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P1 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2011.1
Data: 04 de abril de 2011
Nome: Matr´\u131cula:
Assinatura: Turma:
Questa\u2dco Valor Nota Revisa\u2dco
1 2.5
2 2.5
3 3.0
teste 2.0
Total 10.0
Instruc¸o\u2dces
\u2022 Mantenha seu celular desligado durante toda a prova.
\u2022 Na\u2dco e´ permitido usar nenhum tipo de calculadora.
\u2022 Na\u2dco destaque as folhas da prova.
\u2022 A prova pode ser resolvida a la´pis, caneta azul ou caneta preta.
Na\u2dco use caneta vermelha ou verde. Respostas devem ser dadas a caneta.
\u2022 Voce\u2c6 na\u2dco tem o direito de consultar anotac¸o\u2dces.
\u2022 Todas as respostas devem ser justificadas.
1
1. Considere a co\u2c6nicas C descrita pela equac¸a\u2dco
x2 \u2212 4x\u2212 y = 0.
(a) (1.0) Fac¸a um esboc¸o da co\u2c6nica, indicando seus para\u2c6metros (no caso
de ser uma elipse ou uma hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser
uma para´bola, a dista\u2c6ncia entre o foco e a diretriz) .
(b) (0.5) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` co\u2c6nica no ponto (0, 0).
(c) (1.0) Encontre 1 ponto da co\u2c6nica para os quais a reta tangente a C
seja paralela a` reta y = 3x.
2. Considere a func¸a\u2dco
g(x, y) =
\u221a
y2 \u2212 4x2.
(a) (0.5) Descreva e fac¸a um esboc¸o do dom\u131´nio da func¸a\u2dco g.
(b) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n´\u131vel de g que
passa pelo ponto (1, 3).
(c) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de g no ponto
(1, 3).
3. Considere a curva parametrizada \u3b3(t) = (4t2 \u2212 2, t33 \u2212 t4 ), t \u2208 [\u22121, 1], cujo
esboc¸o encontra-se na figura abaixo.
K2 K1
0
1 2
K0.08
K0.06
K0.04
K0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
(a) (1.0) Em que instantes de tempo a curva cruza o eixo y?
(b) (1.0) Em que posic¸o\u2dces o vetor velocidade e´ horizontal?
(c) (1.0) Qual o a\u2c6ngulo entre os vetores tangentes no ponto de cruza-
mento (1, 0)?
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