Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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de u (ou so-
bre u).
1) Obtido v , na necessidade de calcular-se v :
v + v = v v = v - v
onde v representa a projeção do vetor v na direção ortogonal a u.
2) Reiteramos o exposto na interpretação geométrica do produto
interno que a do vetor projeção de v sobre u é
obtida por:
Dados os vetores u = i - j e v = 2i - j + 2k, calcular:
1) O vetor projeção de v so-
bre u.
Fórmula:
Substituindo na fórmula:
Resp.:
vetor projeção
c) Exemplo
1 2
1 2 2 1
2
Þ
medida algébrica
"Ninguém terá direito de ser medíocre no Séc. XXI.
Na mesa de jogo deste século, a qualidade não será
mais um diferencial competitivo, mas o cacife mínimo
para pedir as cartas."
Luiz Almeida Marins Filho, PhD e consultor, numa palestra em Florianópolis
Sendo u = (5, 2, 5) e v = (2, -1, 2), calcular o vetor projvu.
Resp.: (4, - 2, 4)
Dados u = (5, 2, 5) e v = (2, -1, 2), determinar o vetor projuv.
Resp.:
O valor da medida algébrica da projeção de v = (5, 4, -3) sobre
u = (0, 3, 0) é:
Resp.: 4
01.
02.
03.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
®
v2
Exercícios
u
|u|
v).(u
2vetor projuv =
|u|
v).(u
u . v = (1) (2) + (- 1) (- 1) + 0(2) = 3
| u | = (1) + (- 1) + (0) = 22 2 2 2
u
|u|
v.u
v
21 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
)0,1-,1(
2
3
v1 ÷
ø
ö
ç
è
æ=
÷
ø
ö
ç
è
æ= 0,
2
3-
,
2
3
v1
2) v : o vetor projeção de v sobre a direção ortogonal a u.
v = v - v
= (2, - 1, 2) -
Resp.: v =
3) a medida algébrica da projuv
projuv =
2
2 1
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
0,
2
3-
,
2
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
2,
2
1
,
2
1
2
23
2
3
|u|
v.u
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
3
5
,
3
2
,
3
5
®
®
® ® ®
®
OBSERVAÇÕES:
®
®
®
®
®
®
® ®
®
®
® ®
®
®
Ou simbolicamente:
Fórmula que fornece o de v na direção de u (ou so-
bre u).
1) Obtido v , na necessidade de calcular-se v :
v + v = v v = v - v
onde v representa a projeção do vetor v na direção ortogonal a u.
2) Reiteramos o exposto na interpretação geométrica do produto
interno que a do vetor projeção de v sobre u é
obtida por:
Dados os vetores u = i - j e v = 2i - j + 2k, calcular:
1) O vetor projeção de v so-
bre u.
Fórmula:
Substituindo na fórmula:
Resp.:
vetor projeção
c) Exemplo
1 2
1 2 2 1
2
Þ
medida algébrica
k
9
41
j
9
38
i
9
22
++
08. Na figura abaixo, tem-se o triângulo retângulo de vértices ABC.
Considere H o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A e calcule o
vetor (H - A). Dados A = (1, 2, - 1), B = (- 1, 0, - 1) e C = (2, 1, 2).
Resp.:
04.
05.
06.
07.
Achar o vetor projeção de v = 4i + 5j + 3k sobre um vetor
perpendicular a u = 2i + j - 2k.
Resp.:
O vetor projeção de u = (0, 1, 5) sobre o vetor v = (3, - 5, 1) é:
Resp.: (0, 0, 0)
u e v são ortogonais.
Seja o triângulo retângulo em A, de vértices A = (3, - 2, 8),
B = (0, 0, 2) e C = (- 3, - 5, 10).
Calcular: a) BH
b) m
c) n
Calcular os vetores projeção de v = 3i - 2j - 3k sobre os eixos
cartesianos x, y e z.
Resp.: 3i, - 2j, - 3k
2
27
c)
2
27
)b
4,
2
5
,
2
3
)a:.spRe ÷
ø
ö
ç
è
æ
--
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
(ou o seu oposto)
B H C
m n
A
B H C
A
2. PROJEÇÃO DE UM PONTO SOBRE UM PLANO
a) Projeção oblíqua
Seja um plano in-
dividualizado pelo ponto
A e por um vetor unitário
n , a ele ortogonal. Que-
remos as coordenadas
de P' que é a projeção do
ponto P sobre o plano ,
segundo a direção do
vetor v dado.
Dedução:
O vetor (P' - A) é ortogonal a n. O vetor (P' - P) é paralelo a v .
Donde:
Substituindo 2 em 1 :
a
a
,
®
v
®
n
a
A
P
OBSERVAÇÃO:
(P' - A) . n = 0 1 e
(P' - P) = kv P' = P + kv 2Þ
(P + kv - A) . n = 0 ou
(P - A) . n + kv . n = 0
®
®
®
® ®
®
®
® ®
®
® ®
®
k
19
24
j
19
30
-i
19
14
-A)-(H +=
k
9
41
j
9
38
i
9
22
++
08. Na figura abaixo, tem-se o triângulo retângulo de vértices ABC.
Considere H o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A e calcule o
vetor (H - A). Dados A = (1, 2, - 1), B = (- 1, 0, - 1) e C = (2, 1, 2).
Resp.:
04.
05.
06.
07.
Achar o vetor projeção de v = 4i + 5j + 3k sobre um vetor
perpendicular a u = 2i + j - 2k.
Resp.:
O vetor projeção de u = (0, 1, 5) sobre o vetor v = (3, - 5, 1) é:
Resp.: (0, 0, 0)
u e v são ortogonais.
Seja o triângulo retângulo em A, de vértices A = (3, - 2, 8),
B = (0, 0, 2) e C = (- 3, - 5, 10).
Calcular: a) BH
b) m
c) n
Calcular os vetores projeção de v = 3i - 2j - 3k sobre os eixos
cartesianos x, y e z.
Resp.: 3i, - 2j, - 3k
2
27
c)
2
27
)b
4,
2
5
,
2
3
)a:.spRe ÷
ø
ö
ç
è
æ
--
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
(ou o seu oposto)
B H C
m n
A
B H C
A
2. PROJEÇÃO DE UM PONTO SOBRE UM PLANO
a) Projeção oblíqua
Seja um plano in-
dividualizado pelo ponto
A e por um vetor unitário
n , a ele ortogonal. Que-
remos as coordenadas
de P' que é a projeção do
ponto P sobre o plano ,
segundo a direção do
vetor v dado.
Dedução:
O vetor (P' - A) é ortogonal a n. O vetor (P' - P) é paralelo a v .
Donde:
Substituindo 2 em 1 :
a
a
,
®
v
®
n
a
A
P
OBSERVAÇÃO:
(P' - A) . n = 0 1 e
(P' - P) = kv P' = P + kv 2Þ
(P + kv - A) . n = 0 ou
(P - A) . n + kv . n = 0
®
®
®
® ®
®
®
® ®
®
® ®
®
k
19
24
j
19
30
-i
19
14
-A)-(H +=
"É impossível evitar que os pássaros da dor,
da angústia e do desespero voem sobre nossas cabeças.
Mas podemos evitar que façam ninhos
em nossos cabelos."
(PROV. CHINÊS)
Achar as coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano
determinado por A, B e C, segundo a direção do vetor v. Dados: A = (2, 1, 0),
B = (0, 2, 1), C = (0, 0, 2), P = (0, -1, 0) e v = i + k.
Calcular as coordenadas da projeção ortogonal de P = (0, -1, 0)
sobre o plano determinado pelos pontos A = (2, 1, 0), B = (0, 2, 1) e
C = (0, 0, 2).
Resp.:
Seja um plano determinado pelos pontos A = (0, 0, 3),
B = (1, 1, 3) e C = (2, 1, 3). A distância entre os pontos P = (1 , 0, 1) e
Q = (x, 0, 2), com x > 0 é .
Considere Q' a projeção orto-
gonal do ponto Q sobre o plano
, e P' a projeção do ponto P
sobre segundo a direção do ve-
tor v = 2i + j + k.
Calcular a distância d
entre os pontos P' e Q'.
a
a
a
01.
02.
03.
÷
ø
öç
è
æ
=
29
40
,
29
9-
,
29
30
N
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
7
10
1,,
7
10
'P:.spRe
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
lsolando k :
Substituindo 3 em 2 :
Para este caso, basta substituir
na fórmula acima o vetor v pelo ve-
tor n. Lembrando que n . n = 1, ob-
tém-se:
onde N é denominado
do ponto P sobre o plano .
Se o plano for determinado
por três pontos A, B e C, o vetor n,
unitário e normal ao plano é obtido
por:
b) Projeção ortogonal
pé da normal
c) Cálculo de n
a
a
3
v.n
n.)P(A
k
-
=
v
v.n
n.)PA(
P'P
-
+=
®
n
a
A
P
N
®
n
a
A
B
C
nn].P)[(APN -+=
A)|(Cx)AB|(
)AC(x)AB(
n
--
--
=
13:.spRe
Exercícios
a
P®
v
Q
Q\u2019
d
2
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
® ® ®
"É impossível evitar que os pássaros da dor,
da angústia e do desespero voem sobre nossas cabeças.
Mas podemos evitar que façam ninhos
em nossos cabelos."
(PROV. CHINÊS)
Achar as coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano
determinado por A, B e C, segundo a direção do vetor v. Dados: A = (2, 1, 0),
B = (0, 2, 1), C = (0, 0, 2), P = (0, -1, 0) e v = i + k.
Calcular
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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