Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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r =2
P = (0, 1, 1)
r = i + k
1
1
P = (1, 2, 1)
r = i + j + 2k,
2
2î
í
ì
î
í
ì
e
r =1 r =2
P = (0, 1, 2)
r = i + 2k
1
1
P = (2, 0, 1)
r = j - 2k,
2
2î
í
ì
î
í
ì
e
÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ=
9
19
,
9
5
-,2N;
9
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N:.spRe 21
÷
ø
ö
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11
,
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14
N:.spRe
6. ÁREA DE UM TRIÂNGULO
OBSERVAÇÃO:
A critério do professor os itens 6, 7 e 8 são dispensáveis.
a) Preliminares
® ®
Roteiro para o cálculo de k e k1 2
1)Multiplica-se escalarmente 3 por r ;
2)Multiplica-se escalarmente 3 por r ;
3) Resolve-se o sistema de duas equações do 1.º grau emk e k ;
4) Substitui-se k em 1 obtendo-se N . O k é substituído em 2
para se obter N .
Tendo-se N e N é útil enfatizar que N N = d (r , r ).
1
2
1 2
1 1 2
2
OBSERVAÇÃO:
1 2 1 2 1 2
7. ÁREA DA PROJEÇÃO ORTOGONAL
DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO
Pede-se a área da projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre
umplano , orientado pelo vetor n, ortogonal ao plano.
Então:
Na figura, o vetor (B' - A') representa o vetor soma dos vetores
(B' - B), (B - A) e (A - A'). Assim:
(B' - A') = (B' - B) + (B - A) + (A - A')
Analogamente para o vetor (C' - A'):
(C' - A') = (C' - C) + (C - A) + (A - A')
Então:
Aplicando ao 2.º membro a propriedade distributiva do produto
vetorial, observa-se a nulidade de 8 termos, resultando simplesmente o
termo (B - A) x (C - A), o qual é substituído em 1 :
a
(B' - A') x (C' - A') = [(B' - B) + (B - A) + (A - A')] x [(C' - C) + (C - A) + (A - A')]
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Depreende-se da figura que o volume do prisma de base ABC
equivale à metade do volume do paralelepípedo (V ) de base ABDC.
Numericamente, a área do triângulo ABC coincide com o volume
do prisma de base ABC, desde que o admitamos de altura unitária.
Portanto:
Consideremos um plano
determinado pelos pontos
A, B, C e orientado pelo vetor
n, unitário e a ele ortogonal.
Face o exposto decorre que:
A área do triângulo será positiva se os vértices ABC estiverem no
sentido anti-horário e negativa se os vértices ABC estiverem no sentido
horário. Assim, para umobservador postado ao longo de n, tem-se :
p
b) Área de umtriângulo num plano orientado
C) Convenção de sinal
a
pprisma V2
1
V =
1)h(paraV
2
1
S pABC ==
®
n
a
A
B
C
n.)AC(x)AB(
2
1
SABC --=
1n.)'A'C(x)'A'B(
2
1
S 'C'B'A --=
n.)AC(x)AB(
2
1
S 'C'B'A --=
®
n
a
A B
C
S > 0ABC
®
n
a
A
B
C
S < 0ABC
®
n
a
A\u2019
B\u2019
C\u2019
A
B
C
®
®
®
®
7. ÁREA DA PROJEÇÃO ORTOGONAL
DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO
Pede-se a área da projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre
umplano , orientado pelo vetor n, ortogonal ao plano.
Então:
Na figura, o vetor (B' - A') representa o vetor soma dos vetores
(B' - B), (B - A) e (A - A'). Assim:
(B' - A') = (B' - B) + (B - A) + (A - A')
Analogamente para o vetor (C' - A'):
(C' - A') = (C' - C) + (C - A) + (A - A')
Então:
Aplicando ao 2.º membro a propriedade distributiva do produto
vetorial, observa-se a nulidade de 8 termos, resultando simplesmente o
termo (B - A) x (C - A), o qual é substituído em 1 :
a
(B' - A') x (C' - A') = [(B' - B) + (B - A) + (A - A')] x [(C' - C) + (C - A) + (A - A')]
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Depreende-se da figura que o volume do prisma de base ABC
equivale à metade do volume do paralelepípedo (V ) de base ABDC.
Numericamente, a área do triângulo ABC coincide com o volume
do prisma de base ABC, desde que o admitamos de altura unitária.
Portanto:
Consideremos um plano
determinado pelos pontos
A, B, C e orientado pelo vetor
n, unitário e a ele ortogonal.
Face o exposto decorre que:
A área do triângulo será positiva se os vértices ABC estiverem no
sentido anti-horário e negativa se os vértices ABC estiverem no sentido
horário. Assim, para umobservador postado ao longo de n, tem-se :
p
b) Área de umtriângulo num plano orientado
C) Convenção de sinal
a
pprisma V2
1
V =
1)h(paraV
2
1
S pABC ==
®
n
a
A
B
C
n.)AC(x)AB(
2
1
SABC --=
1n.)'A'C(x)'A'B(
2
1
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n.)AC(x)AB(
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1
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n
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S > 0ABC
®
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A
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S < 0ABC
®
n
a
A\u2019
B\u2019
C\u2019
A
B
C
®
®
®
®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
que representa a fórmula da área da projeção ortogonal de um triângulo
sobre umplano orientado pelo vetor unitário n.
8. ÁREA DA PROJEÇÃO NÃO ORTOGONAL
DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO
Seja um plano orientado pelo vetor n, unitário e a ele ortogonal.
Procura-se a área da projeção do triângulo ABC sobre o plano , segundo a
direção do vetor v (representada na figura por A'B'C').
Tracemos um plano auxiliar , que seja normal ao vetor v. Con-
forme se infere da figura, A&quot;B&quot;C&quot; é a área da projeção ortogonal do
triângulo ABC, bem como do triângulo A'B'C' sobre .
Matematicamente, a área da:
proj ABC = A'B'C\u2019
a
a
b
b
b projb
Porém, do parágrafo anterior a área de:
donde:
m-se a igualda-
de:
Substituindo 2 em 1 :
lsolando , e emambos os membros cancelando | v |:
fórmula que fornece a área da projeção de um triângulo ABC, segundo a
direção do vetor v.
Vimos no produto externo que | u x v | = S e por conseqüência
(u x v) = (S )n, sendo n umvetor unitário. Por analogia te
S
ABC
ABC
A'B'C'
®
n
®
v
A
C
B
A\u201d
B\u201d
C\u201d
A\u2019
B\u2019
C\u2019
a
|v|
v
.)'A'C(x)'A'B(
2
1
'C'B'Aproj&quot;C&quot;B&quot;A
|v|
v
.)AC(x)AB(
2
1
ABCproj&quot;C&quot;B&quot;A
--==
--==
b
b
1
|v|
v
.)AC(x)AB(
2
1
|v|
v
.)'A'C(x)'A'B(
2
1
--=--
2)'A'C(x)'A'B(
2
1
)n(S C'B'A' --=
|v|
v
.)AC(x)AB(
2
1
|v|
v
.)n(S C'B'A' --=
v.n2
v.)AC(x)AB(
S C'B'A'
--=
®
®
2
1
2
1
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
que representa a fórmula da área da projeção ortogonal de um triângulo
sobre umplano orientado pelo vetor unitário n.
8. ÁREA DA PROJEÇÃO NÃO ORTOGONAL
DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO
Seja um plano orientado pelo vetor n, unitário e a ele ortogonal.
Procura-se a área da projeção do triângulo ABC sobre o plano , segundo a
direção do vetor v (representada na figura por A'B'C').
Tracemos um plano auxiliar , que seja normal ao vetor v. Con-
forme se infere da figura, A&quot;B&quot;C&quot; é a área da projeção ortogonal do
triângulo ABC, bem como do triângulo A'B'C' sobre .
Matematicamente, a área da:
proj ABC = A'B'C\u2019
a
a
b
b
b projb
Porém, do parágrafo anterior a área de:
donde:
m-se a igualda-
de:
Substituindo 2 em 1 :
lsolando , e emambos os membros cancelando | v |:
fórmula que fornece a área da projeção de um triângulo ABC, segundo a
direção do vetor v.
Vimos no produto externo que | u x v | = S e por conseqüência
(u x v) = (S )n, sendo n umvetor unitário. Por analogia te
S
ABC
ABC
A'B'C'
®
n
®
v
A
C
B
A\u201d
B\u201d
C\u201d
A\u2019
B\u2019
C\u2019
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2
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v
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2
1
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2)'A'C(x)'A'B(
2
1
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v
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2
1
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.)n(S C'B'A' --=
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2
1
2
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®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
f) a altura relativa a O (origem) do tetraedro OABC;
g) o pé da normal baixada de O (origem) sobre o plano ABC;
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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