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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
Prof. Dr. Daniel Caetano 
2012 - 2 
MOMENTO DE INÉRCIA 
Objetivos 
\u2022 Apresentar os conceitos: 
\u2013 Momento de inércia 
\u2013 Momento polar de inércia 
\u2013 Produto de Inércia 
\u2013 Eixos Principais de Inércia 
\u2022 Calcular propriedades 
geométricas com relação a 
quaisquer eixos 
\u2022 Determinar os eixos principais e 
calcular os momentos principais 
de inércia 
 
Material de Estudo 
Material Acesso ao Material 
Notas de Aula http://www.caetano.eng.br/ 
(Aula 2) 
Apresentação http://www.caetano.eng.br/ 
(Aula 2) 
Material Didático Resistência dos Materiais (Beer, Johnston, Dewolf), 
páginas 728 a 732 
Resistência dos 
Materiais (Hibbeler) 
Biblioteca Virtual, páginas 570 a 576. 
RELEMBRANDO: 
A FORMA DÁ O TOM 
Características das Figuras Planas 
\u2022 Perímetro 
\u2022 Área 
\u2022 Momento Estático \u2192 cálculo do centróide 
\u2022 Momento de Inércia... 
\u2013 Mas antes, vamos relembrar um pouco! 
Momento Estático 
\u2022 Cálculo do Momento Estático 
 
\ud835\udc46\ud835\udc65 = \ud835\udc66 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
\ud835\udc46\ud835\udc66 = \ud835\udc65 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
 
 
 
Momentos Estáticos 
y 
h 
b 
x 
\ud835\udc46\ud835\udc65 = 
\ud835\udc4f \u2219 \u210e2
2
 \ud835\udc46\ud835\udc66 = 
\u210e \u2219 \ud835\udc4f2
2
 
y 
h 
b 
x 
\ud835\udc46\ud835\udc65 = 
\ud835\udc4f \u2219 \u210e2
6
 \ud835\udc46\ud835\udc66 = 
\u210e \u2219 \ud835\udc4f2
6
 
r 
x 
\ud835\udc46\ud835\udc65 = \ud835\udf0b \u2219 \ud835\udc5f
3 \ud835\udc46\ud835\udc66 = 0 
y 
Distância ao Centro de Gravidade 
y 
h 
b 
x 
\ud835\udc66 = \ud835\udc66\ud835\udc54 = 
\u210e
2
 \ud835\udc65 = \ud835\udc65\ud835\udc54 = 
\ud835\udc4f
2
 
y 
h 
b 
x 
r 
x 
y 
\ud835\udc66 = \ud835\udc66\ud835\udc54 = 
\u210e
3
 \ud835\udc65 = \ud835\udc65\ud835\udc54 =
\ud835\udc4f
3
 
\ud835\udc66 = \ud835\udc66\ud835\udc54 = \ud835\udc5f \ud835\udc65 = \ud835\udc65\ud835\udc54 = 0 
Distância ao Centro de Gravidade 
r 
x 
y 
\ud835\udc66 = \ud835\udc66\ud835\udc54 =
4 \u2219 \ud835\udc5f
3 \u2219 \ud835\udf0b
 \ud835\udc65 = \ud835\udc65\ud835\udc54 = 0 
r 
x 
y 
\ud835\udc66 = \ud835\udc66\ud835\udc54 =
4 \u2219 \ud835\udc5f
3 \u2219 \ud835\udf0b
 \ud835\udc65 = \ud835\udc65\ud835\udc54 =
4 \u2219 \ud835\udc5f
3 \u2219 \ud835\udf0b
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
Momento de Inércia 
\u2022 Momento Estático (ou de 1ª Ordem) 
\u2013 S = A \u2219 d 
\u2013 Mede ação da distribuição de massa de um corpo 
 
\u2022 Momento de Inércia (ou de 2ª Ordem) 
\u2013 Mede a inércia de um corpo 
\u2013 Resistência a ser colocado em movimento 
\u2013 Massa x Momento de Inércia 
\u2013 I = A \u2219 d2 
 
Momento de Inércia 
\u2022 Cálculo do Momento Retangular de Inércia 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc66 = \ud835\udc65
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
\u2022 Sempre positivos! \u2192 Unidade I = [L4] 
 
 
 
Momento de Inércia 
\u2022 Exemplo 
 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
= \ud835\udc662 \u2219 \ud835\udc4f \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e
0
=
\ud835\udc4f \u2219 \u210e3
3
 
 
 
 
y 
h 
b 
x 
dA 
dy 
y 
A2 
Momento de Inércia 
\u2022 Se houvesse duas áreas, resultado igual 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc341
+ \ud835\udc662 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc342
= \ud835\udc662 \u2219
\ud835\udc4f
2
\u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e
0
+ \ud835\udc662 \u2219
\ud835\udc4f
2
\u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e
0
= 
 
 =
\ud835\udc4f \u2219 \u210e3
6
+
\ud835\udc4f \u2219 \u210e3
6
= 
\ud835\udc83 \u2219 \ud835\udc89\ud835\udfd1
\ud835\udfd1
 
 
 
A1 
y 
h 
b 
x 
\u2022 Outro Exemplo 
 dA = f(y) \u2219 dy 
 f(y) = \ud835\udc4f \u2212
\ud835\udc4f\u2219\ud835\udc66
\u210e
 
 
 
\ud835\udc46\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
= \ud835\udc662 \u2219 (\ud835\udc4f \u2212
\ud835\udc4f \u2219 \ud835\udc66
\u210e
) \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e
0
= (\ud835\udc4f \u2219 \ud835\udc662 \u2212
\ud835\udc4f \u2219 \ud835\udc663
\u210e
) \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e
0
=
\ud835\udc4f \u2219 \u210e3
12
 
 
 
 
Momento de Inércia 
y 
h 
b x 
dA 
dy 
f(y) 
\u2022 E nesse outro caso? 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc341
+ \ud835\udc662 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc342
= 
\ud835\udc83\ud835\udfcf \u2219 \ud835\udc89\ud835\udfd1
\ud835\udfd2
+
\ud835\udc83\ud835\udfd0 \u2219 \ud835\udc89\ud835\udfd1
\ud835\udfcf\ud835\udfd0
 
A2 
Momento Estático 
A1 
y 
h 
b2 
x 
b1 
EIXO CENTRAL DE INÉRCIA 
Eixo Central de Inércia 
\u2022 Eixo Central de Inércia 
\u2013 Passa pelo centróide do corpo 
\u2022 Exemplo 
 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
= \ud835\udc662 \u2219 \ud835\udc4f \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e/2
\u2212\u210e/2
=
\ud835\udc4f \u2219 \u210e3
12
 
 
 
 
 
y 
h/2 
b 
x 
dA 
dy 
h/2 
Eixo Central de Inércia 
\u2022 Eixo Central de Inércia 
\u2013 Passa pelo centróide do corpo 
\u2022 Exemplo 
 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
= \ud835\udc662 \u2219 \ud835\udc4f \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc66
\u210e/2
\u2212\u210e/2
=
\ud835\udc4f \u2219 \u210e3
12
 
 
 
 
 
y 
h/2 
b 
x 
dA 
dy 
h/2 
O eixo central, dentre 
os paralelos a ele, é o 
eixo de menor inércia 
MOMENTO POLAR DE 
INÉRCIA 
Momento Polar de Inércia 
\u2022 Cálculo do Momento Polar de Inércia 
 
\ud835\udc3d\ud835\udc42 = \ud835\udf0c
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
\u2022 Inércia relativa a um ponto 
\u2022 Importante nas torções 
\u2022 Sempre positivo! \u2192 Unidade J = [L4] 
 
\u2022 Exemplo 
 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3d\ud835\udc42 = \ud835\udf0c
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
= \ud835\udf0c2 \u2219 2 \u2219 \ud835\udf0b \u2219 \ud835\udf0c \u2219 \ud835\udc51\ud835\udf0c
\ud835\udc5f
0
=
\ud835\udf0b \u2219 \ud835\udc5f4
2
 
 
 
 
Momento de Inércia 
y 
\u3c1 
x 
dA 
d\u3c1 
 r O 
Momento Polar de Inércia 
\u2022 Relação com Momento de Inércia 
 
 
 
 
 
 
\ud835\udf0c2 = \ud835\udc652 + \ud835\udc662 \ud835\udc3d\ud835\udc42 = (\ud835\udc65
2 + \ud835\udc662) \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
y 
\u3c1 
x 
x 
O 
y 
Momento Polar de Inércia 
\u2022 Relação com Momento de Inércia 
\ud835\udc3d\ud835\udc42 = (\ud835\udc65
2 + \ud835\udc662) \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
\ud835\udc3d\ud835\udc42 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
+ \ud835\udc652 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
 
\ud835\udc71\ud835\udc76 = \ud835\udc70\ud835\udc99 + \ud835\udc70\ud835\udc9a 
 
 
PRODUTO DE INÉRCIA 
Produto de Inércia 
\u2022 Se isso é momento de inércia... 
\ud835\udc3c\ud835\udc65 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
\ud835\udc3c\ud835\udc66 = \ud835\udc65
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
\u2022 O que seria isso? 
\ud835\udc3c\ud835\udc65\ud835\udc66 = \ud835\udc65 \u2219 \ud835\udc66 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
Produto de Inércia 
\u2022 Produto de Inércia: será usado depois 
\ud835\udc3c\ud835\udc65\ud835\udc66 = \ud835\udc65 \u2219 \ud835\udc66 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
\u2022 Pode ser positivo ou negativo \u2192 [Ixy] = m
4 
 
x 
y 
Ixy < 0 Ixy > 0 
Ixy < 0 Ixy > 0 
Produto de Inércia 
\u2022 Produto de Inércia: será usado depois 
\ud835\udc3c\ud835\udc65\ud835\udc66 = \ud835\udc65 \u2219 \ud835\udc66 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
\u2022 Pode ser positivo ou negativo \u2192 [Ixy] = m
4 
 
x 
y 
Ixy < 0 Ixy > 0 
Ixy < 0 Ixy > 0 
Quando um dos eixos 
é de simetria, o 
produto de inércia será 
sempre ZERO! 
TRANSLAÇÃO DE EIXO NO 
MOMENTO DE INÉRCIA 
Translação de Eixos 
\u2022 Momento de Inércia (Ix conhecido) 
 
 
 
 
 
 
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65\u2032 = (\ud835\udc66 + \ud835\udc51)
2\u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
 
y 
h 
b 
x 
x\u2019 
y 
d 
Translação de Eixos 
\u2022 Momento de Inércia (Ix conhecido) 
\ud835\udc3c\ud835\udc65\u2032 = (\ud835\udc66 + \ud835\udc51)
2\u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
\ud835\udc3c\ud835\udc65\u2032 = \ud835\udc66
2 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
+ 2 \u2219 \ud835\udc51 \u2219 \ud835\udc66 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
+ \ud835\udc512 \u2219 \ud835\udc51\ud835\udc34
\ud835\udc34
 
 
\ud835\udc70\ud835\udc99\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc99 + \ud835\udfd0 \u2219 \ud835\udc85 \u2219 \ud835\udc7a\ud835\udc99 + \ud835\udc85
\ud835\udfd0 \u2219 \ud835\udc68 
 
\u2022 Se x era o eixo que passa pelo centróide... 
 
\ud835\udc70\ud835\udc99\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc99 + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85
\ud835\udfd0 
 
 
Translação de Eixos 
\u2022 Analogamente, para x e y passando pelo 
centróide 
 
\ud835\udc70\ud835\udc99\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc99 + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85
\ud835\udfd0 
\ud835\udc70\ud835\udc9a\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc9a + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85
\ud835\udfd0 
 
\u2022 Como Ix e Iy \u2192 eixos centrais, d \u2192 positivo 
\u2022 E também... se O é o centróide... 
 
\ud835\udc71\ud835\udc76\u2032 = \ud835\udc71\ud835\udc76 + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85
\ud835\udfd0 
 
 
 
 
 
\u2022 Calcular Ix 
 
 
 
 
 
 
6 
7 
4 
4 
Exercício 
x 
1,5 
\u2022 Calcular Ix - medidas em metros 
 
 
 
 
\u2022 Ix = IA1x + IA2x + IA3x 
\u2022 Ix = 
\ud835\udc4f1\u2219\u210e13
3
+
\ud835\udc4f2\u2219\u210e23
12
+\ud835\udc4f2 \u2219 \u210e2 \u2219 \ud835\udc512 +
\ud835\udc4f3\u2219\u210e33
3 
\u2022 Ix = 
1,5\u221963
3
+ 4\u22192
3
12
\u2219 4 \u2219 2 \u2219 52 +
1,5\u221963
3
 = 749,3 m4 
A2 
A1 
6 
7 
A3 4 
4 
Exercício 
x 
1,5 
5 
TRANSLAÇÃO DE EIXO NO 
PRODUTO DE INÉRCIA 
Translação de Eixos 
\u2022 Pode-se demonstrar que se os eixos passam 
pelo centróide, isso é válido... 
 
\ud835\udc70\ud835\udc99\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc99 + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85
\ud835\udfd0 
\ud835\udc70\ud835\udc9a\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc9a + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85
\ud835\udfd0 
 
\u2022 Da mesma forma deduz-se que... 
 
\ud835\udc70\ud835\udc99\ud835\udc9a\u2032 = \ud835\udc70\ud835\udc99\ud835\udc9a + \ud835\udc68 \u2219 \ud835\udc85\ud835\udc99 \u2219 \ud835\udc85\ud835\udc9a 
 
 
 
 
 
\u2022 Calcular Ixy 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
x 
y 
250mm 
100mm 
400mm 
\u2022 Calcular Ixy 
 
 
 
\u2022 IA2xy = 0 
\u2022 IA1xy = IA1x\u2019y\u2019 +A1\u2219dx\u2219dy 
 = 0 + 300 \u2219100 \u2219 (-250) \u2219200 = -1,5 \u2219109 mm4 
\u2022 IA3xy = IA3x\u2019\u2019y\u2019\u2019 +A3\u2219dx\u2219dy 
 = 0 + 300 \u2219100 \u2219 250 \u2219(-200) = -1,5 \u2219109 mm4 
 
 
Exercício 
x 
y 
250mm 
100mm 
400mm 
A
1 
A
3 
A2 
X\u2019 
Y\u2019 
\u2022 Calcular Ixy 
 
 
 
 
\u2022 Ixy = IA1xy +IA2xy +IA3xy = 
 = 0 -1,5