Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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h) o volume do tetraedro OABC;
i) a área da projeção ortogonal de ABC sobre o plano orientado por
r = 2i + 2j + k e a ele ortogonal;
Resp.:
j) a área da projeção do triângulo ABC sobre o mesmo plano, mas
segundo a direção de v = 3i + 2j + k.
Resp.:
Resp.:
Resp.: N = (-1, -1, 1)
Resp.:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Exercícios
"A tragédia começa quando os dois acham que tem razão".
Shakespeare (1564-1616), dramaturgo e poeta inglês.
Conhecendo-se os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3) e
C = (1, 3, 4), calcular:
a) a área da projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano
orientado por u = i + j;
Resp.:
b) a área da projeção de ABC sobre o mesmo plano, porém
segundo a direção do vetor v = 2i + k.
Resp.:
Sejam os pontos A = (3, 0, 0), B = (2, 2, 1) e C = (1, 1, -1), deter-
minar:
a) a medida do lado a;
Resp.:
b) a medida do ângulo A;
c) a área do triângulo ABC;
d) a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC;
e) o pé da normal baixada de A sobre a reta BC;
01.
02.
Resp.: 60º
Resp.:
Resp.:
Resp.:
4
23
-
2
2
-
u.c.6
u.a.
2
33
u.c.
2
23
÷
ø
ö
ç
è
æ= 0,
2
3
,
2
3
N
u.c.3
u.v.
2
3
u.a.
2
3
-
u.a.
11
18
-
9. CO-SENOS DIRETORES DE UMVETOR
a) Parâmetros diretores
e os eixos cartesianos.
Na figura equivale aos
segmentos de medidas algé-
bricas:
OA = x;
OB = y;
OC = z.
São as projeções do vetor
v sobr
A
O
x
x
a
b y
B y
C
z
z
g P
f) a altura relativa a O (origem) do tetraedro OABC;
g) o pé da normal baixada de O (origem) sobre o plano ABC;
h) o volume do tetraedro OABC;
i) a área da projeção ortogonal de ABC sobre o plano orientado por
r = 2i + 2j + k e a ele ortogonal;
Resp.:
j) a área da projeção do triângulo ABC sobre o mesmo plano, mas
segundo a direção de v = 3i + 2j + k.
Resp.:
Resp.:
Resp.: N = (-1, -1, 1)
Resp.:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
Exercícios
"A tragédia começa quando os dois acham que tem razão".
Shakespeare (1564-1616), dramaturgo e poeta inglês.
Conhecendo-se os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3) e
C = (1, 3, 4), calcular:
a) a área da projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano
orientado por u = i + j;
Resp.:
b) a área da projeção de ABC sobre o mesmo plano, porém
segundo a direção do vetor v = 2i + k.
Resp.:
Sejam os pontos A = (3, 0, 0), B = (2, 2, 1) e C = (1, 1, -1), deter-
minar:
a) a medida do lado a;
Resp.:
b) a medida do ângulo A;
c) a área do triângulo ABC;
d) a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC;
e) o pé da normal baixada de A sobre a reta BC;
01.
02.
Resp.: 60º
Resp.:
Resp.:
Resp.:
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-
2
2
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u.c.6
u.a.
2
33
u.c.
2
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÷
ø
ö
ç
è
æ= 0,
2
3
,
2
3
N
u.c.3
u.v.
2
3
u.a.
2
3
-
u.a.
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9. CO-SENOS DIRETORES DE UMVETOR
a) Parâmetros diretores
e os eixos cartesianos.
Na figura equivale aos
segmentos de medidas algé-
bricas:
OA = x;
OB = y;
OC = z.
São as projeções do vetor
v sobr
A
O
x
x
a
b y
B y
C
z
z
g P
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
b) Ângulos diretores
c) Co-senos diretores
São as menores medidas dos ângulos , e que o vetor v forma
com os eixos cartesianos x, y e z, respectivamente.
Frize-se que 0
Os co-senos dos ângulos diretores são denominados co-senos
diretores, quais sejam: cos , cos , cos .
Das igualdades acima:
Relembramos que, quando se expressa v = xi + yj + zk os coefi-
cientes x, y e z são as medidas algébricas das projeções do vetor v sobre os
eixos cartesianos.
a b g
£ a, b, g £ p.
a b g
d) Teoremas
I) A soma dos quadrados dos co-senos diretores de qualquer vetor
é igual à unidade.
Dedução:
Então:
II) Os co-senos diretores de v são as coordenadas do versor de v.
Dedução:
Decorre desta última expressão que sempre que um vetor tem
nulo um coeficiente, tal vetor é ortogonal ao eixo homônimo da
coordenada faltante, pois se cos ø = 0, resulta que ø = 90º.
OBSERVAÇÃO:
OCP)retângulotriângulo(docos|v|zOC
OBP)retângulotriângulo(docos|v|yOB
OAP)retângulotriângulo(docos|v|xOA
:quefiguraase-Obtém
g==
b==
a==
222
222
222
zyx
z
|v|
z
cos
zyx
y
|v|
y
cos
zyx
x
|v|
x
cos
++
==g
++
==b
++
==a
2
222
2
222
2
222
222
zyx
z
zyx
y
zyx
x
coscoscos
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
=g+b+a
1
zyx
z
zyx
y
zyx
x
222
2
222
2
222
2
=
++
+
++
+
++
=
1coscoscos 222 =g+b+a
O vetor v tem a expressão cartesiana:
v = xi + yj + zk e módulo
| v | =
®
®
®
®
®
222 zyx ++
®
Seja v = xi + yj + zk um vetor; do item c, temos:
vers v = (cos )i + (cos )j + (cos )ka b g
k)(cosj)(cosi)(cos
k
|v|
z
j
|v|
y
i
|v|
x
|v|
zkyjxi
|v|
v
vvers
g+b+a=
++=
++
==
® ®
® ®
® ®
®
®
® ® ®
® ®
®
®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
b) Ângulos diretores
c) Co-senos diretores
São as menores medidas dos ângulos , e que o vetor v forma
com os eixos cartesianos x, y e z, respectivamente.
Frize-se que 0
Os co-senos dos ângulos diretores são denominados co-senos
diretores, quais sejam: cos , cos , cos .
Das igualdades acima:
Relembramos que, quando se expressa v = xi + yj + zk os coefi-
cientes x, y e z são as medidas algébricas das projeções do vetor v sobre os
eixos cartesianos.
a b g
£ a, b, g £ p.
a b g
d) Teoremas
I) A soma dos quadrados dos co-senos diretores de qualquer vetor
é igual à unidade.
Dedução:
Então:
II) Os co-senos diretores de v são as coordenadas do versor de v.
Dedução:
Decorre desta última expressão que sempre que um vetor tem
nulo um coeficiente, tal vetor é ortogonal ao eixo homônimo da
coordenada faltante, pois se cos ø = 0, resulta que ø = 90º.
OBSERVAÇÃO:
OCP)retângulotriângulo(docos|v|zOC
OBP)retângulotriângulo(docos|v|yOB
OAP)retângulotriângulo(docos|v|xOA
:quefiguraase-Obtém
g==
b==
a==
222
222
222
zyx
z
|v|
z
cos
zyx
y
|v|
y
cos
zyx
x
|v|
x
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++
==g
++
==b
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==a
2
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zyx
z
zyx
y
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++
=g+b+a
1
zyx
z
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y
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x
222
2
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2
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2
=
++
+
++
+
++
=
1coscoscos 222 =g+b+a
O vetor v tem a expressão cartesiana:
v = xi + yj + zk e módulo
| v | =
®
®
®
®
®
222 zyx ++
®
Seja v = xi + yj + zk um vetor; do item c, temos:
vers v = (cos )i + (cos )j + (cos )ka b g
k)(cosj)(cosi)(cos
k
|v|
z
j
|v|
y
i
|v|
x
|v|
zkyjxi
|v|
v
vvers
g+b+a=
++=
++
==
® ®
® ®
® ®
®
®
® ® ®
® ®
®
®
Exemplificando:
o vetor v = i + 2j
é perpendicular
ao eixo z.
III) Se v e v são dois vetores, cujos co-senos diretores são,
respectivamente, cos , cos , cos e cos , cos , cos , então o ân-
gulo entre v e v é dado por:
cos = cos cos + cos cos + cos cos
Demonstração:
donde:
1 2
1 2
a b g a b g
q
q a a
1 21 1 2 2
1 2 1 2 1 2b b g g
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
®
v
x
1
O
z
2
y
®
v1
®
v2
x
O
q
z
y
212121 coscoscoscoscoscoscos gg+bb+aa=q
Exercícios
"Há homens que lutam por um dia e são bons;
há outros que lutam
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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