mat1162_lista_p1_2011_2-1
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DisciplinaCálculo II28.818 materiais769.337 seguidores
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tangente a` co\u2c6nica no ponto (0, 0).
3. Encontre 1 ponto da co\u2c6nica para os quais a reta tangente a C seja paralela a` reta y = 3x.
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Exerc´\u131cio 27
Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = y2 \u2212 3x.
1. Esboce em um mesmo mapa as curvas de n´\u131vel 1, 2 e 3 de f .
2. Denote por C a curva de n´\u131vel 1 de f . Encontre um ponto em C tal que a reta tangente a`
C neste ponto fac¸a um a\u2c6ngulo pi4 com o eixo x.
3. Descreva uma equac¸a\u2dco parame´trica para a reta tangente a` C no ponto encontrado no item
anterior.
Exerc´\u131cio 28
Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = x2 + 3y2 \u2212 2x.
1. Esboce em um mesmo mapa as curvas de n´\u131vel 2, 3 e 4 da func¸a\u2dco f .
2. Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a curva C obtida pela intersec¸a\u2dco do gra´fico da func¸a\u2dco
f com o plano x = 2y.
3. Encontre uma equac¸a\u2dco parame´trica para a reta tangente a C no ponto (2, 1, 3).
Exerc´\u131cio 29
Dada a func¸a\u2dco f(x, y, z) = exp(z) sin(x+ 2y), calcule:
1. O gradiente de f no ponto ~p = (pi2 ,
pi
4 , 0).
2. A derivada direcional de f , no ponto ~p = (pi2 ,
pi
4 , 0) , na direc¸a\u2dco do vetor ~v = (
\u221a
3
3 ,
\u221a
3
3 ,
\u221a
3
3 ).
3. A equac¸a\u2dco do plano tangente a` superf´\u131cie de n´\u131vel de f que passa pelo ponto ~p = (pi2 ,
pi
4 , 0).
Exerc´\u131cio 30
Considere a func¸a\u2dco
g(x, y) = ln(y \u2212 2x2).
1. Descreva e fac¸a um esboc¸o do dom\u131´nio da func¸a\u2dco g.
2. Encontre a aproximac¸a\u2dco linear L(x, y) de g no ponto (\u22121, 4).
3. Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n´\u131vel de g que passa pelo ponto (\u22121, 4).
Exerc´\u131cio 31
Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = x3 + (y \u2212 2)3 \u2212 y2.
1. Escreva a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 2).
2. Calcule o valor da aproximac¸a\u2dco linear (Taylor de 1a ordem) de f em torno do ponto (1, 2),
no ponto (1.01, 1.99).
3. Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n´\u131vel \u22123 no ponto (1, 2).
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Exerc´\u131cio 32
Considere a func¸a\u2dco
f(x, y, z) = xy + 2yz2 + 4z3.
1. Encontre a aproximac¸a\u2dco linear de f , L(x, y, z), em torno do ponto (\u22121,\u22122, 1).
2. Usando o item anterior, encontre um valor aproximado para f(\u22120.99,\u22122.02, 1.001).
3. Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente a` superf´\u131cie de n´\u131vel 2 de f no ponto (\u22121,\u22122, 1).
Exerc´\u131cio 33
Considere a func¸a\u2dco
f(x, y) =
[
x2 + (y + 1)2
]2
.
1. Para qual dos vetores da figura a derivada direcional da func¸a\u2dco f(x, y) no ponto (2, 1) e´
maior?
2. Calcule a derivada direcional de f na direc¸a\u2dco do vetor ( 1\u221a
2
, 1\u221a
2
).
3. Qual a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (2, 1)?
P1 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2009.1
Data: 16 de abril de 2009
1. Considere a co\u2c6nica dada pela equac¸a\u2dco
x2 + xy + y2 = 3.
(a) (1.0) Fac¸a uma rotac¸a\u2dco de eixos de forma a eliminar o termo em xy. Qual a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica no novo sistema?
Resp: Fazemos a mudanc¸a de coordenadas \ufffd
x =
\u221a
2
2 (u\u2212 v)
y =
\u221a
2
2 (u+ v)
No novo sistema a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica passa a ser
u2
2
+
v2
6
= 1
(b) (1.0) Quais os para\u2c6metros da co\u2c6nica? Os para\u2c6metros de uma co\u2c6nica sa\u2dco os semi-eixos maior a e menor b no caso
de elipse ou hipe´rbole e dista\u2c6ncia entre foco e diretriz p no caso de para´bola.
Resp: Elipse com a =
\u221a
6 e b =
\u221a
2.
(c) (0.5) Fac¸a um esboc¸o da co\u2c6nica.
2. Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = y2 \u2212 3x.
(a) (1.0) Esboce em um mesmo mapa as curvas de ni´vel 1, 2 e 3 de f .
(b) (1.0) Denote por C a curva de ni´vel 1 de f . Encontre um ponto em C tal que a reta tangente a` C neste ponto fac¸a
um a\u2c6ngulo \u3c04 com o eixo x.
Resp: O gradiente de f e´ normal a´ curva de ni´vel. Portanto (\u22123, 2y) = \u3bb(\u22121, 1). Segue que \u3bb = 3, y = 3/2,
x = 5/12.
(c) (1.0) Descreva uma equac¸a\u2dco parame´trica para a reta tangente a` C no ponto encontrado no item (b).
Resp: O vetor diretor da reta e´ (1, 1). Portanto\ufffd
x(t) = 5/12 + t
y(t) = 3/2 + t
3. Considere a func¸a\u2dco
f(x, y) =
\ufffd
x2 \u2212 (y + 1)2\ufffd \ufffdx2 + (y + 1)2\ufffd .
(a) (1.0) Para qual dos vetores da figura abaixo a derivada direcional da func¸a\u2dco f(x, y) no ponto (2, 1) e´ maior?
2 x
y
1
v6
v1
v2
v3
v4
v5
Resp: \u2207(f)(2, 1) = 32(1,\u22121). Portanto a maior derivada direcional sera´ na direc¸a\u2dco do vetor v6.
Exerc´\u131cio 34
Considere a func¸a\u2dco
g(x, y) =
\u221a
y2 \u2212 4x2.
1. Descreva e fac¸a um esboc¸o do dom\u131´nio da func¸a\u2dco g.
2. Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n´\u131vel de g que passa pelo ponto (1, 3).
3. Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de g no ponto (1, 3,
\u221a
5).
Exerc´\u131cio 35
Considere a superf´\u131cie S descrita pela equac¸a\u2dco
xy + xz2 + 2yz2 + 4z3 = 0.
1. Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente a` S no ponto (\u22121,\u22123, 1).
2. Encontre um ponto P de S de forma que o plano tangente a` S em P seja horizontal.
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Exerc´\u131cio 36
Considere a superf´\u131cie S descrita por
S = {(x, y, z) \u2208 R3| z = x2 + y3}.
1. Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a intersec¸a\u2dco de S com o plano vertical x = 2 de modo
que sua velocidade na direc¸a\u2dco y seja 1. Qual o vetor velocidade desta curva parametrizada
no ponto (2,\u22121, 3)?
2. Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a intersec¸a\u2dco de S com o plano vertical y = \u22121 de modo
que sua velocidade na direc¸a\u2dco x seja 1. Qual o vetor velocidade desta curva parametrizada
no ponto (2,\u22121, 3)?
3. Determine um vetor normal a` S no ponto (2,\u22121, 3).
Exerc´\u131cio 37
Considere a curva parametrizada
\u3b1(t) = (t3 \u2212 t+ 1, t2 \u2212 2t+ 1), t \u2208 R.
1. Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
2. Dada uma func¸a\u2dco f : R2 \u2192 R satisfazendo \u2202f\u2202x (1, 1) = \u22121 e \u2202f\u2202y (1, 1) = 3, calcule ddtf [\u3b1(t)]
em t = 0.
Exerc´\u131cio 38
Considere a curva parametrizada
\u3b1(t) = (cos(t), sin(3t)) , t \u2208 [\u2212pi, pi] .
1. Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
2. Existem 2 retas tangentes a` curva passando pelo ponto
(
1
2 , 0
)
. Encontre equac¸o\u2dces parame´-
tricas para estas retas.
3. Esboce o trac¸o da curva \u3b1.
Exerc´\u131cio 39
Considere a curva parametrizada
\u3b1(t) = (cos(t), sin(3t)) , t \u2208 [\u2212pi, pi] .
1. Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
2. Existem 2 retas tangentes a` curva passando pelo ponto
(
1
2 , 0
)
. Encontre equac¸o\u2dces parame´-
tricas para estas retas.
3. Esboce o trac¸o da curva \u3b1.
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Exerc´\u131cio 40
Considere a curva parametrizada
\u3b3(t) = (4t2 \u2212 2, t
3
3
\u2212 t
4
) t \u2208 [\u22121, 1],
cujo esboc¸o encontra-se na figura abaixo.
1. Em que instantes de tempo a curva cruza o eixo y?
2. Em que posic¸o\u2dces o vetor velocidade e´ horizontal?
3. Qual o a\u2c6ngulo entre os vetores tangentes no ponto de cruzamento (1, 0)?
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