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P1 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2010.2
Data: 13 de setembro de 2010
Nome: Matr´\u131cula:
Assinatura: Turma:
Questa\u2dco Valor Nota Revisa\u2dco
1 2.5
2 2.5
3 3.0
teste 2.0
Total 10.0
Instruc¸o\u2dces
\u2022 Mantenha seu celular desligado durante toda a prova.
\u2022 Na\u2dco e´ permitido usar nenhum tipo de calculadora.
\u2022 Na\u2dco destaque as folhas da prova.
\u2022 A prova pode ser resolvida a la´pis, caneta azul ou caneta preta.
Na\u2dco use caneta vermelha ou verde. Respostas devem ser dadas a caneta.
\u2022 Voce\u2c6 na\u2dco tem o direito de consultar anotac¸o\u2dces.
\u2022 Todas as respostas devem ser justificadas.
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1. Considere a co\u2c6nica C descrita pela equac¸a\u2dco
x2 \u2212 4x+ 2y2 = 0.
(a) (1.0) Fac¸a um esboc¸o da co\u2c6nica, indicando seus para\u2c6metros (no caso
de ser uma elipse ou uma hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser
uma para´bola, a dista\u2c6ncia entre o foco e a diretriz) .
(b) (0.5) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` co\u2c6nica no ponto (0, 0).
(c) (1.0) Encontre 2 pontos da co\u2c6nica para os quais a reta tangente a C
fac¸a um a\u2c6ngulo pi4 com o eixo x.
2. Considere a func¸a\u2dco
g(x, y) = ln(y \u2212 2x2).
(a) (0.5) Descreva e fac¸a um esboc¸o do dom\u131´nio da func¸a\u2dco g.
(b) (1.0) Encontre a aproximac¸a\u2dco linear L(x, y) de g no ponto (\u22121, 4).
(c) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n´\u131vel de g que
passa pelo ponto (\u22121, 4).
3. Considere a superf´\u131cie S descrita por
S = {(x, y, z) \u2208 R3| z = x2 + y3}.
(a) (1.0) Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a intersec¸a\u2dco de S com
o plano vertical x = 2 de modo que sua velocidade na direc¸a\u2dco y
seja 1. Qual o vetor velocidade desta curva parametrizada no ponto
(2,\u22121, 3)?
(b) (1.0) Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a intersec¸a\u2dco de S com o
plano vertical y = \u22121 de modo que sua velocidade na direc¸a\u2dco x
seja 1. Qual o vetor velocidade desta curva parametrizada no ponto
(2,\u22121, 3)?
(c) (1.0) Determine um vetor normal a` S no ponto (2,\u22121, 3).
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