Cálculo Vetorial (2)
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Cálculo Vetorial (2)


DisciplinaCálculo Vetorial e Geometria Analítica3.247 materiais76.468 seguidores
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3), C = (1, 3, 4), deter-
minar:
a) a altura do triângulo ABC relativa a A;
b) o pé da normal baixada de A sobre a reta BC.
01.
4. DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
a) Consideremos um ponto A
e uma reta r, esta individualizada
por um ponto P e por um vetor
unitário n, que tem a sua direção.
Buscamos a distância do ponto A à
reta r.
Do triângulo retângulo ANP:
que não se altera se multiplicarmos o 2.º membro por | n | :
que expressa o módulo do produto externo entre os vetores (A - P) e n.
Com efeito:
02.
03.
Dados os pontos A = (2, 4, 0), B = (0, 2, 4), C = (6, 0, 2), calcular:
a) a altura do tetraedro OABC relativa a O (origem);
b) o pé da normal baixada de O sobre o plano ABC.
Achar a distância do ponto P ao plano determinado pelos
pontos A, B e C.
Dados: P = (- 5, - 4, 8), A = (2, 3, 1), B = (4, 1, - 2) e C = (6, 3, 7).
Resp.: 11
Não há ação prolongada que não surta efeito.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
5
213
h:.spRe =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
25
52
,
5
13
,
25
39
N:.spRe
®
n
r
P N
A
d (A, r)
|)BC(|
|B)(CxB)(A|
r)(A,d
-
--
=
basedaocompriment
triângulo)do(área2
triângulo)do(alturahr)(A,d A
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
14
,
5
3
,1N:.spRe
B
r
A
C
hA
Exercícios
5
53
h:.spRe =
d(A, r) = |(A - P)| sen q
d(A, r) = |(A - P)| | n | sen q
d(A, r) = |(A - P) x n |
N = P + [(A - P) . n]n
®
®
®
®
Seja um plano auxiliar que contém a reta r e é paralelo à reta r .
Destarte, a distância d(r , r ) entre as retas r e r é a distância de um ponto
de r ao plano . Na figura:
Empregando para o 2.º membro a fórmula da distância de ponto a
plano:
cujo resultado deve ser adotado em módulo. Faz-se mister
registrar que no quociente acima tem-se para numerador o volume de um
paralelepípedo de arestas para denominador a área de sua
base.
Subtraindomembro a membro 1 de 2 tem-se:
a
a
2 1
b) Cálculo dos pés da normal comum (N , N )1 2
1 2 1 2
1
(P - P ), r e r ;
O vetor (N - P ) é paralelo ao vetor r , e (N - P ) é paralelo ao vetor
r . lmpondo a condição de paralelismo:
2 1 1 2
1 1 1 2 2
2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
02.
03.
Os pontos A = (2, 4, 0), B = (0, 2, 4) e C = (6, 0, 2) são vértices de
umtriângulo. Pede-se:
a) a área do triângulo;
b) a altura relativa ao vértice B;
c) o pé da normal baixada de B sobre a reta AC.
Calcular a distância do ponto P = (1, 2, 0) à reta determinada
pelos pontos A = (0, 1, 2) e B = (3, 0, 1).
210:.spRe
3
210
:.spRe
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
9
4
,
9
28
,
9
26
N:.spRe
11
225
:.spRe
5. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS
a) A reta r é passante por P e paralela ao vetor r . A reta r contém
o ponto P e tem a direção do vetor r . Nosso escopo é obter a fórmula da
distância entre as retas reversas r e r .
Dedução:
1 1
2
1 2
1 2
2
®
r1
®
r2
®®
r x r1 2
®
r2
®
r1
®
n
P2
N2
N1 P1
r1
r2
a
d (r , r )1 2
d(r , r ) = (P , )1 2 1 a
d(r , r ) = (P - P ) . n1 2 2 1
onde n = vers (r x r ). Por isto:1 2
d(r , r ) = (P - P ) . vers (r x r )1 2 2 1 1 2
ou
d(r , r ) =1 2
(P - P ) . r x r
| r x r |
2 1 1 2
1 2
(N - P ) = k r N = P + k r 11 1 1 1 1 1 1 1Þ
e
(N - P ) = k r N = P + k r 22 2 2 2 2 2 2 2Þ
(N - N ) = (P - P ) + k r - k r 32 1 2 1 2 2 1 1
®
Seja um plano auxiliar que contém a reta r e é paralelo à reta r .
Destarte, a distância d(r , r ) entre as retas r e r é a distância de um ponto
de r ao plano . Na figura:
Empregando para o 2.º membro a fórmula da distância de ponto a
plano:
cujo resultado deve ser adotado em módulo. Faz-se mister
registrar que no quociente acima tem-se para numerador o volume de um
paralelepípedo de arestas para denominador a área de sua
base.
Subtraindomembro a membro 1 de 2 tem-se:
a
a
2 1
b) Cálculo dos pés da normal comum (N , N )1 2
1 2 1 2
1
(P - P ), r e r ;
O vetor (N - P ) é paralelo ao vetor r , e (N - P ) é paralelo ao vetor
r . lmpondo a condição de paralelismo:
2 1 1 2
1 1 1 2 2
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02.
03.
Os pontos A = (2, 4, 0), B = (0, 2, 4) e C = (6, 0, 2) são vértices de
umtriângulo. Pede-se:
a) a área do triângulo;
b) a altura relativa ao vértice B;
c) o pé da normal baixada de B sobre a reta AC.
Calcular a distância do ponto P = (1, 2, 0) à reta determinada
pelos pontos A = (0, 1, 2) e B = (3, 0, 1).
210:.spRe
3
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÷
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,
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N:.spRe
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:.spRe
5. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS
a) A reta r é passante por P e paralela ao vetor r . A reta r contém
o ponto P e tem a direção do vetor r . Nosso escopo é obter a fórmula da
distância entre as retas reversas r e r .
Dedução:
1 1
2
1 2
1 2
2
®
r1
®
r2
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r x r1 2
®
r2
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r1
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n
P2
N2
N1 P1
r1
r2
a
d (r , r )1 2
d(r , r ) = (P , )1 2 1 a
d(r , r ) = (P - P ) . n1 2 2 1
onde n = vers (r x r ). Por isto:1 2
d(r , r ) = (P - P ) . vers (r x r )1 2 2 1 1 2
ou
d(r , r ) =1 2
(P - P ) . r x r
| r x r |
2 1 1 2
1 2
(N - P ) = k r N = P + k r 11 1 1 1 1 1 1 1Þ
e
(N - P ) = k r N = P + k r 22 2 2 2 2 2 2 2Þ
(N - N ) = (P - P ) + k r - k r 32 1 2 1 2 2 1 1
®
"Os maiores inimigos do homem estão dentro do
próprio homem: são as mágoas, os ressentimentos."
De um cacique indígena
As retas r e r são determinadas por:
achar:
a) a distância entre as retas ;
b) os pés da normal comum.
1 201.
r e r1 2
02. Dadas as retas , sendo:
calcular:
a) a distância entre as retas ;
b) as coordenadas dos pés da normal comum;
c) as coordenadas do pé N da normal baixada de P sobre o plano
por paralelo a (Barsotti).
1
r e r
r e r
r r
1 2
1 2
2 1
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
3
7
:.spRe
Exercícios
3
32
:.spRe
÷
ø
öç
è
æ
==
3
1
,
3
5
,
3
2
N);1,1,0(N:.spRe
a
A B
D
h = 1
1 2
r =1 r =2
P = (0, 1, 1)
r = i + k
1
1
P = (1, 2, 1)
r = i + j + 2k,
2
2î
í
ì
î
í
ì
e
r =1 r =2
P = (0, 1, 2)
r = i + 2k
1
1
P = (2, 0, 1)
r = j - 2k,
2
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÷
ø
ö
ç
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æ=÷
ø
ö
ç
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æ=
9
19
,
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5
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4
N:.spRe 21
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ö
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11
,
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-,
9
14
N:.spRe
6. ÁREA DE UM TRIÂNGULO
OBSERVAÇÃO:
A critério do professor os itens 6, 7 e 8 são dispensáveis.
a) Preliminares
® ®
Roteiro para o cálculo de k e k1 2
1)Multiplica-se escalarmente 3 por r ;
2)Multiplica-se escalarmente 3 por r ;
3) Resolve-se o sistema de duas equações do 1.º grau emk e k ;
4) Substitui-se k em 1 obtendo-se N . O k é substituído em 2
para se obter N .
Tendo-se N e N é útil enfatizar que N N = d (r , r ).
1
2
1 2
1 1 2
2
OBSERVAÇÃO:
1 2 1 2 1 2
"Os maiores inimigos do homem estão dentro do
próprio homem: são as mágoas, os ressentimentos."
De um cacique indígena
As retas r e r são determinadas por:
achar:
a) a distância entre as retas ;
b) os pés da normal comum.
1 201.
r e r1 2
02. Dadas as retas , sendo:
calcular:
a) a distância entre as retas ;
b) as coordenadas dos pés da normal comum;
c) as coordenadas do pé N da normal baixada de P sobre o plano
por paralelo a (Barsotti).
1
r e r
r e r
r r
1 2
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Exercícios
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÷
ø
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æ
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3
1
,
3
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A B
D
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