Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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e) Propriedades do produtomisto:
I) Cíclica:
t
p
a) = 0 V = +
b) = 180 V = -
c) = 90 V = 0.
q Þ
q Þ
q Þ
O
O
O
p
p
p
"Planeje seu progresso, cuidadosamente, cada hora,
cada dia, cada mês. A ação organizada, unida ao
entusiasmo, produz uma força irresistível."
(P. MEYER)
Dados os vetores u = 3i - 2j + 6k, v = - 3i - 5j + 8k e w = i + k,
calcular:
a) a área do paralelogramo construído sobre u e v.
b) o volume do paralelepípedo construído sobre u, v e w.
c) a altura (em valor absoluto) do paralelepípedo.
d) o volume do tetraedro construído sobre u, v e w.
Calcular o volume do tetraedro de arestas u = 3i - 2j - 6k,
v = 2i - j e w = i + 3j + 4k.
Resp.:
Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: A = (4, 5, x), B = (- 4, 4, 4), C = (0, -1, -1), D = (3, 9, 4).
Resp.: x = 1
01.
02.
03.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
(expressão cartesiana do produto misto)
3
19
-
.0)AD(.)AC(x)AB(
6
1
VFaça t =---=
Exercícios
04.
05.
06.
07.
Os vetores i + 2j + 3k, 2i - j + k e 3i + j + 4k são coplanares?
Resp.: Sim.
Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre i, j, k.
Resp.: 1 u.v.
Na figura abaixo estão representados os vetores v , v e v .
Achar o produtomisto(v + v ) . (v - 2v ) x (v + 2v ).
Resp.: - 6
Calcular o ângulo da diagonal do cubo com a diagonal de uma
face de mesma origem.
Resp.:
Sejam (A - O) = i + j e
(P - O) = i + j + k os vetores que
dão as direções das diagonais.
Faça o produto interno.
1 2 3
1 2 1 2 3 1
z
O
1
1
1
y
x
®
v1
®
v2
®
v3
x
A1
O
1
z
1 y
P
q
º35ou
3
6
cos @q=q
u x v . w =
SUGESTÃO:
6
7
)d;
7
1
)c
7)b;49)a
-
-Resp.:
® ®
®
®
® ® ® ®
SUGESTÃO:
® ®
®
®
® ®
®
®
x
x
x
1
2
3
y
y
y
1
2
3
z
z
z
1
2
3
"Planeje seu progresso, cuidadosamente, cada hora,
cada dia, cada mês. A ação organizada, unida ao
entusiasmo, produz uma força irresistível."
(P. MEYER)
Dados os vetores u = 3i - 2j + 6k, v = - 3i - 5j + 8k e w = i + k,
calcular:
a) a área do paralelogramo construído sobre u e v.
b) o volume do paralelepípedo construído sobre u, v e w.
c) a altura (em valor absoluto) do paralelepípedo.
d) o volume do tetraedro construído sobre u, v e w.
Calcular o volume do tetraedro de arestas u = 3i - 2j - 6k,
v = 2i - j e w = i + 3j + 4k.
Resp.:
Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD.
Dados: A = (4, 5, x), B = (- 4, 4, 4), C = (0, -1, -1), D = (3, 9, 4).
Resp.: x = 1
01.
02.
03.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
(expressão cartesiana do produto misto)
3
19
-
.0)AD(.)AC(x)AB(
6
1
VFaça t =---=
Exercícios
04.
05.
06.
07.
Os vetores i + 2j + 3k, 2i - j + k e 3i + j + 4k são coplanares?
Resp.: Sim.
Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre i, j, k.
Resp.: 1 u.v.
Na figura abaixo estão representados os vetores v , v e v .
Achar o produtomisto(v + v ) . (v - 2v ) x (v + 2v ).
Resp.: - 6
Calcular o ângulo da diagonal do cubo com a diagonal de uma
face de mesma origem.
Resp.:
Sejam (A - O) = i + j e
(P - O) = i + j + k os vetores que
dão as direções das diagonais.
Faça o produto interno.
1 2 3
1 2 1 2 3 1
z
O
1
1
1
y
x
®
v1
®
v2
®
v3
x
A1
O
1
z
1 y
P
q
º35ou
3
6
cos @q=q
u x v . w =
SUGESTÃO:
6
7
)d;
7
1
)c
7)b;49)a
-
-Resp.:
® ®
®
®
® ® ® ®
SUGESTÃO:
® ®
®
®
® ®
®
®
x
x
x
1
2
3
y
y
y
1
2
3
z
z
z
1
2
3
vetor ortogonal a eles e em decorrência coplanar a lpso facto, os veto-
res u , v e (u x v) x w são coplanares.Donde se infere que o vetor (u x v) x w
pode ser expresso como combinação linear de u e v.
Assim: (u x v) x w = k u + k v
a.
1 2
"Sobre todas as coisas há 3 pontos de vista:
o teu, o meu e o correto."
SUGESTÃO:
(PROV. CHINÊS)
Sejam os vetores u = 3i - 2j - 6k, v = 2i - j e w = i + 3j + 4k, achar:
a) u . v Resp.: 8
b) | u x v | Resp.:
c) u x v . w Resp.: - 38
d) (u x v) x w Resp.: - 51i + 25j - 6k
e) u x (v x w) Resp.: - 62i + 3j - 32k
a) |(u x v) x w| Resp. :
b) (u . w)v - (v . w)u Resp. : - 2i + 6j + 6k
c) o vetor (u x v) x w como combinação linear de u e v .
Resp. : (u x v) x w = - 4u + 6v
Quanto ao item c faça (u x v) x w = k u+ k v
Dados os vetores u = (2, 0, 0), v = (1, 1, 1) e w = (3, 2, -1) calcular:
1 2
01.
02.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
70ºou
3
1
cos =q=q
®
w
®
v
®
u
a
®®
(u x v)
®®®
(u x v) x w
181
192
Exercícios
Série B
Relembrando:
u . v resulta um escalar.
u x v resulta um vetor.
u x v . w resulta um escalar.
(u x v) x w resulta um vetor.
® ® ® ®
®
®
®
®
®
®
®
08.
09.
Determinar o ângulo agudo formado por duas diagonais de um
cubo.
Resp.:
Demonstrar a propriedade distributiva do produto externo:
u x (v + w) = u x v + u x w.
20. DUPLAMULTIPLICAÇÃO VETORIAL
a) Definição
vetor vetor
b) Representação do duplo produto externo
Dados os vetores u, v e w chama-se duplo produto vetorial ou du-
plo produto externo ao (u x v) x w ou ao u x (v x w). Estes dois
vetores na maioria esmagadora das vezes são distintos, não se verificando
a propriedade associativa. É imprescindível, portanto, o uso dos parênte-
ses.
Semmuita dificuldade po-
demos visualizar o vetor
(u x v) x w. Na figura represen-
ta-se u e v coplanarmente a ;
w não pertence ao plano ;
(u x v) é umvetor ortogonal a ;
efetuando-se o produto exter-
no entre (u x v) e w tem-se um
OBSERVAÇÃO:
a
a
a
vetor ortogonal a eles e em decorrência coplanar a lpso facto, os veto-
res u , v e (u x v) x w são coplanares.Donde se infere que o vetor (u x v) x w
pode ser expresso como combinação linear de u e v.
Assim: (u x v) x w = k u + k v
a.
1 2
"Sobre todas as coisas há 3 pontos de vista:
o teu, o meu e o correto."
SUGESTÃO:
(PROV. CHINÊS)
Sejam os vetores u = 3i - 2j - 6k, v = 2i - j e w = i + 3j + 4k, achar:
a) u . v Resp.: 8
b) | u x v | Resp.:
c) u x v . w Resp.: - 38
d) (u x v) x w Resp.: - 51i + 25j - 6k
e) u x (v x w) Resp.: - 62i + 3j - 32k
a) |(u x v) x w| Resp. :
b) (u . w)v - (v . w)u Resp. : - 2i + 6j + 6k
c) o vetor (u x v) x w como combinação linear de u e v .
Resp. : (u x v) x w = - 4u + 6v
Quanto ao item c faça (u x v) x w = k u+ k v
Dados os vetores u = (2, 0, 0), v = (1, 1, 1) e w = (3, 2, -1) calcular:
1 2
01.
02.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
70ºou
3
1
cos =q=q
®
w
®
v
®
u
a
®®
(u x v)
®®®
(u x v) x w
181
192
Exercícios
Série B
Relembrando:
u . v resulta um escalar.
u x v resulta um vetor.
u x v . w resulta um escalar.
(u x v) x w resulta um vetor.
® ® ® ®
®
®
®
®
®
®
®
08.
09.
Determinar o ângulo agudo formado por duas diagonais de um
cubo.
Resp.:
Demonstrar a propriedade distributiva do produto externo:
u x (v + w) = u x v + u x w.
20. DUPLAMULTIPLICAÇÃO VETORIAL
a) Definição
vetor vetor
b) Representação do duplo produto externo
Dados os vetores u, v e w chama-se duplo produto vetorial ou du-
plo produto externo ao (u x v) x w ou ao u x (v x w). Estes dois
vetores na maioria esmagadora das vezes são distintos, não se verificando
a propriedade associativa. É imprescindível, portanto, o uso dos parênte-
ses.
Semmuita dificuldade po-
demos visualizar o vetor
(u x v) x w. Na figura represen-
ta-se u e v coplanarmente a ;
w não pertence ao plano ;
(u x v) é umvetor ortogonal
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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