Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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ponto impróprio. Todos os pontos e retas
impróprios do espaço pertencem a um único plano impróprio.
z
x
y
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
PROBLEMA DA DUPLICAÇÃO DO CUBO
OU PROBLEMA DELIANO
Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso,
conta uma lenda que em 429 a.C. uma peste dizimou um
quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles.
Diz-se que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de
Apolo, em Delos, para inquirir como a peste poderia ser
eliminada.
O oráculo respondeu que o
. Os atenienses celeremente dobraram
asmedidas das arestas do cubo.
A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o
erro?
Em vez de dobrar, os atenienses octoplicaram o
volume do altar.
Pois:
para a = 1 V = 1 = 1
para a = 2 V = 2 = 8
A complexidade do problema deve-se ao fato de que
os gregos procuravam uma solução geométrica. E mais um
complicador: com régua (sem escala) e compasso.
Ainda no século lV a.C., o geômetra grego
Menaecmus (que juntamente com Platão foi professor de
Alexandre, o Grande) resolveu o problema com o traçado de
uma parábola e de uma hipérbole. Hodiernamente, tal solução
é facilmente compreensível através da Geometria Analítica:
Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseção
da parábola x = 2y com a hipérbole xy = 1. A solução é .
Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus
compatriotas: não se valeu de régua (sem escala) e compasso
altar cúbico de Apolo
deveria ser duplicado
ß
ß
cubo
cubo
3
3
2
1 m 2 m
1 ma = ?
= 2 X
3 2x =
26,12a 3 @=
apenas!
A solução deste problema é trivial com os recursos da
Álgebra: procura-se a aresta (a) de um cubo, cujo volume seja
o dobro do volume de umcubo de a = 1 (V = a ):
a = 2 x 1
cubo
3
3 3
OBSERVAÇÃO:
Em 1837, o francês Pierre L. Wantzel demonstrou
que o problema deliano não admite solução com uso
de régua e compasso apenas. Com somente 23 anos,
Wantzel, engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech-
nique, pôs fim às discussões de quase dois milênios.
Em seu excelente Livro
(ed. Makron Books), Gilberto G.
descreve que "esta limitação de apenas dois instru-
mentos espelhava o conceito de elegância com que
os gregos tratavam das questões geométricas e, tam-
bém, a ação tipicamente helênica que eles nutriam
pelos desafios intelectuais, independentemente de
qualquer utilidade prática".
O Romance das Equações
Algébricas Garbi
(do autor)
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
PROBLEMA DA DUPLICAÇÃO DO CUBO
OU PROBLEMA DELIANO
Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso,
conta uma lenda que em 429 a.C. uma peste dizimou um
quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles.
Diz-se que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de
Apolo, em Delos, para inquirir como a peste poderia ser
eliminada.
O oráculo respondeu que o
. Os atenienses celeremente dobraram
asmedidas das arestas do cubo.
A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o
erro?
Em vez de dobrar, os atenienses octoplicaram o
volume do altar.
Pois:
para a = 1 V = 1 = 1
para a = 2 V = 2 = 8
A complexidade do problema deve-se ao fato de que
os gregos procuravam uma solução geométrica. E mais um
complicador: com régua (sem escala) e compasso.
Ainda no século lV a.C., o geômetra grego
Menaecmus (que juntamente com Platão foi professor de
Alexandre, o Grande) resolveu o problema com o traçado de
uma parábola e de uma hipérbole. Hodiernamente, tal solução
é facilmente compreensível através da Geometria Analítica:
Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseção
da parábola x = 2y com a hipérbole xy = 1. A solução é .
Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus
compatriotas: não se valeu de régua (sem escala) e compasso
altar cúbico de Apolo
deveria ser duplicado
ß
ß
cubo
cubo
3
3
2
1 m 2 m
1 ma = ?
= 2 X
3 2x =
26,12a 3 @=
apenas!
A solução deste problema é trivial com os recursos da
Álgebra: procura-se a aresta (a) de um cubo, cujo volume seja
o dobro do volume de umcubo de a = 1 (V = a ):
a = 2 x 1
cubo
3
3 3
OBSERVAÇÃO:
Em 1837, o francês Pierre L. Wantzel demonstrou
que o problema deliano não admite solução com uso
de régua e compasso apenas. Com somente 23 anos,
Wantzel, engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech-
nique, pôs fim às discussões de quase dois milênios.
Em seu excelente Livro
(ed. Makron Books), Gilberto G.
descreve que "esta limitação de apenas dois instru-
mentos espelhava o conceito de elegância com que
os gregos tratavam das questões geométricas e, tam-
bém, a ação tipicamente helênica que eles nutriam
pelos desafios intelectuais, independentemente de
qualquer utilidade prática".
O Romance das Equações
Algébricas Garbi
(do autor)
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
C A P Í T U L O
Relações segmentárias
no espaço unidimensional
O matemático e astrônomo alemão,Möbius (1790-1868) foi quem
adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e
volumes.
Uma reta é orientada, se esta-
belecermos nela um sentido de percurso
como positivo; o sentido contrário é
negativo. O sentido positivo é indicado
por uma seta. Um reta orientada também
é chamada de eixo.
Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A
medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real,
positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e
é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a
medida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo se
associa uma unidade de comprimento u.
Exemplo:
AB = + 4u (onde A é origem e B extremidade)
BA = - 4u (onde B é origem e A extremidade)
Os segmentos orientados e têm respectivamente medidas
algébricas iguais a 4 e - 4.
Então: AB + BA = 0 ou
AB
AB
AB BA
AB = - BA
1. RETA ORIENTADA
2.MEDIDA ALGÉBRICA DE UMSEGMENTO
A B r
u
(reta)
(reta orientada)
AP
BP
A
(ABP) = +
A P B r
(ABP) = \u2013
A C B r
P Q A r
3
1
3
BC
AC
)ABC( -=
-
==
3
2
6
QA
PA
)PQA( ===
(ABP)
AP
BP
=
B P r
3. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS
a) Definição
b) Sinal
c) Exemplos
1)
2)
Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razão
simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, que é simbolizado
por (ABP).
Assim:
A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo ao
segmento finito . Se interno, a razão será negativa.
Assim:
O ponto C divide o segmento na razão simples igual a - 3.
O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3.
OBSERVAÇÃO:
Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmento na razão k.AB
AB
AB
PQ
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
C A P Í T U L O
Relações segmentárias
no espaço unidimensional
O matemático e astrônomo alemão,Möbius (1790-1868) foi quem
adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e
volumes.
Uma reta é orientada, se esta-
belecermos nela um sentido de percurso
como positivo; o sentido contrário é
negativo. O sentido positivo é indicado
por uma seta. Um reta orientada também
é chamada de eixo.
Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A
medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real,
positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e
é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a
medida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo se
associa uma unidade de comprimento u.
Exemplo:
AB = + 4u (onde A é origem e B extremidade)
BA = - 4u (onde B é origem e A extremidade)
Os segmentos orientados e têm respectivamente medidas
algébricas iguais a 4 e - 4.
Então: AB + BA = 0 ou
AB
AB
AB BA
AB = - BA
1. RETA ORIENTADA
Lucas
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Onde fica a resolução ??
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