Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
180º
165º
150º
135º
120º
105º
90º
75º
60º
45º
30º
15º
pO 1 2
1
q
y
P
y
O
y
x P x px º
P
y
x
Exercícios
r
q
OBSERVAÇÃO:
A curva da página anterior denominada apresenta
simetria emrelação ao eixo polar p, pois cos é igual a cos (- ).
cardióide
q q
8. PASSAGEM DO SISTEMA POLAR
PARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Por vezes, é oportuno passar de um referencial cartesiano para
umpolar; ou de umpolar para o cartesiano.
Fazendo o eixo polar p coincidir com o
eixo cartesiano x e O concomitan-
temente pólo e origem dos dois
sistemas.
Portanto:
P = (x, y) coordenadas cartesianas
P = ( , ) coordenadas polares
Do triângulo retângulo OP P obtém-se as relações:
1) = x + y
2) x = cos
3) y = sen
4) tg =
Além dos dois sistemas mencionados, há outros menos usuais,
quais sejam: sistema bipolar, sistema pólo-diretriz, sistema de
coordenadas baricêntricas, etc.
®
r q ®
r
r q
r q
q
x
2 2
OBSERVAÇÃO:
"É bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar. Mas é
bom também verificar de vez em quando se não estamos perdendo
as coisas que o dinheiro não pode comprar."
George Horace Lorimer
OBSERVAÇÃO:
É lícito admitir-se a distância
polar afetada do sinal de menos.
Como = f( ) haverá uma
correspondente alteração para
. É fácil anuir na figura ao lado,
que os pontos C e D por
exemplo, podem se apresentar
com outras coordenadas po-
lares.
Assim:
C = (7,330º) ou C = (- 7,150º)
D = (4,240º) ou D = (- 4,60º)
A representação gráfica de uma equação em coordenadas
polares se obtém arbitrando-se valores para a variável independente e
calculando-se os correspondentes valores para .
Exemplo:
Construir o gráfico de = 1 + cos .
r q
q
q
r
r q
d) Gráfico de uma equação emcoordenadas polares
TABELA DE VALORES
150º
210º
240º
270º
300º
330º
0º
30º
60º
90º
120º
-30º
30º
B
A
P
CD
180º O
÷
ø
ö
ç
è
æ p-=
3
,2A
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
01.
02.
03.
04.
Passar do sistema cartesiano para o sistema polar:
a) Resp.:
b) B = Resp.:
c) x + y 3x = 0 Resp.: ( 3 cos ) = 0
d) (x + y ) = 3(x y ) Resp.: = 3 cos 2
e) x + y + xy = 5 Resp.:
f) x + y = 0 Resp.:
a) Resp.:
b) Resp.:
c) = k sen 2 Resp.: (x + y ) = 2k xy
d) cos 2 = 2 Resp.: (x y ) = 2(x + y )
Resp.:
Resp.:
2 2
2 2 2 2 2 4 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
- r r - q
r r q
r q
r q -
-
-
-
2
Passar do sistema polar para o sistema cartesiano.
Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de
em relação ao eixo polar.
ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas (4, 3).
A = -( , )3 3 3
( , )3 3 3
r
q q
=
+
2
sen cos
( , )3 1-
( , )- -3 1
2
O P
y
x
Série B
r
q
=
k
÷
ø
ö
ç
è
æ p
3
2
,6
52sen
2
1
12 =÷
ø
ö
ç
è
æ q+r
÷
ø
ö
ç
è
æ =
=+ x
y
tgarck2
22 ayx
(semi-circunferência de
raio igual a 2)
Resp.:
05.
06.
07.
Representar = 2 e 0
Transformar a equação = a cos 2 , do sistema polar para o
sistema cartesiano.
Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:
a) = k Resp.: x + y = k
r £ q £ p
r q
r q
2 2
2 2 2
Resp.: (x + y ) = a (x y )
Tal curva do 4.º grau, descoberta por
Jacques Bernoulli, é denominada
Lemniscata (do grego lemnisko que
significa ornato, laço de fita),
(espiral de Arquimedes)
b) Resp.: x + y =
(espiral hiperbólica)
c) log = k Resp.:
(espiral logarítmica)
2 2 2 2 2 2
2 2
-
r q
OBSERVAÇÃO:
a
÷
ø
ö
ç
è
æ p
6
,6
÷
ø
ö
ç
è
æ p=
6
7
,2Q
÷
ø
ö
ç
è
æ p-=
6
,2P
÷
ø
ö
ç
è
æ p
3
,2
÷
ø
ö
ç
è
æ
5
4
cosarc,5
2
x
y
tgarc ÷
ø
ö
ç
è
æ
2
2
x
y
tgarc
k
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ p-=
3
,2A
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
01.
02.
03.
04.
Passar do sistema cartesiano para o sistema polar:
a) Resp.:
b) B = Resp.:
c) x + y 3x = 0 Resp.: ( 3 cos ) = 0
d) (x + y ) = 3(x y ) Resp.: = 3 cos 2
e) x + y + xy = 5 Resp.:
f) x + y = 0 Resp.:
a) Resp.:
b) Resp.:
c) = k sen 2 Resp.: (x + y ) = 2k xy
d) cos 2 = 2 Resp.: (x y ) = 2(x + y )
Resp.:
Resp.:
2 2
2 2 2 2 2 4 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
- r r - q
r r q
r q
r q -
-
-
-
2
Passar do sistema polar para o sistema cartesiano.
Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de
em relação ao eixo polar.
ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas (4, 3).
A = -( , )3 3 3
( , )3 3 3
r
q q
=
+
2
sen cos
( , )3 1-
( , )- -3 1
2
O P
y
x
Série B
r
q
=
k
÷
ø
ö
ç
è
æ p
3
2
,6
52sen
2
1
12 =÷
ø
ö
ç
è
æ q+r
÷
ø
ö
ç
è
æ =
=+ x
y
tgarck2
22 ayx
(semi-circunferência de
raio igual a 2)
Resp.:
05.
06.
07.
Representar = 2 e 0
Transformar a equação = a cos 2 , do sistema polar para o
sistema cartesiano.
Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:
a) = k Resp.: x + y = k
r £ q £ p
r q
r q
2 2
2 2 2
Resp.: (x + y ) = a (x y )
Tal curva do 4.º grau, descoberta por
Jacques Bernoulli, é denominada
Lemniscata (do grego lemnisko que
significa ornato, laço de fita),
(espiral de Arquimedes)
b) Resp.: x + y =
(espiral hiperbólica)
c) log = k Resp.:
(espiral logarítmica)
2 2 2 2 2 2
2 2
-
r q
OBSERVAÇÃO:
a
÷
ø
ö
ç
è
æ p
6
,6
÷
ø
ö
ç
è
æ p=
6
7
,2Q
÷
ø
ö
ç
è
æ p-=
6
,2P
÷
ø
ö
ç
è
æ p
3
,2
÷
ø
ö
ç
è
æ
5
4
cosarc,5
2
x
y
tgarc ÷
ø
ö
ç
è
æ
2
2
x
y
tgarc
k
÷
ø
ö
ç
è
æ
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
O p
O
p
a) espiral de Arquimedes
c) espiral logarítmica
b) espiral hiperbólica
O
p
A espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos, por ser a
forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço
terroso.
Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P = ( , ) e
P = ( , ), emcoordenadas polares.
Resp.:
d = (x x ) + (y y )
Substitua:
x = cos , x = cos , y = sen , y = sen
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
r q
r q
-
r q r q r q r q
SUGESTÃO:
2 2 2-
08.
OBSERVAÇÃO:
Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivos
gráficos:
d
2
1
2
2
2
1 2 2 12= + - -r r r r q qcos( )
270º240º 300º
330º210º
180º
150º
120º
90º
60º
45º
30º
p
3
4
3
O
09. Construir o gráfico de = 3 + sen .r q
Resp.:
"Deus não dá fardos pesados para ombros fracos."
Adágio popular
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
O p
O
p
a) espiral de Arquimedes
c) espiral logarítmica
b) espiral hiperbólica
O
p
A espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos, por ser a
forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço
terroso.
Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P = ( , ) e
P = ( , ), emcoordenadas polares.
Resp.:
d = (x x ) + (y y )
Substitua:
x = cos , x = cos , y = sen , y = sen
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
r q
r q
-
r q r q r q r q
SUGESTÃO:
2 2 2-
08.
OBSERVAÇÃO:
Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivos
gráficos:
d
2
1
2
2
2
1 2 2 12= + - -r r r r q qcos( )
270º240º 300º
330º210º
180º
150º
120º
90º
60º
45º
30º
p
3
4
3
O
09. Construir o gráfico de = 3 + sen .r q
Resp.:
"Deus não dá fardos pesados para ombros fracos."
Adágio
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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