sel310-A18 Condicoes de contorno Sel310 612

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Condições de Contorno
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
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planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
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2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL10/05/2012
Lei de Gauss
Teorema da DivergênciaTeorema da Divergência
Lei de Ampère
Teorema de Stokes
10/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
Componentes Normais
t
2D 2D2S θ2222
2nˆ
2
2nˆ
tɵ2n
D
10/05/2012 4Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
t
3
nˆ
1D
1nˆ
1S
3S
1
Fronteira, contorno,
interface entre 2 meios
1n
D
Lei de Gauss e Teorema da Divergência-1
Lei de Gauss
ˆ
contida
S V
D ndS dV Qρ⋅ = =∫ ∫
10/05/2012 5Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Teorema da divergência
ˆ
S V
D ndS DdV⋅ = ∇ ⋅∫ ∫
Lei de Gauss e Teorema da Divergência-2
cos( )D n D n θ⋅ =ɵ ɵ
D
10/05/2012 6Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
nɵ
θ
D
cos cosn D Dθ θ=ɵ
nɵProjeção deD na direção de 
Componentes Normais-1
n tD D n D t= +
ɵ ɵ
( )
1 1 1
2
2
1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n t n
S S S
n
S
S
D n dS D n D t n dS D dS
D n dS D dS
⋅ = − + ⋅ = −
⋅ =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ɵ ɵ ɵ ɵ
ɵ
10/05/2012 7Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
2S
Componentes Normais-2
0t →fazendo
0V →3 0S →
10/05/2012 8Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
1 2S S S= ≡adotando
( )2 2 1 1 2 1n n n n
S
D ndS D S D S D D S⋅ = − = −∫ ɵ
Componentes Normais-3
0t →fazendo
0V →3 0S →
Vρ C/m3 Sρ C/m2
t
3nˆ
1D
1nˆ
2D 2D2S θ2222
2nˆ
1S
3S
2
1
2nˆ
tɵ
10/05/2012 9Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )2 1n n SD D S Q− = ( )2 1 /n n SD D Q S− =
2 1n n SD D ρ− =
e
a variação da componente normal de é igual à densidade superficial de cargas na fronteira D
Componentes Normais-4
2 1 0n nB B− =
10/05/2012 10Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Componentes Tangenciais-1
t 4ℓd
2ℓd
ℓ
2H
2meio2t
H
10/05/2012 11Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
3ℓd
1ℓd
4ℓd
1H
1meio
1t
H
Componentes Tangenciais-2
10/05/2012 12Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
dado pela regra da mão direita�dS
ɵs n t≡ ×ɵ ɵ�dS sdS= ɵ
tɵ⊗sɵ
ɵn
Componentes Tangenciais-3
lei de Ampère 
H d I⋅ =∫
ℓ
ℓ
10/05/2012 13Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
ℓ
teorema de Stokes 
( )
S
H d H dS⋅ = ∇× ⋅∫ ∫
ℓ
ℓ
Componentes Tangenciais-4
Equação de Maxwell /H J D t∇× = +∂ ∂
( )
S S
D
D
H d H dS J dS
t
D
J dS d IS I
 ∂  ⋅ = ∇× ⋅ = + ⋅ =  ∂ 
∂
⋅ + ⋅ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ℓ
ℓ
10/05/2012 14Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
S S
DJ dS d IS
t
I⋅ + ⋅ = +
∂∫ ∫
 é a corrente real e
 é a corrente de deslocamento
S
D
S
D
I J d
I dS
t
S
∂
=
=
∂
⋅
⋅∫
∫
Componentes Tangenciais-5
H d⋅∫
ℓ
ℓ
10/05/2012 15Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
e
direções opostas
1t
H 1dℓ
e
mesma direção
2t
H 2dℓ
Componentes Tangenciais-5
10/05/2012 16Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
t → 0 dℓ 3 → 0 dℓ 4 → 0
2
1 1 2 21 t t
H d H d H d⋅ = − +∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
Componentes Tangenciais-6
( )2 1S t tH d I H H⋅ = = −∫
ℓ
ℓ ℓ
2 1t t SH H K− =
A corrente superficial só existe na superfície de condutor perfeito
10/05/2012 17Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Em materiais com condutividade finita, 
a corrente flui por uma lâmina próxima da superfície, 0SK =
2 1t tH H=
Componentes Tangenciais-7
Analogamente, de
/E B t∇× = −∂ ∂
10/05/2012 18Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
2 1 0t tE E− =
Generalização-1: Componentes normais
nˆ2
1
tɵ
2 2,B D
( )
( )
2 1 sDDn ρ=⋅ −
ɵ
ɵ
10/05/2012 19Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
1 1,B D
1
( )
( )2 1 0BBn ⋅ =−ɵ
Generalização-2:Componentes tangenciais
2
1
nˆ tɵ
2 2,E H
10/05/2012 20Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )
( )
2 1
2 1 0
sH
E
n H K
n E× =
=
−
× −
ɵ
ɵ
1 1,E H
Generalização-3
( )
( )
2 1
2 1 0
sD
B
D
B
n
n
ρ
⋅ =
=
−
⋅ −
ɵ
ɵ
Componentes normais
10/05/2012 21Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )
( )
2 1
2 1 0
sH
E
n H K
n E× =
=
−
× −
ɵ
ɵ
Componentes tangenciais