Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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escalar:
Na figura A'B' é a
da projeção do vetor v
sobre a direção do vetor u. Em
símbolos:
Do triângulo retângulo AB'B:
º
A'B' = projuv
A'B' = AB cos
= | v | cos
2 Þ
q
q
q
®
v
®
u
®
u
A\u2019
A q
B
B\u2019
®
v
®
u
®
u
60º
u . v
| u | | v |
cos =q
®
®
®
®
®
u . v = | u | projuv
Resolução:
u . v = | u | | v | cos 60
= (3) (2) = 3
o
projuv = =
u . v 3
| u | 3
k (u . v) = (ku) . v = u . (kv)
u . (v + w) = u . v + u . w
®
®
®
®
®
®
®
u
| u |
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
projuv =
®
®®
u . v
| u |
Demonstração: Na figura v = (B - A) e w = (C - B) e por conseqüên-
cia v + w = (C - A). Os pontos A', B' e
C' são as projeções ortogonais de
A, B e C sobre uma reta paralela ao
vetor u .
Pelo teorema de Carnot:
A' C' = A'B' + B'C'
ou
projuAC = projuAB + projuBC
ou ainda:
proju(v + w) = projuv + projuw
Multiplicando os dois membros por | u | tem-se:
| u |proju(v + w) = | u |projuv + | u |projuw
igualdade que pela interpretação geométrica do produto interno pode ser
escrita:
u . (v + w) = u . v + u . w (qed)
Exemplo:
Sendo | u | = 4, | v | = 5 e uv = 120 , calcular:
1) | u + v |
Resolução:
Resp.: | u + v| =
o
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
®
u
C\u2019
C
®
u
®
w
®
v
A\u2019 B\u2019
A
B
2) vers (u + v)
Resolução:
®
v
®
u
vers (u + v)
®®
120º
Exercícios
"Sem liberdade, o ser humano não se educa.
Sem autoridade, não se educa para a liberdade."
Jean Piaget (1896 - 1980), educador e epistemologista suíço
Calcular | u + v | e o versor de (u + v), sabendo-se que | u | = 4,
| v | = 6 e uv = 60 .
Resp.:
Sendo | u | = 2, | v | = 3, | w | = 4, uv = 90 e vw = 30 , calcular:
OBS.: u, v e w são coplanares.
a) | u + v |
Resp.:
b) vers (u + v)
Resp.:
c) (u + v) . (u - v)
Resp.: - 5
d) | u + v + w |
Resp.:
O
O O
01.
02.
72
v-u
e72
13
13
vu+
31221+
| u + v | = (u + v) . ( u + v)
= u . u + u . v + v . u + v . v
= | u | + | v | + 2| u || v | cos
= (4) + (5) + 2(4) (5) cos 120 = 21
2
2 2
2 2 O
q
21
21
vers (u + v) = u + v
| u + v |
=
u + v
®
®
®
®
®
® ®
®
®
®
Demonstração: Na figura v = (B - A) e w = (C - B) e por conseqüên-
cia v + w = (C - A). Os pontos A', B' e
C' são as projeções ortogonais de
A, B e C sobre uma reta paralela ao
vetor u .
Pelo teorema de Carnot:
A' C' = A'B' + B'C'
ou
projuAC = projuAB + projuBC
ou ainda:
proju(v + w) = projuv + projuw
Multiplicando os dois membros por | u | tem-se:
| u |proju(v + w) = | u |projuv + | u |projuw
igualdade que pela interpretação geométrica do produto interno pode ser
escrita:
u . (v + w) = u . v + u . w (qed)
Exemplo:
Sendo | u | = 4, | v | = 5 e uv = 120 , calcular:
1) | u + v |
Resolução:
Resp.: | u + v| =
o
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
®
u
C\u2019
C
®
u
®
w
®
v
A\u2019 B\u2019
A
B
2) vers (u + v)
Resolução:
®
v
®
u
vers (u + v)
®®
120º
Exercícios
"Sem liberdade, o ser humano não se educa.
Sem autoridade, não se educa para a liberdade."
Jean Piaget (1896 - 1980), educador e epistemologista suíço
Calcular | u + v | e o versor de (u + v), sabendo-se que | u | = 4,
| v | = 6 e uv = 60 .
Resp.:
Sendo | u | = 2, | v | = 3, | w | = 4, uv = 90 e vw = 30 , calcular:
OBS.: u, v e w são coplanares.
a) | u + v |
Resp.:
b) vers (u + v)
Resp.:
c) (u + v) . (u - v)
Resp.: - 5
d) | u + v + w |
Resp.:
O
O O
01.
02.
72
v-u
e72
13
13
vu+
31221+
| u + v | = (u + v) . ( u + v)
= u . u + u . v + v . u + v . v
= | u | + | v | + 2| u || v | cos
= (4) + (5) + 2(4) (5) cos 120 = 21
2
2 2
2 2 O
q
21
21
vers (u + v) = u + v
| u + v |
=
u + v
®
®
®
®
®
® ®
®
®
®
e) o vetor w como combinação linear de u e v.
Resp.: w = - u + v
w = k u + k v
1) multiplique escalarmente por u
2)multiplique escalarmente por v
Determinar o ângulo uv, sabendo-se que u + v + w = 0, | u | = 2,
| v | = 3 e | w | = 4.
Resp.: uv = arc cos
u + v = - w ou
(u + v) . (u + v) = (-w) . (-w)
Provar a lei dos co-senos: c = a +b - 2ab cos
Seja um paralelogramo construído sobre u e v. Determinar o
ângulo entre as diagonais do paralelogramo.
Dados | u | = , | v | = 1 e uv =
Resp.: = arc cos
As diagonais são u + v e u - v.
Então seu produto interno é (u + v) . (u - v) = |(u + v)| |(u - v)| cos
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
1 2
2 2 2 q
q
q
q
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e - a + b - 2c,
sabendo-se que | a | = | b | = | c | = 1 e que a, b e c são mutuamente ortogo-
nais.
Resp.:
Sendo u, v e w mutuamente ortogonais, demonstrar que:
a) | u + v | = | u | + | v |
b) | u + v + w | = | u | + | v | + | w |
Na figura, calcular o ângulo entre os vetores b e c, sendo
| a | = e | b | =
Resp.:
Como c = a - b faça o
produto escalar entre b e a - b.
Na figura estão representadas as imagens geométricas dos
vetores u, v e w. Sendo | u | = | v| = 2 e | w | = 4 escrever w como combina-
ção linear de u e v.
Resp. : w = - 2(u + v)
Sabendo-se que os vetores u, v e w formam dois a dois ângu-
los de 60º e tais que | u | = 4, | v | = 2 e | w | = 1.
Achar o módulo do vetor s = u + v + w.
Resp: | s | =
2 2 2
2 2 2 2
q
SUGESTÃO:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
®
a
®
b
®
c
q
3
p
6
5p
®
a
®
b
®
c
60º
®
w
®
v
®
u
120º
120º
120º
c = a - b
c . c = (a - b) . (a - b)
| c | = | a | + | b | - 2a . b
| c | = | a | + | b | - 2| a | | b | cos
2 2 2
2 2 2 q
®
®
®
® ®
® ® ®
® ® ® ®
® ®
® ® ® ®
3
32
4
1
7
72
3
6
p
SUGESTÃO: Desenvolva o produto interno:
s . s = (u + v + w) . (u + v + w)
® ® ® ® ® ®
®
® ®
® ®
®
®
® ®
®
® ®
2 .22
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e) o vetor w como combinação linear de u e v.
Resp.: w = - u + v
w = k u + k v
1) multiplique escalarmente por u
2)multiplique escalarmente por v
Determinar o ângulo uv, sabendo-se que u + v + w = 0, | u | = 2,
| v | = 3 e | w | = 4.
Resp.: uv = arc cos
u + v = - w ou
(u + v) . (u + v) = (-w) . (-w)
Provar a lei dos co-senos: c = a +b - 2ab cos
Seja um paralelogramo construído sobre u e v. Determinar o
ângulo entre as diagonais do paralelogramo.
Dados | u | = , | v | = 1 e uv =
Resp.: = arc cos
As diagonais são u + v e u - v.
Então seu produto interno é (u + v) . (u - v) = |(u + v)| |(u - v)| cos
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
1 2
2 2 2 q
q
q
q
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e - a + b - 2c,
sabendo-se que | a | = | b | = | c | = 1 e que a, b e c são mutuamente ortogo-
nais.
Resp.:
Sendo u, v e w mutuamente ortogonais, demonstrar que:
a) | u + v | = | u | + | v |
b) | u + v + w | = | u | + | v | + | w |
Na figura, calcular o ângulo entre os vetores b e c, sendo
| a | = e | b | =
Resp.:
Como c = a - b faça o
produto escalar entre b e a - b.
Na figura estão representadas as imagens geométricas dos
vetores u, v e w. Sendo | u | = | v| = 2 e | w | = 4 escrever w como combina-
ção linear de u e v.
Resp. : w = - 2(u + v)
Sabendo-se que os vetores u, v e w formam dois a dois ângu-
los de 60º e tais que | u | = 4, | v | = 2 e | w | = 1.
Achar o módulo do vetor s = u + v + w.
Resp: | s | =
2 2 2
2 2 2 2
q
SUGESTÃO:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
®
a
®
b
®
c
q
3
p
6
5p
®
a
Lucas
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Onde fica a resolução ??
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