Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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2 2 2 1 1 1
Q P
A B
M N )NM(
3
2
)AB(
)QP(3)NM(
)AB(
2
1
)QP(
)QP(2)AB(
--=-
--=-
-=-
-=-
x
x
y
y
z
z
( k)2
1
2
1
2
1
= = =
x
z
6
3
O 2 4
A
B
y
®
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®
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u
v
±
®
®
®®
u
u
v
vou
u
u
v
v
±=±=
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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
11. CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES
a) Teorema
linearmente
b) Vetores representados por pontos
Dois vetores não nulos u e v são paralelos se, e somente se, existir
umescalar k tal que:
v = ku
Podemos afirmar que v é expresso emfunção de u.
Demonstração:
1) Sendo u e v paralelos, os seus versores só podem diferir quan-
to ao sentido:
vers v = ± vers u ou
Como é umnúmero real, chamemo-lo de k.
Donde v = ku (cqd)
2) Reciprocamente, se v = ku, então v é paralelo a u, pela defini-
ção de produto de vetor por escalar.
A igualdade persiste se os vetores forem representados por
pontos. Seja u = (B - A) e v = (C - D), então:
(C - D) = k(B - A)
Exemplos:
Enfatizando o paralelismo dos vetores representados por suas
imagens geométricas, podemos afirmar que:
Sejam u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ). Pelo teorema, u é paralelo
a v se, e somente se, existir um número real k tal que v = ku; ou ainda,
(x , y , z ) = k(x , y , z ). Explicitando o k, obtém-se a condição de para-
lelismo dos vetores u e v :
A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do
correspondente numerador.
Exemplo:
São paralelos os vetores
u = (3, 2, 0) e v = (6, 4, 0).
Na figura ao lado, u = (A - O) e
v = (B - O). Observe que v = 2u, e
que em particular os vetores u e v
têm imagens geométricas no pla-
no xy.
c) Vetores representados por triplas
Convenção:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 1 1 1
Q P
A B
M N )NM(
3
2
)AB(
)QP(3)NM(
)AB(
2
1
)QP(
)QP(2)AB(
--=-
--=-
-=-
-=-
x
x
y
y
z
z
( k)2
1
2
1
2
1
= = =
x
z
6
3
O 2 4
A
B
y
®
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u
v
±
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u
u
v
vou
u
u
v
v
±=±=
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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Exercícios
\u201cSempre se ouvirão vozes em discordância, expressando
oposição sem alternativa; discutindo o errado e nunca o
certo; encontrando escuridão em toda a parte e procurando
exercer influência sem aceitar responsabilidades."
SUGESTÃO:
John F. Kennedy (1917 - 1963), presidente dos E.U.A.
Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores :
a) u = (1, 3, 10) e v = (-2, x, -20)
b) v = (0, 2, x) e w = (0, 3, 6)
c) u = 2i - 3 j - k e v = xi - 9j - 3k
Resp. : a) x = - 6
b) x = 4
c) x = 6
Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo,
calcular as coordenadas do vértice D.
Dados: A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15)
Resp.: D = (2, 7)
Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or-
dem escrita. Achar o vértice A, sabendo-se que B = (0, 1, 3), C = (2, 3, 5) e
D = (-1, 0, 2).
Resp.: A = (3, 4, 6)
Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) são
colineares.
Por exemplo: os vetores (C - A) e (B - A) devem ser paralelos.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
Série B
Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B = (x, y, 5) e
C = (5, -13, 11) são colineares.
Resp.: x = 2 e y = - 4
Na figura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P - O).
Resp.: (P - O) = 2i + 4j - k
Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se
os vértices B = (1, 2, 3), D = (2, 4, 3), E = (5, 4, 1) e F = (5, 5, 3), pede-se os
vértices A e G.
Resp.: A = (1, 1, 1)
G = (6, 8, 5)
"Uns nasceram para o martelo, outros para a bigorna."
(François M. Voltaire (1694-1778), escritor francês.A B C
x
2
o
\u20131
4
y
P
z
A B
C
D
E
H
F
G
®®®®®®®®
®
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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Exercícios
\u201cSempre se ouvirão vozes em discordância, expressando
oposição sem alternativa; discutindo o errado e nunca o
certo; encontrando escuridão em toda a parte e procurando
exercer influência sem aceitar responsabilidades."
SUGESTÃO:
John F. Kennedy (1917 - 1963), presidente dos E.U.A.
Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores :
a) u = (1, 3, 10) e v = (-2, x, -20)
b) v = (0, 2, x) e w = (0, 3, 6)
c) u = 2i - 3 j - k e v = xi - 9j - 3k
Resp. : a) x = - 6
b) x = 4
c) x = 6
Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo,
calcular as coordenadas do vértice D.
Dados: A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15)
Resp.: D = (2, 7)
Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or-
dem escrita. Achar o vértice A, sabendo-se que B = (0, 1, 3), C = (2, 3, 5) e
D = (-1, 0, 2).
Resp.: A = (3, 4, 6)
Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) são
colineares.
Por exemplo: os vetores (C - A) e (B - A) devem ser paralelos.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
Série B
Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B = (x, y, 5) e
C = (5, -13, 11) são colineares.
Resp.: x = 2 e y = - 4
Na figura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P - O).
Resp.: (P - O) = 2i + 4j - k
Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se
os vértices B = (1, 2, 3), D = (2, 4, 3), E = (5, 4, 1) e F = (5, 5, 3), pede-se os
vértices A e G.
Resp.: A = (1, 1, 1)
G = (6, 8, 5)
"Uns nasceram para o martelo, outros para a bigorna."
(François M. Voltaire (1694-1778), escritor francês.A B C
x
2
o
\u20131
4
y
P
z
A B
C
D
E
H
F
G
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12. CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE VETORES
a) Teorema
O vetor v é coplanar aos vetores u e u (não nulos e não paralelos
entre si) se, e somente se:
v = k u + k u
1 2
1 1 2 2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
A geometria plana apresenta alguns próceros teoremas. De-
monstre-os vetorialmente.
O segmento que une os pontos médios de dois lados de um
triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à suametade.
Faça:
As diagonais de um paralelogramo se bissecam.
donde: (A + C) = (B + D)
ou (A - B) = (D - C)
Os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer, são
vértices de umparalelogramo.
subtraindo-semembro a membro:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
08.
09
10.
.
A B
M N
C
M
A C B C
=
+
=
+
2 2
e N
( ) ( )M N
A C B C
A B- =
+
-
+
= -
2 2
1
2
D
P
C
BA
P4
P3
P2
P1A B
C
D
P
A B B C
P
C D A D
1
3
2 2
2 2
=
+
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+
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+
; ;
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P
P
2
4
( ) ( )
( ) ( )
P P A C
P P A C
1 2
4 3
1
2
1
2
- = -
- = -
11.
12.
13.
O segmento que une os pontos médios dos lados não pa-
ralelos de umtrapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma.
O segmento que une os pontos médios das diagonais de um
trapézio, é paralelo às bases e tem comprimento igual à semi-diferença dos
comprimentos das bases.
Faça: (M - N)
Demonstrar vetorialmente que o baricentro G de umtriângulo
ABC é G = .
Na figura:
(G - C) = 2(M - G)
Porém:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO :
M N
A B
CD
M
A C
=
+
2
N
B D
=
+
2
A B C+ +
3
M
A B
=
+
2
A M B
G
1
2
C
2
DB
2
CA
P
+
=
+
=
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12. CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE VETORES
a) Teorema
O vetor v é coplanar aos vetores u e u (não nulos e não paralelos
entre si) se, e somente se:
v = k u + k u
1 2
1 1 2 2
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Lucas
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