sel310-A18 Condicoes de contorno Sel310 612
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SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
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planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
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2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL10/05/2012
Lei de Gauss
Teorema da DivergênciaTeorema da Divergência
Lei de Ampère
Teorema de Stokes
10/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
Componentes Normais
t
2D 2D2S \u3b82222
2n\u2c6
2
2n\u2c6
t\u2752n
D
10/05/2012 4Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
t
3
n\u2c6
1D
1n\u2c6
1S
3S
1
Fronteira, contorno,
interface entre 2 meios
1n
D
Lei de Gauss e Teorema da Divergência-1
Lei de Gauss
\u2c6
contida
S V
D ndS dV Q\u3c1\u22c5 = =\u222b \u222b
10/05/2012 5Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Teorema da divergência
\u2c6
S V
D ndS DdV\u22c5 = \u2207 \u22c5\u222b \u222b
Lei de Gauss e Teorema da Divergência-2
cos( )D n D n \u3b8\u22c5 =\u275 \u275
D
10/05/2012 6Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
n\u275
\u3b8
D
cos cosn D D\u3b8 \u3b8=\u275
n\u275Projeção deD na direção de 
Componentes Normais-1
n tD D n D t= +
\u275 \u275
( )
1 1 1
2
2
1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n t n
S S S
n
S
S
D n dS D n D t n dS D dS
D n dS D dS
\u22c5 = \u2212 + \u22c5 = \u2212
\u22c5 =
\u222b \u222b \u222b
\u222b \u222b
\u275 \u275 \u275 \u275
\u275
10/05/2012 7Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
2S
Componentes Normais-2
0t \u2192fazendo
0V \u21923 0S \u2192
10/05/2012 8Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
1 2S S S= \u2261adotando
( )2 2 1 1 2 1n n n n
S
D ndS D S D S D D S\u22c5 = \u2212 = \u2212\u222b \u275
Componentes Normais-3
0t \u2192fazendo
0V \u21923 0S \u2192
V\u3c1 C/m3 S\u3c1 C/m2
t
3n\u2c6
1D
1n\u2c6
2D 2D2S \u3b82222
2n\u2c6
1S
3S
2
1
2n\u2c6
t\u275
10/05/2012 9Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )2 1n n SD D S Q\u2212 = ( )2 1 /n n SD D Q S\u2212 =
2 1n n SD D \u3c1\u2212 =
e
a variação da componente normal de é igual à densidade superficial de cargas na fronteira D
Componentes Normais-4
2 1 0n nB B\u2212 =
10/05/2012 10Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Componentes Tangenciais-1
t 4\u2113d
2\u2113d
\u2113
2H
2meio2t
H
10/05/2012 11Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
3\u2113d
1\u2113d
4\u2113d
1H
1meio
1t
H
Componentes Tangenciais-2
10/05/2012 12Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
dado pela regra da mão direita\ufffddS
\u275s n t\u2261 ×\u275 \u275\ufffddS sdS= \u275
t\u275\u2297s\u275
\u275n
Componentes Tangenciais-3
lei de Ampère 
H d I\u22c5 =\u222b
\u2113
\u2113
10/05/2012 13Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
\u2113
teorema de Stokes 
( )
S
H d H dS\u22c5 = \u2207× \u22c5\u222b \u222b
\u2113
\u2113
Componentes Tangenciais-4
Equação de Maxwell /H J D t\u2207× = +\u2202 \u2202
( )
S S
D
D
H d H dS J dS
t
D
J dS d IS I
\uf8eb \uf8f6\u2202 \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ec\u22c5 = \u2207× \u22c5 = + \u22c5 =\uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec \u2202\uf8ed \uf8f8
\u2202
\u22c5 + \u22c5 = +
\u222b \u222b \u222b
\u222b \u222b
\u2113
\u2113
10/05/2012 14Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
S S
DJ dS d IS
t
I\u22c5 + \u22c5 = +
\u2202\u222b \u222b
 é a corrente real e
 é a corrente de deslocamento
S
D
S
D
I J d
I dS
t
S
\u2202
=
=
\u2202
\u22c5
\u22c5\u222b
\u222b
Componentes Tangenciais-5
H d\u22c5\u222b
\u2113
\u2113
10/05/2012 15Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
e
direções opostas
1t
H 1d\u2113
e
mesma direção
2t
H 2d\u2113
Componentes Tangenciais-5
10/05/2012 16Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
t \u2192 0 d\u2113 3 \u2192 0 d\u2113 4 \u2192 0
2
1 1 2 21 t t
H d H d H d\u22c5 = \u2212 +\u222b \u222b \u222b
\u2113 \u2113 \u2113
\u2113 \u2113 \u2113
Componentes Tangenciais-6
( )2 1S t tH d I H H\u22c5 = = \u2212\u222b
\u2113
\u2113 \u2113
2 1t t SH H K\u2212 =
A corrente superficial só existe na superfície de condutor perfeito
10/05/2012 17Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Em materiais com condutividade finita, 
a corrente flui por uma lâmina próxima da superfície, 0SK =
2 1t tH H=
Componentes Tangenciais-7
Analogamente, de
/E B t\u2207× = \u2212\u2202 \u2202
10/05/2012 18Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
2 1 0t tE E\u2212 =
Generalização-1: Componentes normais
n\u2c62
1
t\u275
2 2,B D
( )
( )
2 1 sDDn \u3c1=\u22c5 \u2212
\u275
\u275
10/05/2012 19Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
1 1,B D
1
( )
( )2 1 0BBn \u22c5 =\u2212\u275
Generalização-2:Componentes tangenciais
2
1
n\u2c6 t\u275
2 2,E H
10/05/2012 20Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )
( )
2 1
2 1 0
sH
E
n H K
n E× =
=
\u2212
× \u2212
\u275
\u275
1 1,E H
Generalização-3
( )
( )
2 1
2 1 0
sD
B
D
B
n
n
\u3c1
\u22c5 =
=
\u2212
\u22c5 \u2212
\u275
\u275
Componentes normais
10/05/2012 21Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )
( )
2 1
2 1 0
sH
E
n H K
n E× =
=
\u2212
× \u2212
\u275
\u275
Componentes tangenciais