Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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as coordenadas da projeção ortogonal de P = (0, -1, 0)
sobre o plano determinado pelos pontos A = (2, 1, 0), B = (0, 2, 1) e
C = (0, 0, 2).
Resp.:
Seja um plano determinado pelos pontos A = (0, 0, 3),
B = (1, 1, 3) e C = (2, 1, 3). A distância entre os pontos P = (1 , 0, 1) e
Q = (x, 0, 2), com x > 0 é .
Considere Q' a projeção orto-
gonal do ponto Q sobre o plano
, e P' a projeção do ponto P
sobre segundo a direção do ve-
tor v = 2i + j + k.
Calcular a distância d
entre os pontos P' e Q'.
a
a
a
01.
02.
03.
÷
ø
öç
è
æ
=
29
40
,
29
9-
,
29
30
N
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
7
10
1,,
7
10
'P:.spRe
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
lsolando k :
Substituindo 3 em 2 :
Para este caso, basta substituir
na fórmula acima o vetor v pelo ve-
tor n. Lembrando que n . n = 1, ob-
tém-se:
onde N é denominado
do ponto P sobre o plano .
Se o plano for determinado
por três pontos A, B e C, o vetor n,
unitário e normal ao plano é obtido
por:
b) Projeção ortogonal
pé da normal
c) Cálculo de n
a
a
3
v.n
n.)P(A
k
-
=
v
v.n
n.)PA(
P'P
-
+=
®
n
a
A
P
N
®
n
a
A
B
C
nn].P)[(APN -+=
A)|(Cx)AB|(
)AC(x)AB(
n
--
--
=
13:.spRe
Exercícios
a
P®
v
Q
Q\u2019
d
2
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
® ® ®
c) Se o plano for individualizado por três pontos A, B e C, é mais
cômodo calcular a distância do
ponto P ao plano como a altura
do paralelepípedo cujas arestas
são (B - A), (C - A) e (P - A).
a
a
"Todos os que meditaram a arte de governar os homens
se convenceram de que o destino de um país depende
da educação dos jovens."
Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.), filósofo grego.
Conhecidos os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3), C = (1, 3, 3) e
D = (2, 1, 5), achar:
A) a altura do tetraedro ABCD relativa ao vértice A;
b) o pé da normal baixada de A sobre o plano BCD.
01.
Exercícios
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
04. Considere os pontos A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 2), C = (0, 2, 1),
D = (1, 2, 0) e E = (3, 0, 0). Calcular a intersecção da reta DE, orientada no
sentido de D para E, com o plano ABC.
Resp.: P'= (- 2, 5,0)
d (P, ) = |(A \u2013 P)| cosa q
®
n
a
A N
q
P
d (P, )a
q-=a cos|n||P)(A|),P(d
n.P)(A),P(d -=a
|)A(Cx)AB(|
)A(P.)A(CxA)(B
)(P,d
--
---
=a
basedaárea
pedoparalelepídovolume
pedo)paralelepído(alturah)(P,d
=
=a
5
5
h:.spRe =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
9
1,,
5
2
N:.spRe
a A B
C
h
P
®
®
®
3. DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO
a)
b) Pé da normal (N)
Considere um plano que
contém o ponto A e ortogonal ao
vetor unitário n. Queremos a dis-
tância do ponto P ao plano .
Dedução:
Do triângulo retângulo PNA:
O segundo membro da igualdade acima não se altera, se o
multiplicarmos por | n |:
que exprime o produto escalar entre os vetores (A - P) e n. Donde se infere
a fórmula:
A d(P, ) é convencionada positiva se o segmento orientado
tiver o sentido de n ; negativa se tiver o sentido contrário a n.
Trata-se da fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre um
plano (deduzida no item anterior).
Então:
a
a
a
OBSERVAÇÃO:
PN
PN
N = P + [(A - P) . n] n ou N = P + d(P, )na
® ®
c) Se o plano for individualizado por três pontos A, B e C, é mais
cômodo calcular a distância do
ponto P ao plano como a altura
do paralelepípedo cujas arestas
são (B - A), (C - A) e (P - A).
a
a
"Todos os que meditaram a arte de governar os homens
se convenceram de que o destino de um país depende
da educação dos jovens."
Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.), filósofo grego.
Conhecidos os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3), C = (1, 3, 3) e
D = (2, 1, 5), achar:
A) a altura do tetraedro ABCD relativa ao vértice A;
b) o pé da normal baixada de A sobre o plano BCD.
01.
Exercícios
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
04. Considere os pontos A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 2), C = (0, 2, 1),
D = (1, 2, 0) e E = (3, 0, 0). Calcular a intersecção da reta DE, orientada no
sentido de D para E, com o plano ABC.
Resp.: P'= (- 2, 5,0)
d (P, ) = |(A \u2013 P)| cosa q
®
n
a
A N
q
P
d (P, )a
q-=a cos|n||P)(A|),P(d
n.P)(A),P(d -=a
|)A(Cx)AB(|
)A(P.)A(CxA)(B
)(P,d
--
---
=a
basedaárea
pedoparalelepídovolume
pedo)paralelepído(alturah)(P,d
=
=a
5
5
h:.spRe =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
9
1,,
5
2
N:.spRe
a A B
C
h
P
®
®
®
3. DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO
a)
b) Pé da normal (N)
Considere um plano que
contém o ponto A e ortogonal ao
vetor unitário n. Queremos a dis-
tância do ponto P ao plano .
Dedução:
Do triângulo retângulo PNA:
O segundo membro da igualdade acima não se altera, se o
multiplicarmos por | n |:
que exprime o produto escalar entre os vetores (A - P) e n. Donde se infere
a fórmula:
A d(P, ) é convencionada positiva se o segmento orientado
tiver o sentido de n ; negativa se tiver o sentido contrário a n.
Trata-se da fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre um
plano (deduzida no item anterior).
Então:
a
a
a
OBSERVAÇÃO:
PN
PN
N = P + [(A - P) . n] n ou N = P + d(P, )na
® ®
b) Cálculo do pé da normal (N)
c)
N é o pé da normal do ponto A sobre a reta r. Com as devidas
precauções quanto ao posicionamento dos pontos e do vetor n , pode-se
empregar a fórmula do parágrafo anterior:
Se a reta r for determinada por dois pontos B e C, a distância do
ponto A à reta BC pode ser obtida:
"O princípio mais profundamente enraizado na natureza
humana é a ânsia de ser apreciado."
Willian James (1842 - 1910), filósofo norte-americano.
Dados os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3), C = (1, 3, 4), deter-
minar:
a) a altura do triângulo ABC relativa a A;
b) o pé da normal baixada de A sobre a reta BC.
01.
4. DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
a) Consideremos um ponto A
e uma reta r, esta individualizada
por um ponto P e por um vetor
unitário n, que tem a sua direção.
Buscamos a distância do ponto A à
reta r.
Do triângulo retângulo ANP:
que não se altera se multiplicarmos o 2.º membro por | n | :
que expressa o módulo do produto externo entre os vetores (A - P) e n.
Com efeito:
02.
03.
Dados os pontos A = (2, 4, 0), B = (0, 2, 4), C = (6, 0, 2), calcular:
a) a altura do tetraedro OABC relativa a O (origem);
b) o pé da normal baixada de O sobre o plano ABC.
Achar a distância do ponto P ao plano determinado pelos
pontos A, B e C.
Dados: P = (- 5, - 4, 8), A = (2, 3, 1), B = (4, 1, - 2) e C = (6, 3, 7).
Resp.: 11
Não há ação prolongada que não surta efeito.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
5
213
h:.spRe =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
25
52
,
5
13
,
25
39
N:.spRe
®
n
r
P N
A
d (A, r)
|)BC(|
|B)(CxB)(A|
r)(A,d
-
--
=
basedaocompriment
triângulo)do(área2
triângulo)do(alturahr)(A,d A
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
14
,
5
3
,1N:.spRe
B
r
A
C
hA
Exercícios
5
53
h:.spRe =
d(A, r) = |(A - P)| sen q
d(A, r) = |(A - P)| | n | sen q
d(A, r) = |(A - P) x n |
N = P + [(A - P) . n]n
®
®
®
®
b) Cálculo do pé da normal (N)
c)
N é o pé da normal do ponto A sobre a reta r. Com as devidas
precauções quanto ao posicionamento dos pontos e do vetor n , pode-se
empregar a fórmula do parágrafo anterior:
Se a reta r for determinada por dois pontos B e C, a distância do
ponto A à reta BC pode ser obtida:
"O princípio mais profundamente enraizado na natureza
humana é a ânsia de ser apreciado."
Willian James (1842 - 1910), filósofo norte-americano.
Dados os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1,
Lucas
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