Cálculo Vetorial (2)
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Cálculo Vetorial (2)


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4x + 5y - 19 = 0
Determinar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto
P = (0, 1, 2) sobre o plano : 4x - 2z + 2 = 0.
Resp.:
Fórmula (deduzida à pág. 133):
onde A é um dos infinitos pontos de
. Por ex.: A = (1, 1, 3).
Achar a projeção ortogonal do ponto A = (3, 1, 3) sobre o plano
: x + y + z - 4 = 0.
Resp.: N = (2, 0, 2)
Dado o ponto P = (3, 6, 1) e umplano : x + y + z - 13 = 0, achar o
ponto P', simétrico de P emrelação a .
Resp.: P'= (5, 8, 3)
Série B
Encantam-me as pessoas que vão além do seu dever.
SUGESTÃO:
a
a
a
a
a
N = P + [(A - P) . vers n] vers n,
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
÷
ø
ö
ç
è
æ=
5
9
,1,
5
2
N
N
®
n
P
A
r
î
í
ì
:r
î
í
ì
=r
a
a
1
2
: a x + b y + c z + d = 0
: a x + b y + c z + d = 0
1 1 1 1
2 2 2 2
a x + b y + c z + d + (a x + b y + c z + d ) = 0 (*)1 2l1 1 1 2 2 2
2x + y - z + 1 = 0
x + y - 1 = 0
e o ponto P = (1, 3, 0).
8. EQUAÇÃO DO FEIXE DE DOIS PLANOS
Considere dois pla-
nos que se interceptam segun-
do uma reta real r. Assim, no
espaço tridimensional a reta r
pode ser representada por:
Denominamos de eixo r, ao conjunto de todos
os planos que passam pela reta r.
Multipliquemos a equação de por um número real e somemos
com a equação de :
Para cada valor de , a equação (*) representa um plano que
passa pela reta interse
e de (*).
Consoante o exposto, a equação de um plano que passa pela
interseção de dois planos pode ser determinada mediante o conhecimento
de uma condição que permita calcular a constante .
A equação (*) - que em notação simplificada será representada
por - é denominada
Exemplo:
Achar a equação do plano que contenha a reta
FEIXE DE PLANOS
Equação do feixe de planos:
equação do feixe de dois planos.
a l
a
l
l
2
1
e
ção de e , pois qualquer ponto P = (x, y, z) dessa
interseção satisfaz as equações de , de
+ = 0
a a
a a
a la
1 2
1 2
1 2
a a1 2
08.
09.
10.
11.
Obter a equação do plano perpendicular ao plano xy e que
contenha os pontos A = (- 4, 7, 1) e B = (1, 3, - 1).
Resp.: 4x + 5y - 19 = 0
Determinar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto
P = (0, 1, 2) sobre o plano : 4x - 2z + 2 = 0.
Resp.:
Fórmula (deduzida à pág. 133):
onde A é um dos infinitos pontos de
. Por ex.: A = (1, 1, 3).
Achar a projeção ortogonal do ponto A = (3, 1, 3) sobre o plano
: x + y + z - 4 = 0.
Resp.: N = (2, 0, 2)
Dado o ponto P = (3, 6, 1) e umplano : x + y + z - 13 = 0, achar o
ponto P', simétrico de P emrelação a .
Resp.: P'= (5, 8, 3)
Série B
Encantam-me as pessoas que vão além do seu dever.
SUGESTÃO:
a
a
a
a
a
N = P + [(A - P) . vers n] vers n,
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
÷
ø
ö
ç
è
æ=
5
9
,1,
5
2
N
N
®
n
P
A
r
î
í
ì
:r
î
í
ì
=r
a
a
1
2
: a x + b y + c z + d = 0
: a x + b y + c z + d = 0
1 1 1 1
2 2 2 2
a x + b y + c z + d + (a x + b y + c z + d ) = 0 (*)1 2l1 1 1 2 2 2
2x + y - z + 1 = 0
x + y - 1 = 0
e o ponto P = (1, 3, 0).
02.
03.
04.
05.
06.
Pede-se a equação do plano que passa pela origem e que
contém a reta
Resp.: 5x + y + z = 0
Calcular a equação do plano que contém a reta
e é perpendicular ao plano : x + 2z - 3 = 0.
Resp.: 2x - y - z + 6 = 0
Determinar a equação do plano que passa pela reta de in-
terseção dos planos x - 3y - z + 3 = 0 e 3x + y - 2z + 2 = 0 e é perpendicular
ao plano yz.
Resp.: 10y + z - 7 = 0
Equação do plano determinado pelo ponto A = (0, 1, 1) e pela
reta
Resp.: 3x + y + 4z - 5 = 0
Dado o feixe de planos:
x + y - 3z + 5 + (2x + 3y - 5z + 1) = 0 pede-se a equação do plano
pertencente ao feixe e que passa pela origem do sistema cartesiano.
Resp.: 9x + 14y - 22z = 0
p
l
"O professor é o mais importante arquiteto.
Se estes constroem prédios de tijolos e concreto,
ferro e vidro, aquele ergue templos de carne e osso."
SUGESTÃO:
João Manoel Simões (n. 1938), advogado e escritor português radicado no Paraná.
Obter a equação do plano que contém a reta:
Resp.: 2y - 3z - 2 = 0
1) Equação do feixe de planos que r:
x + y - z + 3 + (x - y + 2z + 5 ) = 0
ou
(1 + ) x + (1 - ) y + (- 1 + 2 ) z + 3 + 5 = 0
||
0
2) Se o plano deve ser paralelo ao eixo x, o seu coeficiente
deve ser nulo:
1 + = 0 = - 1
É
l
Þ
01.
l l l l
l l
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Solução:
a) Equação do feixe de planos
2x + y - z + 1 + (x + y - 1) = 0 (*)
b) P=(1,3,0) (*)
2(1) + (3) - (0) + 1 + (1 + 3 - 1) = 0 = - 2
c) Substituindo = - 2 em (*)
2x + y - z +1 - 2(x + y -1) = 0 ou
y + z - 3 = 0 (resposta)
l
Î
l Þ l
l
Exercícios
x + y + z = 0
y + z - 2 = 0
x + y - 3 = 0
x + 2z - 1 = 0
î
í
ì
:r
a
a
1
2
: x + y - z + 3 = 0
: x - y + 2z + 5 = 0
e seja paralelo ao eixo das abscissas.
x + y - z - 8 = 0
2x + z + 4 = 0
r :
r :
r :
02.
03.
04.
05.
06.
Pede-se a equação do plano que passa pela origem e que
contém a reta
Resp.: 5x + y + z = 0
Calcular a equação do plano que contém a reta
e é perpendicular ao plano : x + 2z - 3 = 0.
Resp.: 2x - y - z + 6 = 0
Determinar a equação do plano que passa pela reta de in-
terseção dos planos x - 3y - z + 3 = 0 e 3x + y - 2z + 2 = 0 e é perpendicular
ao plano yz.
Resp.: 10y + z - 7 = 0
Equação do plano determinado pelo ponto A = (0, 1, 1) e pela
reta
Resp.: 3x + y + 4z - 5 = 0
Dado o feixe de planos:
x + y - 3z + 5 + (2x + 3y - 5z + 1) = 0 pede-se a equação do plano
pertencente ao feixe e que passa pela origem do sistema cartesiano.
Resp.: 9x + 14y - 22z = 0
p
l
"O professor é o mais importante arquiteto.
Se estes constroem prédios de tijolos e concreto,
ferro e vidro, aquele ergue templos de carne e osso."
SUGESTÃO:
João Manoel Simões (n. 1938), advogado e escritor português radicado no Paraná.
Obter a equação do plano que contém a reta:
Resp.: 2y - 3z - 2 = 0
1) Equação do feixe de planos que r:
x + y - z + 3 + (x - y + 2z + 5 ) = 0
ou
(1 + ) x + (1 - ) y + (- 1 + 2 ) z + 3 + 5 = 0
||
0
2) Se o plano deve ser paralelo ao eixo x, o seu coeficiente
deve ser nulo:
1 + = 0 = - 1
É
l
Þ
01.
l l l l
l l
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Solução:
a) Equação do feixe de planos
2x + y - z + 1 + (x + y - 1) = 0 (*)
b) P=(1,3,0) (*)
2(1) + (3) - (0) + 1 + (1 + 3 - 1) = 0 = - 2
c) Substituindo = - 2 em (*)
2x + y - z +1 - 2(x + y -1) = 0 ou
y + z - 3 = 0 (resposta)
l
Î
l Þ l
l
Exercícios
x + y + z = 0
y + z - 2 = 0
x + y - 3 = 0
x + 2z - 1 = 0
î
í
ì
:r
a
a
1
2
: x + y - z + 3 = 0
: x - y + 2z + 5 = 0
e seja paralelo ao eixo das abscissas.
x + y - z - 8 = 0
2x + z + 4 = 0
r :
r :
r :
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
a1 a2
a3
P
6x - 5y + 2z - 8 = 0
x - 2y - 2z + 1 = 0
6x + 2y - 5z - 1 =0
®
n
NP1
PO
d (P , )O a
9. DISTÂNCIA DO PONTO P A UM PLANOO a
Com o escopo de utilizar a fór-
mula da página 135, consideremos
um ponto genérico P = (x , y , z )
de e o vetor n = ai + bj + ck, orto-
gonal a .
1 1 1 1
a
a
SUGESTÃO:
Série B
estrela de planos
"Perde tudo quem perde o momento certo."
OBSERVAÇÃO:
Provérbio espanhol.
Os planos : 6x - 5y + 2z - 8 = 0, : x - 2y - 2z + 1 = 0 e
: 6x + 2y - 5z - 1 = 0 se interceptam emumúnicopontoP. Determine-o.
Resp.: P = (1, 0, 1)
Resolva o sistema:
Três (ou mais) planos que se interceptam segundo um ponto P
formam uma . O ponto P é o centro da estrela.
a a
a
1 2
3
07.
Dados:
P = (x , y , z )
: ax + by + cz + d = 0
O O O O
a
Então:
d(P , ) = (P - P