Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
242 pág.

Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


DisciplinaCálculo Vetorial e Geometria Analítica3.527 materiais78.177 seguidores
Pré-visualização50 páginas
de dois pares ordenados
(x , y ) = (x , y ) x = x e y = y
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
1 1 2 2 1 2 1 2
-
Û
-
- ®
®
-
43421
y
Py
y
O
P
Px
x x
P = (x, y)
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos P = (x , y ) e
P = (x , y ), deseja-se calcular a
distância d entre P e P . Apli-
cando o teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo P AP ,
tem-se:
d = (x x ) + (y y )
1 1 1
2 2 2
1 2
1 2
2 1 2 1
2 2 2- - ou
y
y2
y1
O x1 x2 x
A
x \u2013 x2 1
P1
d
P2
y \u2013 y2 1
d (x x ) (y y )2 1
2
2 1
2= - + -
Exercícios
"O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença."
Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho.
Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas
cartesianas de P em .
Resp.: P = (0, 7)
O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhe-
cendo-se o ponto A = ( 2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1.
Resp.: - 6 e 2
Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo
eqüilátero de vértices A = (3, 3), B = ( 3, 3) e C = .
Resp.:
Dados os pontos A = (2, y), B = ( 8, 4) e C = (5, 3), determinar y
para que ABC seja umtriângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.
AB
-
- -
-
01.
02.
03.
04.
05.
10.
06.
07.
08.
09.
11.
Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5),
P = (- 1, 2) e P = (6, 3).
Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) e
C = (- 1, - 1). Calcular o vértice A.
1
2 3
Resp.: P = (3, - 1)
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas,
sabendo que é eqüidistante dos pontos A = (1, ) e B = (2, ).
Resp.: P = (1, 0)
Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e
( 5, 6). Determine a área do quadrado.
Resp.: 26
Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médios
dos lados de umtriângulo. Achar os vértices desse triângulo.
Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4)
Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as
coordenadas do vértice C, sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero.
Resp.:
Resp.: ou
Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de
vértices A = (5, - 6), B = (1, 2) e C = (3, - 4).
Resp.: (11, 2 ) (circuncentro)
-
1 2 3
9 6
( , )-3 3 3 3
3 2
B
2
AP =+
Resp.: y = - 2 ou y = 9
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ ±±
=
2
a3a
,
2
a3a
C
31+ , 3\u2013 2 )
)
31\u2013 , 32 )
)
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos P = (x , y ) e
P = (x , y ), deseja-se calcular a
distância d entre P e P . Apli-
cando o teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo P AP ,
tem-se:
d = (x x ) + (y y )
1 1 1
2 2 2
1 2
1 2
2 1 2 1
2 2 2- - ou
y
y2
y1
O x1 x2 x
A
x \u2013 x2 1
P1
d
P2
y \u2013 y2 1
d (x x ) (y y )2 1
2
2 1
2= - + -
Exercícios
"O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença."
Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho.
Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas
cartesianas de P em .
Resp.: P = (0, 7)
O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhe-
cendo-se o ponto A = ( 2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1.
Resp.: - 6 e 2
Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo
eqüilátero de vértices A = (3, 3), B = ( 3, 3) e C = .
Resp.:
Dados os pontos A = (2, y), B = ( 8, 4) e C = (5, 3), determinar y
para que ABC seja umtriângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.
AB
-
- -
-
01.
02.
03.
04.
05.
10.
06.
07.
08.
09.
11.
Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5),
P = (- 1, 2) e P = (6, 3).
Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) e
C = (- 1, - 1). Calcular o vértice A.
1
2 3
Resp.: P = (3, - 1)
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas,
sabendo que é eqüidistante dos pontos A = (1, ) e B = (2, ).
Resp.: P = (1, 0)
Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e
( 5, 6). Determine a área do quadrado.
Resp.: 26
Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médios
dos lados de umtriângulo. Achar os vértices desse triângulo.
Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4)
Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as
coordenadas do vértice C, sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero.
Resp.:
Resp.: ou
Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de
vértices A = (5, - 6), B = (1, 2) e C = (3, - 4).
Resp.: (11, 2 ) (circuncentro)
-
1 2 3
9 6
( , )-3 3 3 3
3 2
B
2
AP =+
Resp.: y = - 2 ou y = 9
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ ±±
=
2
a3a
,
2
a3a
C
31+ , 3\u2013 2 )
)
31\u2013 , 32 )
)
5. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA
6. BARICENTRO DE UMTRIÂNGULO
Seja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). O
ponto P = (x, y) divide o segmento P P numa razão dada k.
Então:
Introduzindo as coordenadas de
P , P e P
e
Isolando-se x e y:
e
Caso particular
Se k = -1, então o ponto coincide com o do
segmento P P . Donde se infere as fórmulas:
e
Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força
para se levantar o sistema em equilíbrio.
Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pela
intersecção das medianas.
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
P ponto médio
a) Definição
1 2
y
y y yA B C=
+ +
3G
Exercícios
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
b) Cálculo
Dado o triângulo de vértices A = (x , y ), B = (x , y ) e C = (x , y ).
O baricentro G divide a mediana AM
numa razão facilmente determiná-
vel:
Introduzindo as abscissas :
Mas:
Substituindo-se 2 em 1 tem-se:
Analogamente para a ordenada do baricentro obtém-se:
A A B B C C
y
y2
y
y1
P
P1
P2
x1 x x2 x
k
x x
x x
=
-
-
1
2
k
y y
y y
=
-
-
1
2
x
x kx
k
=
-
-
1 2
1
y
y ky
k
=
-
-
1 2
1
AM
3
2
AM
3
1
A
G
B M C
ou x
x x
G
A M=
- 2
3
x x
x x
G A
G M
-
-
= -2 1
x
x x
M
B C=
-
2
2
x
x x x
G
A B C=
+ +
3
"Quando morreres,
só levarás contigo aquilo que tiveres dado."
Saadi (1184-1291), poeta persa.
Determinar as coordenadas dos pontos P e P que dividem o
segmento A = (3, - 1) e B = (0, 8) em3partesiguais.
Resp.: P = (2, 2) e P = (1, 5)
1 2
1 2
01.
PP
PP
)PPP(k
2
1
21 ==
2
xx
x 21M
+
=
2
yy
y 21M
+
=
2
MG
AG
:Então
2
1
2
MG
AG
)AMG(
-=
-=
-
==
5. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA
6. BARICENTRO DE UMTRIÂNGULO
Seja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). O
ponto P = (x, y) divide o segmento P P numa razão dada k.
Então:
Introduzindo as coordenadas de
P , P e P
e
Isolando-se x e y:
e
Caso particular
Se k = -1, então o ponto coincide com o do
segmento P P . Donde se infere as fórmulas:
e
Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força
para se levantar o sistema em equilíbrio.
Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pela
intersecção das medianas.
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
P ponto médio
a) Definição
1 2
y
y y yA B C=
+ +
3G
Exercícios
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
b) Cálculo
Dado o triângulo de vértices A = (x , y ), B = (x , y ) e C = (x , y ).
O baricentro G divide a mediana AM
numa razão facilmente determiná-
vel:
Introduzindo as abscissas :
Mas:
Substituindo-se 2 em 1 tem-se:
Analogamente para a ordenada do baricentro obtém-se:
A A B B C C
y
y2
y
y1
P
P1
P2
x1 x x2 x
k
x x
x x
=
-
-
1
2
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
0 aprovações
Carregar mais