Cálculo Vetorial (2)
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Cálculo Vetorial (2)


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o dobro do aproveitamento com o mesmo
esforço.
Da mesma forma, quando um conjunto de pessoas
compartilha do mesmo objetivo e de forma organizada, é
mais leve a tarefa de cada um e os resultados são
extraordinários.
Ao ganso da frente cabe a tarefa de dar direção ao
bando. E, quando cansa, alterna a posição de ponta com
outro pássaro. É o líder. Em seu peito, batem as
rajadas do vento forte, os pingos da chuva
castigam seus olhos. Mas é ele, o líder, que
tem as asas fortalecidas, que melhor
vislumbra o horizonte, que melhor
contempla as belezas do sol nascente
e do sol poente. Os problemas são
como as rajadas de vento que nos
fortalecem para enfrentarmos a vida
com mais determinação. E Deus
nunca nos dá tudo. Mas também não
nos priva de tudo. E por maior que
sejam as dificuldades, não
permite embates maiores que a
nossa capacidade de vencê-los.
Os líderes sacrificam muitas
vezes a si próprios por uma causa
relevante cujo maior prêmio não é o
triunfo, mas a imensa satisfação do
Ele
dever cumprido. E se fracassarmos "resta o conforto de
que mais, valem as lágrimas de não ter vencido do que a
vergonha de não ter lutado".
Quando um dos gansos é ferido ou fica doente,
incontinenti, dois deles saem da formação e lhe dão
companhia e proteção. É a manifestação da solidariedade
em se postar ao lado das pessoas em seus momentos
difíceis. Quem não tem amor e amizade em seu coração,
sofre da pior doença cardíaca.
Na formação angular, os gansos que vêm atrás
grasnam freneticamente para motivar os da frente. Na
convivência em grupo, não só é importante a nossa efetiva
participação mas também as palavras encorajadoras.
Pessoas motivadas são mais felizes e produtivas. A ação
organizada unida ao entusiasmo produz uma força
insuperável.
Terás uma rota segura por conta dos bons
ensinamentos que te foram transmitidos pelos pais,
professores e bons amigos. São eles que revestiram e
revestirão a tua existência com carinho, dedicação e
muitas vezes sacrificam os próprios sonhos em favor dos
teus. São eles que abrem as portas do teu futuro,
iluminando o teu caminho com a luz mais brilhante que
puderam encontrar: o estudo, os bons exemplos e as lições
de vida. São eles que muitas vezes renunciam a tudo por ti,
menos a ti.
Educar tem raiz numa palavra latina belíssima:
ducere, que significa conduzir, marchar à frente ou mostrar
o caminho.
A esses grandes educadores, pais, professores e
bons amigos, a nossa eterna gratidão.
A história dos gansos canadenses é
reiteradamente verbalizada em
cursos de motivação.
Texto do autor.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
A LIÇÃO DOS GANSOS CANADENSES
Uma maravilhosa lição de vida pode ser obtida dos
gansos selvagens canadenses que migram do Hemisfério
Norte para o Sul. Como arautos de mudanças, quando
partem, é prenúncio de frio. Ao retornarem, é chegado o
verão.
Guiados pelo sol e pelo campo magnético da Terra,
cumprem a rota mais curta e só estabelecem grandes cur-
vas para evitar desertos e oceanos.
Neste longo vôo, a formação do bando é a de um
triângulo; ou, a rigor, de um majestoso V, cujo vértice está
voltado para a frente. Nesta formação geométrica, cada
pássaro da frente cria um vácuo para o de trás, rendendo ao
grupo quase o dobro do aproveitamento com o mesmo
esforço.
Da mesma forma, quando um conjunto de pessoas
compartilha do mesmo objetivo e de forma organizada, é
mais leve a tarefa de cada um e os resultados são
extraordinários.
Ao ganso da frente cabe a tarefa de dar direção ao
bando. E, quando cansa, alterna a posição de ponta com
outro pássaro. É o líder. Em seu peito, batem as
rajadas do vento forte, os pingos da chuva
castigam seus olhos. Mas é ele, o líder, que
tem as asas fortalecidas, que melhor
vislumbra o horizonte, que melhor
contempla as belezas do sol nascente
e do sol poente. Os problemas são
como as rajadas de vento que nos
fortalecem para enfrentarmos a vida
com mais determinação. E Deus
nunca nos dá tudo. Mas também não
nos priva de tudo. E por maior que
sejam as dificuldades, não
permite embates maiores que a
nossa capacidade de vencê-los.
Os líderes sacrificam muitas
vezes a si próprios por uma causa
relevante cujo maior prêmio não é o
triunfo, mas a imensa satisfação do
Ele
dever cumprido. E se fracassarmos "resta o conforto de
que mais, valem as lágrimas de não ter vencido do que a
vergonha de não ter lutado".
Quando um dos gansos é ferido ou fica doente,
incontinenti, dois deles saem da formação e lhe dão
companhia e proteção. É a manifestação da solidariedade
em se postar ao lado das pessoas em seus momentos
difíceis. Quem não tem amor e amizade em seu coração,
sofre da pior doença cardíaca.
Na formação angular, os gansos que vêm atrás
grasnam freneticamente para motivar os da frente. Na
convivência em grupo, não só é importante a nossa efetiva
participação mas também as palavras encorajadoras.
Pessoas motivadas são mais felizes e produtivas. A ação
organizada unida ao entusiasmo produz uma força
insuperável.
Terás uma rota segura por conta dos bons
ensinamentos que te foram transmitidos pelos pais,
professores e bons amigos. São eles que revestiram e
revestirão a tua existência com carinho, dedicação e
muitas vezes sacrificam os próprios sonhos em favor dos
teus. São eles que abrem as portas do teu futuro,
iluminando o teu caminho com a luz mais brilhante que
puderam encontrar: o estudo, os bons exemplos e as lições
de vida. São eles que muitas vezes renunciam a tudo por ti,
menos a ti.
Educar tem raiz numa palavra latina belíssima:
ducere, que significa conduzir, marchar à frente ou mostrar
o caminho.
A esses grandes educadores, pais, professores e
bons amigos, a nossa eterna gratidão.
A história dos gansos canadenses é
reiteradamente verbalizada em
cursos de motivação.
Texto do autor.
1. EQUAÇÃOGERAL DO PLANO
a) o plano é determinado por umponto e por dois vetores.
O plano contém o ponto
P e é paralelo aos vetores
v e v (v não paralelo a v ). O
ponto P = (x, y, z) pertencerá ao
plano se, e somente se, os
vetores (P - P ), v e v forem
coplanares:
a
a
O
1 2 1 2
O 1 2x
yo
a
z
P
PO
®
v1
®
v2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
C A P Í T U L O
O Plano no E 3
O plano é determinado pelos
pontos Um ponto ge-
nérico P = (x, y, z) pertence ao pla-
no se, e somente se, os vetores
(P - P ), (P - P ) e (P - P ) forem
coplanares:
b) O plano é individualizado por dois pontos e por umvetor.
c) O plano é definido por três pontos não colineares.
a
a
1 2 1 3 1
O plano é passante por P e
P e é paralelo ao vetor v. Um ponto
genérico P = (x, y, z) pertence ao
plano se, e somente se, os veto-
res (P - P ), (P - P ) e v forem copla-
nares:
P , P e P .
a
a
1
2
1 2 3
1 2 1
2
1
Oxx
l
l
-
2
1
O
m
m
yy -
2
1
O
n
n
zz -
(I)0=
a
O y
x
z
P1
P2
P
®
v
P1
P2
P3
P
x
yO
z
Dados
P = (x , y , z )
v = i + m j + n k
v = i + m j + n k
O O O O
1
2
l
l
1 1 1
2 2 2
Dados
P = (x , y , z )
P = (x , y , z )
v = i + mj + nk
1
2
1 1 1
2 2 2
l
Dados
P = (x , y , z )
P = (x , y , z )
P = (x , y , z )
1
2
3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x x
x x
-
-
1
2 1
l
y y
y y
m
-
-
1
2 1
z z
z z
n
-
-
1
2 1 = 0 (II)
®
®
® ®
®
®
1. EQUAÇÃOGERAL DO PLANO
a) o plano é determinado por umponto e por dois vetores.
O plano contém o ponto
P e é paralelo aos vetores
v e v (v não paralelo a v ). O
ponto P = (x, y, z) pertencerá ao
plano se, e somente se, os
vetores (P - P ), v e v forem
coplanares:
a
a
O
1 2 1 2
O 1 2x
yo
a
z
P
PO
®
v1
®
v2
ÁLGEBRA VETORIAL