Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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ao plano xy.
a) by + cz = 0 (com b . c 0)
Justificativa:
O plano by + cz = 0 além de
conter a origem (pois d = 0) é
paralelo ao eixo x, pois tem como
vetor normal o n = (0, b, c).
Analogamente, se:
b) ax + cz = 0 (com a . c 0)
c) ax + by = 0 (com a . b 0)
a) cz + d = 0 (com c . d 0)
Justificativa:
O plano cz + d = 0 tem como
vetor normal o n que é
paralelo ao eixo z. lsto posto, o
plano intercepta o eixo z e é
paralelo ao plano xy.
Þ ¹
Þ ¹
Þ ¹
Þ ¹
= (0, 0, c)
x
O
z
y
by + cz = 0
x
y
z
cz + d = 0
kz
c
d
z0dczSe =Þ
-
=Þ=+
ky
b
d-
y0dbySe =Þ=Þ=+
x
3
z
z = 3
y
x
y
z = 0
z
kx
a
d-
x0daxSe =Þ=Þ=+
OBSERVAÇÃO:
OBSERVAÇÃO:
OBSERVAÇÃO:
(que representa umplano paralelo
ao plano xy e intercepta o eixo z no ponto k). Em particular, z = 0 é a
equação do plano coordenado xy. Assim:
b) ax + d = 0 (com a . d 0)
. Emparticular, x = 0 é a equação
do plano coordenado yz.
c) by + d = 0 (com b . d 0)
. Emparticular, y = 0 representa o
plano coordenado xz.
b = c = 0
O plano é paralelo ao plano yz.
a = c = 0
O plano é paralelo ao plano xz.
Þ ¹
Þ ¹
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
EM RESUMO: O plano é sempre paralelo ao eixo da coordena-
da ausente.
3.º Caso:
a = d = 0
O plano conterá o eixo x.
b = d = 0
O plano conterá o eixo y.
c = d = 0
O plano conterá o eixo z.
4.º Caso:
a = b = 0
O plano é paralelo ao plano xy.
a) by + cz = 0 (com b . c 0)
Justificativa:
O plano by + cz = 0 além de
conter a origem (pois d = 0) é
paralelo ao eixo x, pois tem como
vetor normal o n = (0, b, c).
Analogamente, se:
b) ax + cz = 0 (com a . c 0)
c) ax + by = 0 (com a . b 0)
a) cz + d = 0 (com c . d 0)
Justificativa:
O plano cz + d = 0 tem como
vetor normal o n que é
paralelo ao eixo z. lsto posto, o
plano intercepta o eixo z e é
paralelo ao plano xy.
Þ ¹
Þ ¹
Þ ¹
Þ ¹
= (0, 0, c)
x
O
z
y
by + cz = 0
x
y
z
cz + d = 0
kz
c
d
z0dczSe =Þ
-
=Þ=+
ky
b
d-
y0dbySe =Þ=Þ=+
x
3
z
z = 3
y
x
y
z = 0
z
kx
a
d-
x0daxSe =Þ=Þ=+
OBSERVAÇÃO:
OBSERVAÇÃO:
OBSERVAÇÃO:
(que representa umplano paralelo
ao plano xy e intercepta o eixo z no ponto k). Em particular, z = 0 é a
equação do plano coordenado xy. Assim:
b) ax + d = 0 (com a . d 0)
. Emparticular, x = 0 é a equação
do plano coordenado yz.
c) by + d = 0 (com b . d 0)
. Emparticular, y = 0 representa o
plano coordenado xz.
b = c = 0
O plano é paralelo ao plano yz.
a = c = 0
O plano é paralelo ao plano xz.
Þ ¹
Þ ¹
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
EMRESUMO:
Se dois dos coeficientes das variáveis forem nulos, a
equação representa um plano paralelo ao plano das variáveis que não
figuram na equação.
N.B.:
Exemplo:
Indicar o posicionamento de cada plano em relação ao sistema
cartesiano:
a) 3x + y - 4z = 0 plano que passa pela origem.
b) 2x + 3z - 3 = 0 plano paralelo ao eixo y.
c) 4x + 3y = 0 plano que contém o eixo z.
d) x - 4z = 0 plano que contém o eixo y.
e) x - 3 = 0 plano paralelo ao plano yz.
No E a equação 2x + 3y - 6 = 0 representa uma reta.
Entretanto, no E tal equação representa umplano paralelo ao eixo z.
Þ
2
3
Þ
Þ
Þ
Þ
y
2
3 x
r: 2x + 3y \u2013 6 = 0 a: 2x + 3y \u2013 6 = 0
x
3
2 y
z
Exercícios
"Importa muito hoje que o candidato a uma vaga no mercado de
trabalho seja comunicativo, saiba trabalhar em grupo, tenha
conhecimento de uma especialidade e seja capaz de tomar
decisões."
Nilson José Machado (n. 1947), professor da USP, numa palestra em Curitiba.
Dado o plano : 2x + 3y + z - 3 = 0, pergunta-se se os pontos
A = (1, 1, - 2) e B = (2, 0, 1) pertencem a .
Resp.: A e .
a
a
Î a B Ï a
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
Obter a equação do plano que passa por P = (1, 2, 1) e
Q = (3, 1, -1) e seja paralelo ao eixo y.
Resp.: x + z - 2 = 0
Calcular a equação do plano passante por P = (1, 3, 3) e
paralelo ao plano xy.
Resp.: z - 3 = 0
Plano que contém o eixo x e o ponto A = (1, 3, 3).
Resp.: y - z = 0
Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos
A = (0, 1, 2) e B = (1, 3, 0) e seja paralelo ao eixo x.
Resp.: y + z - 3 = 0
Achar m para que o ponto A = (m, 1, 2) pertença ao plano
x + 2y - z + 5 = 0.
Resp.: m = - 5
Nas figuras abaixo, determine as equações dos planos, sa-
bendo-se que:
Resp.: a) : x - 2 = 0; b) : 2x - y = 0; c) : x + 2z - 4 = 0a1 2 3a a
x
2
z
y
a1
x
4
2
z
y
a3
x
z
y
a2
P = (2, 4, 2)
y.eixoaoparaleloéc)
z;eixoocontémePporpassab)
yz;planoaoparaleloé)a
3
2
1
a
a
a
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
EMRESUMO:
Se dois dos coeficientes das variáveis forem nulos, a
equação representa um plano paralelo ao plano das variáveis que não
figuram na equação.
N.B.:
Exemplo:
Indicar o posicionamento de cada plano em relação ao sistema
cartesiano:
a) 3x + y - 4z = 0 plano que passa pela origem.
b) 2x + 3z - 3 = 0 plano paralelo ao eixo y.
c) 4x + 3y = 0 plano que contém o eixo z.
d) x - 4z = 0 plano que contém o eixo y.
e) x - 3 = 0 plano paralelo ao plano yz.
No E a equação 2x + 3y - 6 = 0 representa uma reta.
Entretanto, no E tal equação representa umplano paralelo ao eixo z.
Þ
2
3
Þ
Þ
Þ
Þ
y
2
3 x
r: 2x + 3y \u2013 6 = 0 a: 2x + 3y \u2013 6 = 0
x
3
2 y
z
Exercícios
"Importa muito hoje que o candidato a uma vaga no mercado de
trabalho seja comunicativo, saiba trabalhar em grupo, tenha
conhecimento de uma especialidade e seja capaz de tomar
decisões."
Nilson José Machado (n. 1947), professor da USP, numa palestra em Curitiba.
Dado o plano : 2x + 3y + z - 3 = 0, pergunta-se se os pontos
A = (1, 1, - 2) e B = (2, 0, 1) pertencem a .
Resp.: A e .
a
a
Î a B Ï a
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
Obter a equação do plano que passa por P = (1, 2, 1) e
Q = (3, 1, -1) e seja paralelo ao eixo y.
Resp.: x + z - 2 = 0
Calcular a equação do plano passante por P = (1, 3, 3) e
paralelo ao plano xy.
Resp.: z - 3 = 0
Plano que contém o eixo x e o ponto A = (1, 3, 3).
Resp.: y - z = 0
Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos
A = (0, 1, 2) e B = (1, 3, 0) e seja paralelo ao eixo x.
Resp.: y + z - 3 = 0
Achar m para que o ponto A = (m, 1, 2) pertença ao plano
x + 2y - z + 5 = 0.
Resp.: m = - 5
Nas figuras abaixo, determine as equações dos planos, sa-
bendo-se que:
Resp.: a) : x - 2 = 0; b) : 2x - y = 0; c) : x + 2z - 4 = 0a1 2 3a a
x
2
z
y
a1
x
4
2
z
y
a3
x
z
y
a2
P = (2, 4, 2)
y.eixoaoparaleloéc)
z;eixoocontémePporpassab)
yz;planoaoparaleloé)a
3
2
1
a
a
a
7. PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS PLANOS
Então n e n são respectivamente os vetores normais aos planos
e e podem ser representados por:
1 2
1 2a a
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
08.
09.
Achar a equação do plano que passa pela origem e é
perpendicular ao vetor u = (2, -1, 3).
Resp.: 2x - y + 3z = 0
(VISSOTO LEITE) A figura abaixo representa um galpão. Os
números representam as dimensões do galpão. Determine:
a) equações dos planos que
contêm os telhados e
as paredes;
b) o volume do galpão.
Resp.:
a)
b) 2.160 u.v.
Série B
"Certas escolas têm cheiro de morte
por matarem a criatividade dos alunos."
Anônimo
0dzcybxa:
0dzcybxa:
:planososDados
22222
11111
=+++a
=+++a
x
A B
C
DE
F G
H
I
y
20
12
8
z
2 O
6
a) Condição de paralelismo
b) Condição de ortogonalidade
Os planos
paralelos se, e somente se, os
vetores o forem, isto
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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