Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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Tal regra, a conhecemos hoje como regra do paralelogramo.
Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na
obra publicada em 1797 por
GasparWessel,matemático dinamarquês.
A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os
trabalhos do irlandês William Hamilton (notavelmente precoce: aos 5 anos
lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico
norte-americano Josiah Gibbs.
Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número
real, acompanhado pela unidade correspondente. Por exemplo: 5 kg de
massa, 10 m de área, 12 cm de largura. Tais grandezas são chamadas de
. Outras grandezas necessitam além do número real, também de
uma direção e de um sentido. Exemplificando: a velocidade, a aceleração,
omomento, o peso, o campomagnético, etc. São as grandezas .
DEF. 1: Vetor é uma tripla constituída de uma direção, um sentido e
umnúmero não negativo.
DEF. 2: Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de
mesma direção, demesmosentido e demesmocomprimento.
Estática e Hidrostática
Ensaio Sobre a Representação da Direção
escalares
vetoriais
a) Vetor
b) Vetor
2
÷
ø
ö
ç
è
æ pp=
2
3
,
2
,5B
÷
ø
ö
ç
è
æ p= 2,
4
3
,6A
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ p
=
4
3
,
10
10
cosarc,102A
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
c) Imagem geométrica ou representante de umvetor
imagem geométrica
representante
vetor imagem geométrica do veto
d) Etimologia da palavra vetor
Vetor
transportado, levado
e) Notações de vetor
I.
II.
III.
Na figura ao lado tem-se um
conjunto de segmentos orientados de
um único vetor. O segmento orientado é
um conjunto de pontos, ao passo que
vetor é um conjunto de segmentos
orientados. Cada segmento orientado
é, a rigor, a ou o
de umvetor.
A figura apresenta quatro segmen-
tos orientados ou então quatro imagens
geométricas de ummesmo vetor.
Como abuso de linguagem, em-
prega-se a palavra em vez de r. De
acordo com a locução latina (o abuso não tolhe o
uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como
imagem geométrica do vetor.
Provém do verbo latino : transportar,
levar. é o particípio passado de , signifi-
cando . Apesar de primitiva e até
bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans-
portado" até B.
Uma letra latina minúscula encimada por uma seta.
Exemplos: a, b, c \u2026 u, v, w ...
Uma letra latina minúscula sobrelinhada.
Exemplos: , , \u2026 , , ...
Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre-
sentante do vetor.
Exemplo:
A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B.
abusus non tollit usum
vehere
vehere
a b c u v w
A
B
z
4
O
x
1
5 y
P
B
A
®
v
®
v
® ® ® ® ®
®
A + v = B
ou
v = B A-
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
onde A é a e B é a do vetor.
Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações
algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-1877).
Também bastante usual a notação v = AB
IV. Uma terna ordenada de números reais : v = (x , y , z )
Exemplo:
v = (1, 5, 4)
Na figura v = (P O)
Como abuso de notação
tem-se ainda
v = (P O) = P
Usualmente, quando já estiver fixado o sistema de coordenadas, o
representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a
origem do sistema.
v
É o número não negativo que indica o comprimento do vetor.
Exemplo:
Então | v | = 4
0
É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a . O
vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem
do sistema de coordenadas.
origem extremidade
f) Módulo ( | | )
g) Vetor nulo ( )
zero
1 1 1
-
-
OBSERVAÇÃO:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
c) Imagem geométrica ou representante de umvetor
imagem geométrica
representante
vetor imagem geométrica do veto
d) Etimologia da palavra vetor
Vetor
transportado, levado
e) Notações de vetor
I.
II.
III.
Na figura ao lado tem-se um
conjunto de segmentos orientados de
um único vetor. O segmento orientado é
um conjunto de pontos, ao passo que
vetor é um conjunto de segmentos
orientados. Cada segmento orientado
é, a rigor, a ou o
de umvetor.
A figura apresenta quatro segmen-
tos orientados ou então quatro imagens
geométricas de ummesmo vetor.
Como abuso de linguagem, em-
prega-se a palavra em vez de r. De
acordo com a locução latina (o abuso não tolhe o
uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como
imagem geométrica do vetor.
Provém do verbo latino : transportar,
levar. é o particípio passado de , signifi-
cando . Apesar de primitiva e até
bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans-
portado" até B.
Uma letra latina minúscula encimada por uma seta.
Exemplos: a, b, c \u2026 u, v, w ...
Uma letra latina minúscula sobrelinhada.
Exemplos: , , \u2026 , , ...
Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre-
sentante do vetor.
Exemplo:
A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B.
abusus non tollit usum
vehere
vehere
a b c u v w
A
B
z
4
O
x
1
5 y
P
B
A
®
v
®
v
® ® ® ® ®
®
A + v = B
ou
v = B A-
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
onde A é a e B é a do vetor.
Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações
algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-1877).
Também bastante usual a notação v = AB
IV. Uma terna ordenada de números reais : v = (x , y , z )
Exemplo:
v = (1, 5, 4)
Na figura v = (P O)
Como abuso de notação
tem-se ainda
v = (P O) = P
Usualmente, quando já estiver fixado o sistema de coordenadas, o
representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a
origem do sistema.
v
É o número não negativo que indica o comprimento do vetor.
Exemplo:
Então | v | = 4
0
É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a . O
vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem
do sistema de coordenadas.
origem extremidade
f) Módulo ( | | )
g) Vetor nulo ( )
zero
1 1 1
-
-
OBSERVAÇÃO:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
1
®
v
®
w
vers
®
w
vers
®
v
®
v
®
v
®
v\u2013
4. PARALELISMO DE VETORES
a) Definição
Dois vetores u e v de mesma direção são ditos paralelos. lpso
facto, suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma
mesma reta.
®
v
®
u
®
v
®
u
Os vetores e são
paralelos ou colineares.
u v No entanto, as retas r e s são
paralelas e jamais colineares.
®
v
®
u
A
B
r
s
®
v
®
u
®
v
®
u
Exemplo:
®
®
®
®
®
®
|v|
v
vvers =
3
v
vversentão =
4
w
wversentão =
®
®
® ®
® ®
Os vetores u e v são paralelos e podem ser representados
colinearmente:
Face o exposto até aqui, podemos associar ao conceito de vetor a
idéia de translação. Tal idéia, como é sabido, não se transfere para
retas paralelas, uma vez que estas possuem posições fixas e
determinadas.
Exemplo:
Dois vetores paralelos são se de mesmo sentido. Se
de sentidos contrários, são .
Exemplo:
Seja um escalar e v um vetor. O produto do vetor v pelo número
real é representado por kv. Então, se:
OBSERVAÇÃO:
b) Vetores equiversos e contraversos
equiversos
contraversos
a) Definição
k
k
5. MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UMESCALAR
u e v são equiversos u e v são contraversos
® ®
® ®
®
h) Vetor unitário
i) Versor
1.
2.
j) Vetor oposto
É o vetor demódulo igual a 1.
Exemplo:
Então: | v | = 1
O versor de um vetor v não nulo, é o vetor unitário que tem a
mesma direção e o mesmo sentido de v .
Exemplos:
O vetor unitário coincide com o seu próprio versor.
Dado um vetor
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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