P3101Gab (1)-feito
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P3 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2010.1-Gabarito
1. Considere o tronco de cone
T = {(x, y, z) \u2208 R3| z + 1 \u2265
\u221a
x2 + y2, 0 \u2264 z \u2264 1}.
(a) (1.0) Calcule o volume de T .
Soluc¸a\u2dco: O volume do tronco de cone e´
V =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b 1
z=0
\u222b z+1
r=0
rdrdzd\u3b8 =
7pi
3
.
(b) (1.0) Ache a posic¸a\u2dco do centro´ide de T .
Soluc¸a\u2dco: Por simetria, x = y = 0.
z =
1
V
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b 1
z=0
\u222b z+1
r=0
zrdrdzd\u3b8 =
17
28
.
2. Considere a regia\u2dco
U = {(x, y, z) \u2208 R3| x2+y2+z2 \u2264 1, x \u2265 0, y \u2265 0, z \u2265 0}
e a func¸a\u2dco f(x, y, z) =
\u221a
x2 + y2. Denote por K a
integral tripla de f em U , ou seja,
K =
\u222b \u222b \u222b
U
\u221a
x2 + y2 dV.
(a) (1.0) Escreva K como tre\u2c6s integrais iteradas em
coordenadas cil´\u131ndricas.
Soluc¸a\u2dco: Temos
K =
\u222b pi
2
\u3b8=0
\u222b 1
z=0
\u222b \u221a1\u2212z2
r=0
r2drdzd\u3b8.
1
(b) (1.0) Escreva K como tre\u2c6s integrais iteradas em
coordenadas esfe´ricas.
Soluc¸a\u2dco: Temos
K =
\u222b pi
2
\u3b8=0
\u222b pi
2
\u3c6=0
\u222b 1
\u3c1=0
\u3c13 sin2 \u3c6d\u3c1d\u3c6d\u3b8.
(c) (1.0) Ache o valor de K.
Soluc¸a\u2dco: Utilizando a expressa\u2dco em coordenadas
esfe´ricas,
K =
pi
2
·1
4
\u222b pi
2
0
sin2 \u3c6 d\u3c6 =
pi
8
\u222b pi
2
0
1\u2212 cos(2\u3c6)
2
d\u3c6 =
pi2
32
.
3. Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = x e a regia\u2dco
R = {(x, y) \u2208 R2| x2 + y4 \u2264 16, x+ 2y \u2265 4}.
Denote por L a integral dupla de f em R, ou seja,
L =
\u222b \u222b
R
x dA.
(a) (1.0) Escreva L como duas integrais iteradas, in-
tegrando primeiro em x e depois em y.
Soluc¸a\u2dco:
L =
\u222b 2
y=0
\u222b \u221a16\u2212y4
x=4\u22122y
x dxdy.
(b) (1.0) Escreva L como duas integrais iteradas, in-
tegrando primeiro em y e depois em x.
Soluc¸a\u2dco:
L =
\u222b 4
x=0
\u222b (16\u2212x2)1/4
y=4\u2212x2
x dydx.
2
(c) (1.0) Calcule o valor de L.
Soluc¸a\u2dco: Utilizando o item (a), temos que
L =
1
2
\u222b 2
y=0
[
16\u2212 y4 \u2212 (4\u2212 2y)2] dy
L =
1
2
\u222b 2
y=0
[\u2212y4 + 16y \u2212 4y2] dy = 112
15
.
3