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MAT1162 - Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
Lista de Exerc´\u131cios para P1
Per´\u131odo 2011.2
Exerc´\u131cios do 1o Livro-Texto
1. Cap´\u131tulo 3 \u2014 Gra´ficos e Conjuntos de N\u131´vel
Exerc´\u131cios: todos
2. Cap´\u131tulo 5 \u2014 Derivadas Parciais de Primeira Ordem
Exerc´\u131cios: 1, 2, 3, 11, 12 e 13
3. Cap´\u131tulo 6 \u2014 Curvas Parametrizadas
Exerc´\u131cios: 1 a 17
4. Cap´\u131tulo 7 \u2014 Aproximac¸o\u2dces Lineares (Fo´rmula de Taylor de Ordem 1)
Exerc´\u131cios: 1 a 6
5. Cap´\u131tulo 7 \u2014 Regra da Cadeia
Exerc´\u131cios: 9 a 17 e 23 a 28
6. Cap´\u131tulo 8 \u2014 Gradientes e Derivadas Direcionais
Exerc´\u131cios: todos
Exerc´\u131cios de Fixac¸a\u2dco
O (*) indica um exerc´\u131cio um pouco mais dif´\u131cil. Pore´m, nenhum e´ inacess´\u131vel.
Exerc´\u131cio 1
Esboce as curvas planas abaixo. Diga se sa\u2dco gra´ficos de func¸o\u2dces y = y(x), x = x(y), ou nem
um nem outro. Quando for poss´\u131vel, tente explicitar a func¸a\u2dco cujo gra´fico e´ a curva dada.
1. x+ y = 1.
2. x = \u22121.
3. y \u2212 x2 = 2.
4. y2 = ln(x).
5. x2 + (y \u2212 1)2 = 4.
6. y = 1 +
\u221a
4\u2212 x2.
7. y = 1\u2212\u221a4\u2212 x2.
8. y5 + y = x.
1
Exerc´\u131cio 2
Esboce o gra´fico das seguintes co\u2c6nicas:
1. (x+ 1)2 + 3(y + 2)2 = 1
2. y \u2212 1 = (x\u2212 3)2
3. x
2
4 \u2212 (y + 2)2 = 1
4. x2 + x+ y2 + 2y = 0
5. 3x2 + 12x+ y2 = 8
6. x2 \u2212 2x\u2212 y2 + y = 2
Exerc´\u131cio 3
Determine a equac¸a\u2dco das co\u2c6nicas abaixo:
1. hipe´rbole centrada na origem com eixo principal horizontal e de comprimento 4, e com
ass´\u131ntotas fazendo um a\u2c6ngulo de 450 com o eixo x.
2. elipse centrada no ponto (1,\u22121), eixo maior 6 e eixo menor 2, na direc¸a\u2dco dos eixos y e x,
respectivamente.
3. para´bola centrada no ponto (\u22121, 1) e tendo como diretriz a reta x = 0.
Exerc´\u131cio 4
Intersectando-se o cone x2 + y2 = z2 por um plano obtemos uma co\u2c6nica. Identifique a co\u2c6nica
em cada caso:
1. z \u2212 3y = 6
2. 2z = y \u2212 1
3. z = y + 1
4. z = 2
Exerc´\u131cio 5
Trace as sec¸o\u2dces co\u2c6nicas degeneradas abaixo:
1. x2 \u2212 2xy + y2 = 0
2. (*)
\u221a
3x2 \u2212 2xy \u2212\u221a3y2 = 0.
3. x2 + 14y
2 \u2212 2x\u2212 y + 2 = 0.
Exerc´\u131cio 6
Prove que as retas y = ± bax sa\u2dco ass´\u131ntotas da hipe´rbole
x2
a2
\u2212 y
2
b2
= 1.
(Sugesta\u2dco: Reescreva a equac¸a\u2dco da hipe´rbole na forma x
2
y2 =
a2
b2 +
a2
y2 .)
2
Exerc´\u131cio 7
Considere a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
e sejam Ca e Cb c´\u131rculos centrados na origem de raios a e b, respectivamente. Sejam pa e pb a
intersec¸a\u2dco de uma semi-reta que parte da origem com Ca e Cb, respectivamente. Mostre que a reta
horizontal que passa por pa intersecta a reta vertical que passa por pb em um ponto da elipse.
Exerc´\u131cio 8
Esboce as superf´\u131cies em R3 definidas pelas equac¸o\u2dces abaixo:
1. x2 + y2 + (z \u2212 2)2 = 5.
2. x2 + y2 = 1.
3. x+ 2y + 3z = 1.
4. x+ y = 1.
5. z = 1.
Exerc´\u131cio 9
Ache a equac¸a\u2dco das retas tangentes a`s curvas abaixo nos pontos indicados:
1. exp (x\u2212 y2) = 1, P = (4, 2).
2. xy3 + 6x2y = \u22127, P = (1,\u22121).
3. x3y2 = 8, P = (2, 1).
4. cos (x+ y) = 12 , P = (
pi
3 , 0).
Exerc´\u131cio 10
Calcule o a\u2c6ngulo entre o par de co\u2c6nicas no ponto dado:
1. y = 2x2 e x2 + 2y2 = 9, P = (1, 2).
2. xy = \u22122 e y2 = \u22124x, P = (\u22121, 2).
3. x2 + y2 = 8 e 3x2 \u2212 y2 = 8, P = (2, 2).
Exerc´\u131cio 11
Mostre que a fam\u131´lia de para´bolas y = Ax2 e´ ortogonal a fam\u131´lia de elipses x2 + 2y2 = B.
Exerc´\u131cio 12
Ache as equac¸o\u2dces das retas tangentes a elipse x
2
16 +
y2
9 = 1 paralelas a reta x+ y = 0.
Exerc´\u131cio 13
Ache as equac¸o\u2dces das retas normais a hipe´rbole xy = 1 e paralelas ao vetor (1, 2).
3
Exerc´\u131cio 14
Ache um vetor normal e a equac¸a\u2dco dos planos tangentes a`s superf´\u131cies abaixo nos pontos
indicados:
1. xyz = 8, p = (1, 1, 8).
2. x2y2 + y \u2212 z + 1 = 0, p = (0, 0, 1).
3. cos (xy) = ez \u2212 2, p = (1, pi, 0).
4. exp (xyz) = e, p = (1, 1, 1).
Exerc´\u131cio 15
Seja f : R3 \u2192 R definida por:
f(x, y, z) = ln
\u221a
x2 + y2
z
1. Fac¸a um esboc¸o da superf´\u131cie de n´\u131vel que conte´m o ponto (1, 1, 2) da func¸a\u2dco acima.
2. Determine a equac¸a\u2dco do plano tangente a` superf´\u131cie acima no ponto (1, 1, 2).
Exerc´\u131cio 16
Considere a superf´\u131cie qua´drica S de equac¸a\u2dco
x2 + xy \u2212 y2 + 4z = 2.
1. Determine o ponto p de S no qual o plano tangente e´ perpendicular a reta L de equac¸a\u2dco
r(t) = (1\u2212 t,\u22123t, 2t+ 1), t \u2208 R.
2. Escreva a equac¸a\u2dco da reta normal a S paralela a L e passando por p.
Exerc´\u131cio 17
Considere o elipso´ide x2 + 2y2 + 3z2 = 21. Encontre as equac¸o\u2dces dos planos tangentes a esta
superf´\u131cie que sa\u2dco paralelos ao plano x+ 4y + 6z = 30.
Exerc´\u131cio 18
A esfera x2 + y2 + z2 = 3 e o cilindro circular x2 + 2x+ y2 = 4 se interceptam em uma curva
C que conte´m o ponto (1, 1, 1). Encontre equac¸o\u2dces parame´tricas da reta tangente a C em (1, 1, 1).
Exerc´\u131cio 19
Encontre uma equac¸a\u2dco parame´trica da reta tangente a curva intersec¸a\u2dco do parabolo´ide el´\u131ptico
z = 2x2 + 3y2 com o cilindro hiperbo´lico 2x2 \u2212 y2 = 1, x \u2265 0, no ponto (1,\u22121, 5).
4
Exerc´\u131cio 20
(*) Excentricidade de uma co\u2c6nica: Dada uma co\u2c6nica qualquer, o nu´mero e = ca e´ chamado
excentricidade da co\u2c6nica. No caso de uma circunfere\u2c6ncia, e = 0, no caso de uma elipse, 0 < e < 1,
e no caso de uma hipe´rbole e > 1. No caso de uma para´bola definimos a excentricidade como sendo
1.
1. Seja l uma reta perpendicular ao eixo maior de uma elipse E, a uma dista\u2c6ncia ae do seu
centro, e seja F o foco de E mais pro´ximo de l. Mostre que a raza\u2dco entre as dista\u2c6ncias de
um ponto de E ao foco F e a reta l e´ constante e igual a e. A reta l e´ chamada diretriz da
elipse.
2. Seja l uma reta perpendicular ao eixo de uma hipe´rbole H, a uma dista\u2c6ncia ae do seu centro,
e seja F o foco de H mais pro´ximo de l. Mostre que a raza\u2dco entre as dista\u2c6ncias de um
ponto de H ao foco F e a reta l e´ constante e igual a e. A reta l e´ chamada diretriz da
hipe´rbole.
Exerc´\u131cio 21
(*) Considere uma co\u2c6nica de excentricidade e e dista\u2c6ncia p entre o foco e a diretriz. Suponha
que a origem do sistema de coordenadas coincida com o foco da co\u2c6nica e que a diretriz esteja
perpendicular ao eixo x. Mostre que a equac¸a\u2dco polar dessa co\u2c6nica e´
r =
ep
1\u2212 e cos \u3b8
Exerc´\u131cio 22
(*) Considere as co\u2c6nicas C1 e C2 cujas equac¸o\u2dces sa\u2dco x
2 + y2 \u2212 1 = 0 e x2 + y2 \u2212 10x+ 9 = 0.
1. Esboce as co\u2c6nicas C1 e C2.
2. Determine os coeficientes angulares das retas tangentes comuns a C1 e C2.
3. Determine as equac¸o\u2dces de todas as retas tangentes comuns a C1 e C2.
Exerc´\u131cio 23
(*) Reflexa\u2dco de uma reta focal em uma co\u2c6nica:
1. Mostre que a reta normal a elipse em um ponto e´ bissetriz do a\u2c6ngulo formado pelos seg-
mentos que unem esse ponto aos focos.
2. Mostre que a reta tangente a hipe´rbole em um ponto e´ bissetriz do a\u2c6ngulo formado pelos
segmentos que unem esse ponto aos focos.
3. Mostre que a reta normal a para´bola em um ponto e´ bissetriz do a\u2c6ngulo formado pela
perpendicular a diretriz passando pelo ponto e pelo segmento que une esse ponto ao foco.
5
Exerc´\u131cios Complementares
Exerc´\u131cio 24
Considere a co\u2c6nica descrita pela equac¸a\u2dco
x2 \u2212 4x+ 2y2 = 0.
1. Fac¸a um esboc¸o da co\u2c6nica, indicando seus para\u2c6metros (no caso de ser uma elipse ou uma
hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser uma para´bola, a dista\u2c6ncia entre o foco e a diretriz).
2. Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` co\u2c6nica no ponto (0, 0).
3. Encontre dois pontos da co\u2c6nica, para os quais a reta tangente a` mesma fac¸a um a\u2c6ngulo de
pi
4 com o eixo x.
Exerc´\u131cio 25
Considere as co\u2c6nica C1, descrita pela equac¸a\u2dco
x2 \u2212 y2 = 3,
e a co\u2c6nica C2, descrita pela equac¸a\u2dco
(x\u2212 3)2
9
+
8y2
9
= 1.
1. Fac¸a um esboc¸o das co\u2c6nicas, indicando seus para\u2c6metros (no caso de ser uma elipse ou uma
hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser uma para´bola, a dista\u2c6ncia entre o foco e a diretriz).
2. Encontre as equac¸o\u2dces das retas tangentes a`s co\u2c6nicas C1 e C2 no ponto (2, 1).
3. Qual o a\u2c6ngulo formado pelas retas tangentes a`s co\u2c6nicas C1 e C2 no ponto (2, 1)?
Exerc´\u131cio 26
Considere a co\u2c6nica C descrita pela equac¸a\u2dco
x2 \u2212 4x\u2212 y = 0.
1. Fac¸a um esboc¸o da co\u2c6nica, indicando seus para\u2c6metros (no caso de ser uma elipse ou uma
hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser uma para´bola, a dista\u2c6ncia entre o foco e a diretriz).
2. Encontre a equac¸a\u2dco da reta