GabaritoP409.1
2 pág.

GabaritoP409.1


DisciplinaCálculo II28.854 materiais771.144 seguidores
Pré-visualização1 página
P4 de Ca´lculo de Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2009.1
Data: 01 de julho de 2009
1. Considere g(x, y) = x5 + 3xy3 + 2x2y2 e (x0, y0) = (\u22121, 1).
(a) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de g no ponto (x0, y0, g(x0, y0)).
Soluc¸a\u2dco: Temos que g(\u22121, 1) = \u22122 e \u2207g(\u22121, 1) = (4,\u22125). A equac¸a\u2dco do plano tangente e´
z = \u22122 + 4(x+ 1)\u2212 5(y \u2212 1).
(b) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n\u131´vel de g que passa por (x0, y0).
Soluc¸a\u2dco: A equac¸a\u2dco da reta tangente e´ obtida da equac¸a\u2dco do plano tangente igualando z a g(\u22121, 1). Temos
4(x+ 1)\u2212 5(y \u2212 1) = 0.
(c) (1.0) Qual a derivada direcional de g em (x0, y0) na direc¸a\u2dco do vetor v = ( 12 ,
\u221a
3
2 )?
Soluc¸a\u2dco: Temos que
\u2202g
\u2202v
(\u22121, 1) = \u2207g(\u22121, 1) · v = (4,\u22125) · (1
2
,
\u221a
3
2
) =
4\u2212 5\u221a3
2
.
.
(d) (1.0) Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a curva intersec¸a\u2dco do gra´fico de g com o plano y \u2212 1 = \u221a3(x+ 1).
Soluc¸a\u2dco: Podemos escolher x(t) = \u22121 + t e enta\u2dco teremos y(t) = \u221a3t + 1 e z(t) = (t \u2212 1)5 + 3(t \u2212 1)(1 +\u221a
3t)3 + 2(t\u2212 1)2(1 +\u221a3t)2.
2. Considere f(x, y) = [x(x\u2212 1)]2 + y2.
(a) (1.0) Encontre os pontos cr\u131´ticos de f .
Soluc¸a\u2dco: Temos que \u2207(f)(x, y) = (2x(x \u2212 1)(2x \u2212 1), 2y). Portanto os pontos cr\u131´ticos sa\u2dco P1 = (0, 0),
P2 = ( 12 , 0) e P3 = (1, 0).
(b) (1.0) Calcule a matriz hessiana em cada um destes pontos cr\u131´ticos.
Soluc¸a\u2dco: Temos que
\u22022f
\u2202x2
= 2(x\u2212 1)(2x\u2212 1) + 2x(2x\u2212 1) + 4x(x\u2212 1); \u2202
2f
\u2202y2
= 2;
\u22022f
\u2202x\u2202y
= 0.
Logo
D2(f)(0, 0) =
\uf8ee\uf8f0 2 0
0 2
\uf8f9\uf8fb ; D2(f)(1
2
, 0) =
\uf8ee\uf8f0 \u22121 0
0 2
\uf8f9\uf8fb ; D2(f)(1, 0) =
\uf8ee\uf8f0 2 0
0 2
\uf8f9\uf8fb .
(c) (1.0) Quais sa\u2dco os ma´ximos e m\u131´nimos locais da func¸a\u2dco? Existem pontos de sela?
Soluc¸a\u2dco: Como os autovalores da hessiana em P1 e P3 sa\u2dco positivos, estes pontos sa\u2dco m\u131´nimos locais. Ja´ a
hessiana em P2 tem um autovalor positivo e outro negativo, portanto P2 e´ ponto de sela.
3. Considere a integral dupla
I =
\u222b \u222b
R
x3 dxdy.
onde R = {(x, y) \u2208 R2| x2 + y2 \u2264 1, x \u2265 0}.
(a) (1.0) Escreva I como integral iterada, integrando primeiro em x e depois em y.
Soluc¸a\u2dco: R e´ um semi disco e \u222b \u222b
R
x3dxdy =
\u222b 1
y=\u22121
\u222b \u221a1\u2212y2
x=0
x3dxdy.
(b) (1.0) Escreva I como integral iterada utilizando coordenadas polares.
Soluc¸a\u2dco:
I =
\u222b pi
2
\u3b8=\u2212pi2
\u222b 1
r=0
r4 cos3(\u3b8)drd\u3b8.
(c) (1.0) Calcule o valor de I.
Soluc¸a\u2dco: Utilizando o item (a),
I =
1
4
\u222b 1
y=\u22121
(1\u2212 y2)2dy = 4
15
.