Cálculo Vetorial e Geometria Analitica
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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica


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1. ELEMENTOS PRIMITIVOS
2. PONTO E RETA IMPRÓPRIOS
A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os
pontos, as retas e os planos.
PONTOS: letras latinasmaiúsculas.
Ex.: A, B, C ... P, Q ...
RETAS: letras latinasminúsculas.
Ex.: a, b, c ... r, s, t ...
PLANOS: letras gregas minúsculas.
Ex.: , , ... \u2026
Se duas retas r e s são
paralelas entre si, então elas têm a
mesma direção ou mesmo ponto
impróprio. O ponto impróprio da reta s
pode ser imaginado como o ponto no
infinito de s e é o mesmo para todas as
retas que são paralelas a s; será indicado por P .
Se dois planos e são
paralelos, então têm a mesma
jacência ou a mesma reta imprópria.
A reta imprópria de pode ser
imaginada como a reta no infinito
desse plano e é a mesma para todos
os planos paralelos a ; será indicada
por r .
Notação:
a) Ponto impróprio
b) Reta imprópria
a b g p
a b
a
a
¥
¥
r
s
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
5 in A quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0.
\u201cNa maior parte da ciências, assevera (1839-
1873), matemático alemão, uma geração põe abaixo o que a outra
construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na
Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga
estrutura\u201d.
rainha e a
serva de todas as ciências
"Um mundo de infinita harmonia"
Deus eternamente geometriza -
(5 em A quadrado e
9 emAplanomenos5éigualazero).
Como na formação de uma estrutura geológica, as descobertas
matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos.
Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e sim em
contínua evolução. As formulações inicialmente tênues e difusas percor-
rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol-
vimento.
Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a "
". E o apanágio de sua majestade é o rigor, a
lógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal e sincopada.
Após este epítome histórico, adentremos entusiasticamente ao
mundo maravilhoso da Geometria. , nas
palavras do poeta.
- Que faz Deus, pergunta o discípulo.
- responde sabiamente .
Herman Hankel
Platão
C A P Í T U L O
Noções preliminares
1. ELEMENTOS PRIMITIVOS
2. PONTO E RETA IMPRÓPRIOS
A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os
pontos, as retas e os planos.
PONTOS: letras latinasmaiúsculas.
Ex.: A, B, C ... P, Q ...
RETAS: letras latinasminúsculas.
Ex.: a, b, c ... r, s, t ...
PLANOS: letras gregas minúsculas.
Ex.: , , ... \u2026
Se duas retas r e s são
paralelas entre si, então elas têm a
mesma direção ou mesmo ponto
impróprio. O ponto impróprio da reta s
pode ser imaginado como o ponto no
infinito de s e é o mesmo para todas as
retas que são paralelas a s; será indicado por P .
Se dois planos e são
paralelos, então têm a mesma
jacência ou a mesma reta imprópria.
A reta imprópria de pode ser
imaginada como a reta no infinito
desse plano e é a mesma para todos
os planos paralelos a ; será indicada
por r .
Notação:
a) Ponto impróprio
b) Reta imprópria
a b g p
a b
a
a
¥
¥
r
s
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
O PROFESSOR ARREPENDIDO
Histórias pitorescas sempre têm um pouco de
fantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem-
sucedidos.
Conta-se que na Universidade de Harvard havia um
professor deMatemática extremamente rigoroso.
Na última avaliação do ano, elaborou uma prova muito
difícil e lançou um desafio a seus alunos: "se um de vocês tirar
nota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e serei
seu assessor".
Era seu aluno um
fedelho de 17 anos, no entanto,
brilhante nessa disciplina, con-
siderada a "rainha e serva de
todas as ciências". Obteve nota
9,5.
Até hoje, o nosso caro
professor lamenta ter sido tão
exigente. Perdeu a oportunida-
de de se tornar um dos homens
mais ricos do Planeta. Em
tempo: o aluno se chamava Bill
Gates.
História de uso corrente.
Texto do autor.
O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO
Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428
a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muito
avançadas para a época, afirmara que o Sol não era uma
divindade,masumagrandepedraincandescente,maior que o
Peloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinha
luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de
Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais,
exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos:
Sócrates, Platão, Aristóteles.
dado um
círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os
gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam
a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem
escala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se que
nestas condições este problema é irresolúvel.
A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da
Álgebra:
S = S
R = . Admitindo por ex. R = 3
(3) =
Problema da Quadratura do Círculo:
p
p
2 2
2 2
l
l
=
5,31ou3 =p= ll
p= Rl
R
OBSERVAÇÃO:
Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim,
duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio).
Analogamente, dois planos concorrentes se interceptam segundo
uma reta (própria).
Cada reta própria tem um único ponto impróprio. Em cada plano
existe uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituída
exclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têm
em comum um único ponto impróprio. Todos os pontos e retas
impróprios do espaço pertencem a um único plano impróprio.
z
x
y
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi
O PROFESSOR ARREPENDIDO
Histórias pitorescas sempre têm um pouco de
fantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem-
sucedidos.
Conta-se que na Universidade de Harvard havia um
professor deMatemática extremamente rigoroso.
Na última avaliação do ano, elaborou uma prova muito
difícil e lançou um desafio a seus alunos: "se um de vocês tirar
nota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e serei
seu assessor".
Era seu aluno um
fedelho de 17 anos, no entanto,
brilhante nessa disciplina, con-
siderada a "rainha e serva de
todas as ciências". Obteve nota
9,5.
Até hoje, o nosso caro
professor lamenta ter sido tão
exigente. Perdeu a oportunida-
de de se tornar um dos homens
mais ricos do Planeta. Em
tempo: o aluno se chamava Bill
Gates.
História de uso corrente.
Texto do autor.
O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO
Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428
a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muito
avançadas para a época, afirmara que o Sol não era uma
divindade,masumagrandepedraincandescente,maior que o
Peloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinha
luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de
Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais,
exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos:
Sócrates, Platão, Aristóteles.
dado um
círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os
gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam
a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem
escala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se que
nestas condições este problema é irresolúvel.
A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da
Álgebra:
S = S
R = . Admitindo por ex. R = 3
(3) =
Problema da Quadratura do Círculo:
p
p
2 2
2 2
l
l
=
5,31ou3 =p= ll
p= Rl
R
OBSERVAÇÃO:
Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim,
duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio).
Analogamente, dois planos concorrentes se interceptam segundo
uma reta (própria).
Cada reta própria tem um único ponto impróprio. Em cada plano
existe uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituída
exclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têm
em comum um único
Lucas
Lucas fez um comentário
Onde fica a resolução ??
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