sel310-A15 Eq Onda Sel310 612
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sel310-A15 Eq Onda Sel310 612


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Equações de Onda
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
\ufffd Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
\ufffd Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
\ufffd solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL20/04/2012
Equações de Maxwell (SI)
Símbolo Descrição Unidade
Vetor campo elétrico volt/metro (V/m)
Vetor campo magnético ampere/metro (A/m)
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
E
H
D
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
Vetor densidade de fluxo magnético weber/metro2 (Wb/m2)
Vetor densidade de corrente ampere/metro2 (A/m2)
Densidade volumétrica de cargas coulomb/metro3 (C/m3)
D
B
\u3c1
J
Equações de Maxwell-1
t
\u2202
\u2207× = +
\u2202
\u2207× = \u2212
\u2202
B
E
D
JH
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4
0
t
\u3c1
\u2202
\u2207× = +
\u2207\u22c5 =
\u2202
\u2207 \u22c5 =
D
J
D
B
H
Equações de Maxwell-2
j
j
\u3c9µ
\u3c9\u3b5
\u2207× = \u2212
\u2207× = +
E H
H J E
Fonte frequência \u3c9, meio isotrópico
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 5
0
j\u3c9\u3b5
\u3c1
\u2207× = +
\u2207\u22c5 =
\u2207\u22c5 =
H J E
B
D
Equação de onda para E-1
j
j
j
\u3c9\u3b5
\u3c9µ
\u3c9µ
\u2207×\u2207× = \u2212 \u2207×
\u2207× = +
\u2207× = \u2212
H
H J E
H
E
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 6
( )
2
j
j
j
j
\u3c9\u3b5
\u3c9µ
µ\u3c9 \u3b5 \u3c9µ
\u3c9\u3b5\u2207
\u2207× = +
+×\u2207× = \u2212
\u2207× =\u2207× \u2212
H J E
J E
E E
E
J
Equação de onda para E-2
2
2
identidade vetorial
j\u3c9 µ\u3b5 \u3c9µ\u2207×\u2207×
\u2207×\u2207× = \u2207\u2207\u22c5 \u2212
= \u2212
\u2207
E JE
E E E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 7
2 2
2
j\u3c9 µ\u3b5 \u3c9µ
\u2207×\u2207× = \u2207\u2207\u22c5 \u2212
\u2207 \u2212\u22c5 \u2207 \u2212
\u2207
\u2207 =
E
E
E E
EE J
Equação de onda para E-3
( )
2 2 j\u3c9 µ\u3b5 \u3c9µ
\u3c1
\u3b5 \u3c1
\u2207 \u2212\u2207 \u2212
\u2207\u22c5 =
\u2207
\u2207\u22c5
\u22c5
=
=
E E J
D
E
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 8
( )\u3b5 \u3c1
\u3c1
\u3b5
\u2207
\u2207
\u22c5
\u22c5
=
=
E
E
Equação de onda para E-4
2 2
equação da continuidade
0
j
j
\u3c9 µ\u3b5 \u3c9µ
\u3c1
\u3b5
\u3c9\u3c1
\u2207 \u2212\u2207 \u2212
\u2207\u22c5 =
\u2207\u22c5 + =
\u2207\u22c5 =E E J
E
J
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 9
0j
j
j
\u3c9\u3c1
\u3c1
\u3c9\u3b5
\u3c9
\u2207\u22c5 + =
\u2207\u22c5
\u2207 \u22c5
\u2212
=
=
\u2212\u2207\u22c5
J
J
E
J
Equação de onda para E-5
2
2
2
2
j
j
j
\u3c9 µ\u3b5 \u3c9µ
\u3c9µ \u3c9 µ\u3b5
\u3c9\u3b5
\u2207 \u2212\u2207 \u2212
\uf8eb \uf8f6\u2207 \u22c5 \uf8f7\uf8ec \uf8f7\u2212\u2207 \u2212\u2207 = \u2212
\u2207\u22c5
\u2207 \u22c5
\u2207 \u22c5
=
+\uf8ec \uf8f7
= \u2212
E
J
E E J
J
E E
E
J
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 10
( )
2
2 2
2
equação de onda para 
j
j
j
j
\u3c9µ \u3c9
\u3c9 µ\u3b5 \u3c9µ
\u3c9
\u3c9
µ\u3b5
\u3b5
\u3b5
\uf8eb \uf8f6\u2207 \u22c5 \uf8f7\uf8ec \uf8f7\u2207 + = \u2212\u2207\uf8ec
\u2207 \u22c5 \uf8f7\uf8ec \uf8f7\u2212\u2207 \u2212\u2207 = \u2212
\uf8f7
+\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ec
\uf8ec \uf8f8
\uf8ed \uf8f8
\uf8f7\uf8ec\uf8ed
J
E E
E J
J
E
J
Equação de onda para H-1
j
j
j
\u3c9\u3b5
\u3c9
\u3c9
µ
\u3b5
\u2207×
\u2207×
\u2207×\u2207× = \u2207× +
\u2207
\u2212
× = +
=
E
E H
H J
H J E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 11
( )
2
j
j j\u3c9
\u3c9
\u3b5 \u3c9
µ
\u3c9
µ
µ\u3b5
\u2207×
\u2207×\u2207× = \u2207× + \u2212
\u2207×\u2207× = \u2207×
\u2212=
+
E H
H J H
H J H
Equação de onda para H-2
2
2 2
0
\u3c9 µ\u3b5
\u3c9 µ\u3b5
\u2207×\u2207× = \u2207× +
\u2207 \u2212\u2207 = \u2207× +
\u2207\u22c5 =
\u2207\u22c5
H J H
H J H
B
H
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 12
( )2 2
0 0 para 0
equação de onda para 
0
\u3c9 µ\u3b5
µ µ\u2207\u22c5 = \u2192
\u2207\u22c5 =
\u2207 + = \u2212\u2207
\u2207\u22c5 = =
×
H H
H J
B
H
Equações de onda região sem fontes
( )2 2
região sem fontes, 0 e =0
equação de onda para 
0\u3c9 µ\u3b5
\u3c1=
\u2207 + =
J
E
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 13
( )2 2
equação de onda para 
equação de onda para
0
 
\u3c9 µ\u3b5\u2207 + =
E
H
H
RELAÇÃO DE DISPERSÃO
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 14
Relação de dispersão-1
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 , ,
, , ( , , ) ( , , ) ( , ,
região sem fontes, 0 e =0
0
)
0
zx y
x y z
x y z E x y z x E x y z y E x y z z
\u3c9 µ
\u3c1
\u3b5
\u3c9 µ\u3b5
=
= + +
\u2207 + =
+\u2207 =
J
E
E
E
\u275 \u275 \u275
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 15
( )
2 2 2
2
2 2 2
, , ( , , ) ( , , ) ( , ,
solução da equação de onda
componente 
( , ,
)
) 0
x
z
x
x y
E
x y z E x y z x E x y z y E x y z
E x z
z
y
x y z
\u3c9 µ\u3b5
\uf8eb \uf8f6\u2202 \u2202 \u2202 \uf8f7\uf8ec \uf8f7+ + + =\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec
= + +
\u2202 \u2202 \u2202\uf8ed \uf8f8
E
Relação de dispersão-2
( )
2
0
2 2 2
2
2 2 2
( , , ) exp
solução
( , , ) 0
x x x y z
x
E x y z E j k
E x y z
x
x k y k z
y z
\u3c9 µ\u3b5
\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
\uf8eb \uf8f6\u2202 \u2202 \u2202 \uf8f7\uf8ec \uf8f7+ + + =\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec\u2202 \u2202 \u2202\uf8ed \uf8f8
\u2202
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
x x x
y y x
z z x
E x y z k E x y z
x
E x y z k E x y z
y
E x y z k E x y z
x
\u2202
= \u2212
\u2202
\u2202
= \u2212
\u2202
\u2202
= \u2212
\u2202
Relação de dispersão-3
( )
2 2 2
2
2 2 2
0
, , : con
solução
( , , ) exp
stantes
( , , ) 0
x x
x
x y z
k k
E x y z
x
E x y z E j k x k y k z
y z
k
\u3c9 µ\u3b5
\uf8ee \uf8f9= \u2212
\uf8eb \uf8f6\u2202 \u2202 \u2202 \uf8f7\uf8ec \uf8f7+ + + =\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec\u2202 \u2202 \u2202\uf8ed
+ +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
\uf8f8
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 17
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
, , : con
( , , ) 0
0
relação de dispersão
stantes
x y
x y z
x y
z x
x zy
z
k
k k
k k E x y
k
z
k k k
k k k
k
\u3c9 µ\u3b5
\u3c9 µ\u3b5
µ\u3b5\u3c9
\uf8ee \uf8f9\u2212 + + + =\uf8ef \uf8fa\uf8f0
+ + = \u2261
\uf8fb
\u2212 + + + =
VETOR PROPAGAÇÃO
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18
Vetor propagação e vetor posição
( )ponto de ob
vetor propa
servação 
gação
vetor posição
, ,
x y z
x y z
k x k y k z= + +k \u275 \u275 \u275
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
vetor posição
produto escalar
x y z
xx yy
k x k k z
zz
y= + +
= +
\u22c5
+
k
r
r
\u275 \u275 \u275
ONDA PLANA
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 20
Onda plana-1
( )0( , , ) exp
solução
x x x y z
E x y z E j k x k
k x k
y k
y
z
k z
\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
+ +\u22c5 =rk
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 21
( )0( , , ) exp
x y z
xx
k x k y
E x y z E
k
j
z
=
+ +\u22c5
\u22c5
=
\u2212
rk
k r
Onda plana-2
( )
( ) ( ){ }0
0
solução no domínio do tempo
( , , , ) Re exp exp
( , , ) exp
x
x x
x
E x y z t E j j t
E x y z E j
k
\u3c9= \u2212 \u22c5
\uf8f1 \uf8fc\uf8ee \uf8f9\uf8eb \uf8f6\uf8f4 \uf8f4
=
=
\u2212 \u22c5
k r
k k
k r
\u275
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 22
0
0
( , , , ) Re ex
( , , , ) cos
p
x x
x x
E x y z t E
E x y z t E t
t k
k
j
\u3c9
\u3c9
\u3c9
\u3c9
\uf8f1 \uf8fc\uf8ee \uf8f9\uf8eb \uf8f6\uf8f4 \uf8f4\uf8f4 \uf8f4\uf8f7\uf8ec\uf8ef \uf8fa\uf8f7\uf8f4 \uf8f4\uf8ec \uf8f7= \u2212 \u22c5\uf8f2 \uf8fd\uf8ef \uf8fa\uf8ec \uf8f7
\uf8ee \uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7= \u2212 \u22c5\uf8ec
\uf8ec\uf8f4 \uf8f4\uf8f7\uf8ef \uf8fa\uf8f7\uf8ec\uf8f4
\uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8
\uf8f4\uf8ed \uf8f8\uf8f4 \uf8f4\uf8f0 \uf8fb\uf8fe\uf8f3
k
k
r
r
\u275
\u275
\uf8f9
\uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Plano de fase constante-1
0
0 0
instante e 
( , , , ) cos
x x
E
t t
x y z t E t k
\u3c9
\u3c9
\u3c9
\uf8ee \uf8f9\uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec\uf8ef \uf8fa\uf8f7\uf8ec \uf8f7= \u2212 \u22c5\uf8ef \uf8fa\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ef \uf8fa\uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8\uf8f0 \uf8fb
=
r
k \u275
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
( )
( )
1
1
fase constante: 
cos
cos : projeção de na direçã o 
C
k
cte C
\u3b8
\u3b8
\u22c5
\uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8\uf8f0 \uf8fb
\u2261=
\u22c5 = =k r k r
r
r
r
k
\u275
Plano de fase constante-2
y
1
C\u22c5 =k r
( )cos cte\u3b8 =r
k
Direção de
propagação
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24
x
( )cos cte\u3b8 =r
1
r
2
r
1
\u3b8
2
\u3b8
Plano de fase constante-3
y
2
C\u22c5 =k r k
Direção de
propagação
1
C\u22c5 =k r
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 25
x
0
t t=
0
t t>
Vetor propagação
y
( )
2 2 2 2 2
esfera de raio 
no sistema , ,
x y z
k
k k k k
x y z
\u3c9 µ
\u3b5
\u3b5
\u3c9 µ+ + = \u2261
=
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 26
x
z
k
Onda plana uniforme
se a superfície de fase constante
é um 
se o
plano onda plana
amplitude constante
 p
o
ta
n
lano é 
da plana uniforme
dembém 
\u2192
\u2192
y
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli