\u2202\u2202 \u2202
\u2212 = +
\u2202 \u2202 \u2202
(1)
D
H J
t
\u2202
\u2207× = +
\u2202
03/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 22
yx z
y
DH H
J
z x t
\u2202\u2202 \u2202
\u2212 = +
\u2202 \u2202 \u2202
y x z
z
H H D
J
x y t
\u2202 \u2202 \u2202
\u2212 = +
\u2202 \u2202 \u2202
(2)
(3)
Equações de Maxwell-4
0B\u2207\u22c5 =
yx z
FF F
F
x y z
\u2202\u2202 \u2202
\u2207 \u22c5 = + +
\u2202 \u2202 \u2202
03/05/2012 SEL310/612