GabaritoP3092 (1)
2 pág.

GabaritoP3092 (1)


DisciplinaCálculo II28.701 materiais764.529 seguidores
Pré-visualização1 página
P3 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I- Gabarito
MAT 1162 \u2014 2009.2
Data: 02 de dezembro de 2009
1. Considere a integral iterada
I =
\u222b 1
y=0
[\u222b 2
x=2y
exp (\u2212x2) dx
]
dy.
(a) (1.5) Inverta a ordem de integrac¸a\u2dco de I.
Soluc¸a\u2dco: A regia\u2dco de integrac¸a\u2dco e´ um tria\u2c6ngulo de ve´rtices (0, 0),
(2, 0) e (2, 1). Portanto
I =
\u222b 2
x=0
[\u222b x/2
y=0
exp (\u2212x2) dy
]
dx.
(b) (1.5) Calcule o valor de I.
Soluc¸a\u2dco: Usando o item (a),
I =
1
2
\u222b 2
x=0
x exp (\u2212x2)dx = \u22121
4
exp (\u2212x2)|20 =
1
4
(1\u2212 exp(\u22124)).
2. Dada uma func¸a\u2dco real f e um dom\u131´nio D \u2282 R2, o valor me´dio de f em D
e´ definido como
1
A(D)
\u222b \u222b
D
fdA,
onde A(D) e´ a a´rea de D.
Sendo D um disco de raio R, calcule
(a) (1.0) O valor me´dio da dista\u2c6ncia ao centro de D.
Soluc¸a\u2dco: Considerando um sistema de coordenadas cuja origem co-
incide com o centro de D, temos que a dista\u2c6ncia de um ponto ao
centro e´ a coordenada polar r. Portanto\u222b \u222b
D
fdA =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b R
r=0
r · r drd\u3b8 = 2piR
3
3
.
Como a a´rea do disco e´ piR2, o valor me´dio procurado e´ 2R3 .
(b) (1.0) O valor me´dio do quadrado da dista\u2c6ncia ao centro de D.
Soluc¸a\u2dco: Considerando um sistema de coordenadas cuja origem co-
incide com o centro de D, temos que o quadrado da dista\u2c6ncia de um
ponto ao centro e´ r2. Portanto\u222b \u222b
D
fdA =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b R
r=0
r2 · r drd\u3b8 = piR
4
2
.
Como a a´rea do disco e´ piR2, o valor me´dio procurado e´ R
2
2 .
1
3. Considere a regia\u2dco
U = {(x, y, z) \u2208 R3| x
2 + y2
9
\u2264 z \u2264 1}.
(a) (1.5) Calcule o volume de U .
Soluc¸a\u2dco: O volume de U e´ a integral de f(x, y, z) = 1 sobre U . Em
ccordenadas cil´\u131ndricas,
V (U) =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b 3
r=0
\u222b 1
z=r2/9
rdzdrd\u3b8 =
9pi
2
.
(b) (1.5) Determine o valor de b de forma que o plano z = b divida U
em duas partes com volumes iguais.
Soluc¸a\u2dco: Devemos escolher b de forma que\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b 3\u221ab
r=0
\u222b b
z=r2/9
rdzdrd\u3b8 =
9pi
4
.
Como a integral do primeiro membro vale 9pib
2
2 , temos que b =
\u221a
2
2 .
2