Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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a ;
efetuando-se o produto exter-
no entre (u x v) e w tem-se um
OBSERVAÇÃO:
a
a
a
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
03.
04.
Considerando os vetores u = (1, 2, 3), v = (- 1, 1, 2), a = (2, - 4, 3)
e b = (2, -1, 0), calcular:
a) (u x v) . (a x b) Resp.: - 9
b) (u x v) x (a x b) Resp.: (- 48, 3, 21)
Demonstrar os teoremas:
a) (u x v) x w = (u . w)v - (v . w)u
b) u x (v x w) = (u . w)v - (u . v)w
Série B
j
®
®
i
®
v
®
k
®
u
®
w
x
y
z
Às pessoas famosas sempre se acrescem fatos
pitorescos ou hábitos excêntricos. Quanto à história
abaixo, se non é vero, é bene trovato, como dizem apro-
priadamente os italianos. Conta-se que Albert Einstein
(1879-1955), físico alemão naturalizado americano,
visitava diversas cidades dos EUA ministrando palestras.
O conspícuo físico era sistemático, não variava e tam-
pouco aprofundava o tema da exposição: teoria dos
quanta e da relatividade, fórmula E = mc e concluía com
exortações pacifistas.
Na platéia, sempre atento, estava seu fiel mo-
torista. Adentrando-se à próxima cidade, Einstein foi aco-
metido de forte diarréia. Pensou em cancelar a palestra. O
motorista não se fez de rogado:
- Doutor, eles conhecem o senhor? - Não, respon-
deu o renomado cientista.
- Então posso falar pelo senhor, pois já memorizei
todos os temas.
Conhecendo a loquacidade do companheiro,
Einstein consentiu. O motorista, engravatado, chegou ao
local da palestra e rasgou o verbo com todo o entusiasmo.
No fundo, o cientista perplexo a tudo assistia,
maravilhado com a dicção, postura gestual e reprodução
genuína de suas palavras. Era constantemente ovacio-
nado e a criatura superava o criador.
Eis que, em meio à platéia, alguém levantou o
braço. O motorista palestrante gelou mas se manteve im-
perturbável.
- Pois não, qual é a pergunta?
Feita a pergunta, o palestrante, obviamente des-
conhecendo a resposta, foi enfático:
- Com todo o respeito, a sua pergunta se insere no
que foi exposto em minha palestra, e tão é verdade, que
convido meu motorista para respondê-la. Dito isso, apon-
tou para Einstein no fundo da platéia.
2
História de uso corrente.
Texto adaptado pelo autor.
EINSTEIN E SEU MOTORISTA
SUGESTÃO:
Posicionando-se os vetores
u, v e w, conforme a figura:
u = x i
v = x i + y j
w = x i + y j + z k
1
2 2
3 3 3
®
®
®
® ®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
03.
04.
Considerando os vetores u = (1, 2, 3), v = (- 1, 1, 2), a = (2, - 4, 3)
e b = (2, -1, 0), calcular:
a) (u x v) . (a x b) Resp.: - 9
b) (u x v) x (a x b) Resp.: (- 48, 3, 21)
Demonstrar os teoremas:
a) (u x v) x w = (u . w)v - (v . w)u
b) u x (v x w) = (u . w)v - (u . v)w
Série B
j
®
®
i
®
v
®
k
®
u
®
w
x
y
z
Às pessoas famosas sempre se acrescem fatos
pitorescos ou hábitos excêntricos. Quanto à história
abaixo, se non é vero, é bene trovato, como dizem apro-
priadamente os italianos. Conta-se que Albert Einstein
(1879-1955), físico alemão naturalizado americano,
visitava diversas cidades dos EUA ministrando palestras.
O conspícuo físico era sistemático, não variava e tam-
pouco aprofundava o tema da exposição: teoria dos
quanta e da relatividade, fórmula E = mc e concluía com
exortações pacifistas.
Na platéia, sempre atento, estava seu fiel mo-
torista. Adentrando-se à próxima cidade, Einstein foi aco-
metido de forte diarréia. Pensou em cancelar a palestra. O
motorista não se fez de rogado:
- Doutor, eles conhecem o senhor? - Não, respon-
deu o renomado cientista.
- Então posso falar pelo senhor, pois já memorizei
todos os temas.
Conhecendo a loquacidade do companheiro,
Einstein consentiu. O motorista, engravatado, chegou ao
local da palestra e rasgou o verbo com todo o entusiasmo.
No fundo, o cientista perplexo a tudo assistia,
maravilhado com a dicção, postura gestual e reprodução
genuína de suas palavras. Era constantemente ovacio-
nado e a criatura superava o criador.
Eis que, em meio à platéia, alguém levantou o
braço. O motorista palestrante gelou mas se manteve im-
perturbável.
- Pois não, qual é a pergunta?
Feita a pergunta, o palestrante, obviamente des-
conhecendo a resposta, foi enfático:
- Com todo o respeito, a sua pergunta se insere no
que foi exposto em minha palestra, e tão é verdade, que
convido meu motorista para respondê-la. Dito isso, apon-
tou para Einstein no fundo da platéia.
2
História de uso corrente.
Texto adaptado pelo autor.
EINSTEIN E SEU MOTORISTA
SUGESTÃO:
Posicionando-se os vetores
u, v e w, conforme a figura:
u = x i
v = x i + y j
w = x i + y j + z k
1
2 2
3 3 3
®
®
®
® ®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
SÍMBOLOS E NOTAÇÕES MATEMÁTICAS
Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a
"rainha e serva de todas as ciências". E o apanágio de sua
majestade é o rigor, a lógica, a harmonia e sua linguagem
precisa, universal e sincopada.
Sabemos que os gregos antigos promoveram um
grande desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial, mas
não dispunham de uma notação algébrica ou simbologia
adequadas.
Até o século XVI, toda a expressão matemática se
fazia de uma forma excessivamente "verbal ou retórica".
Por exemplo em 1591, Viète, para representar a
equação quadrática 5A + 9A - 5 = 0, escrevia em bom latim:
. (5 em
A quadrado e 9 emAplanomenos 5 é igual a zero).
Além da prolixidade de comunicação entre os
matemáticos, havia outras dificuldades, pois se utilizava de
notações diferentes para indicar as mesmas coisas.
O maior responsável por uma notação matemática
mais consistente e utilizada até hoje foi Leonhard Euler
(1707-1783).
Recordemos as principais: (para indicar função
de x); (somatória e provém da letra grega sigma, que
corresponde ao nosso S); (unidade imaginária igual a );
(base do logaritmo neperiano e igual a 2,7182...); (para
indicar o logaritmo de x); as letras minúsculas para
indicarem os lados de umtriângulo e as letras maiúsculas A, B,
C para os ângulos opostos. A letra = 3,1415.... que havia
sido utilizada por William Jones em 1706, teve o uso
consagrado por Euler.
Euler nasceu em Basiléia, Suíça, e recebeu
educação bastante eclética: Matemática, Medicina, Teologia,
Física, Astronomia e Línguas Ocidentais e Orientais.
Extremamente profícuo, insuperável em produção
matemática, Euler escrevia uma média de 800 páginas por
ano e publicou mais de 500 livros e artigos. Em plena atividade
intelectual, morreu aos 76 anos, sendo que os últimos
dezessete anos passou em total cegueira (conseqüência de
catarata). Mesmo assim, continuou ditando aos seus filhos
(eram treze).
A implementação dos símbolos mais adequados foi
acontecendo naturalmente ao longo de décadas ou séculos,
sob a égide da praticidade e do pragmatismo. É evidente,
2
5 in A quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0
f(x)
i e
log x
a, b, c
S
p
porém, que pouco se pode afirmar com precisão nesta
evolução.
Alguns exemplos:
Uma explicação razoável é que, até então, a adição
de dois números, por exemplo 3 + 2 era representada por 3
2. Com o passar dos anos, a conjugação latina (que
significa e) foi sincopada para "t", de onde se originou o sinal
de +.
Pode ter sido fruto da evolução abaixo exposta,
conforme se observa nos escritos dos matemáticos italianos
da Renascença:
É provável que seja originário de uma alteração do
símbolo de .
Fibonacci (séc. Xll) emprega a notação , já conhe-
cida pelos árabes. A notação a:b é atribuída a Leibniz em1648.
O inglês Thomas Harriot (1560-1621) foi o introdutor
dos símbolos de < ou > para indicar maior ou menor,
respectivamente. No entanto, os símbolos ou surgiram
et
et
+
£ ³
SÍMBOLO DE +
SÍMBOLO DE
SÍMBOLO DE X
SÍMBOLO DA ÷ (DIVISÃO)
SÍMBOLO
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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