Calculo Vetorial
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Calculo Vetorial


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, t \u2208 [0, pi/2]
~F (x, y) = y2~i+ (2xy \u2212 ey)~j .
Calcular
\u222b
\u3b3
~F q d~r .
Resoluc¸a\u2dco:
x(1, 0)
y
(0, 1)
-
6
I1o¯ Me´todo:
Pela definic¸a\u2dco:\u222b
\u3b3
~F · d~r =
\u222b pi/2
0
(
sen2t , 2 cos t sen t\u2212 esen t) · (\u2212sen t , cos t)dt = . . .
2o¯ Me´todo:
~F e´ do tipo gradiente ?
Ay = 2y = Bx em qualquer reta\u2c6ngulo.
Portanto e´ gradiente.
Procuremos f tal que \u2207f = ~F , isto e´,
fx(x, y) = y2 (1)
fy(x, y) = 2xy \u2212 ey (2)
Logo f(x, y) = xy2 + \u3c6(y)
22
fy(x, y) = 2xy + \u3c6 \u2032(y)
(2)
=== 2xy \u2212 ey
\u2234 \u3c6 \u2032(y) = \u2212ey \u21d2 \u3c6(y) = \u2212ey
\u2234 f(x, y) = xy2 \u2212 ey
Logo, \u222b
\u3b3
~F q d~r = f(0, 1)\u2212 f(1, 0) = 1\u2212 e
3o¯ Me´todo:
Sabemos que ~F e´ do tipo gradiente em R2. Logo, a integral na\u2dco depende da curva. Vamos
calcular sobre o segmento de (1,0) ate´ (0,1).
Consideremos \u393(t) = (1\u2212 t)~i+ t~j , t \u2208 [0, 1]
Assim:\u222b
\u3b3
~F q d~r=\u222b
\u393
~F q d~r=\u222b 1
0
(t2, 2t(1\u2212 t)\u2212 et) q (\u22121, 1)dt=\u222b 1
0
[\u2212t2+2t(1\u2212t)\u2212et] dt=1\u2212 e
2. Calcular
\u222b
\u3b3
(y + senx)dx + (x + ey)dy onde \u3b3 e´ uma curva suave por partes, de (0, 1) a
(pi, 0).
Resoluc¸a\u2dco:
xpi
1
y
6
-
-
\u2202A
\u2202y
=
\u2202B
\u2202x
em R2
Portanto vale a condic¸a\u2dco do Teorema 10
em qualquer reta\u2c6ngulo < .
Aqui, para encontrarmos a func¸a\u2dco potencial \u2212f vamos utilizar um me´todo alternativo, base-
ado no racioc´\u131nio desenvolvido na demonstrac¸a\u2dco do Teorema 10.
Seja f(x, y) definida em R2 por f(x, y) =
\u222b
\u393
~F q d~r,
\u3931
(x, y)
\u3932
(x, 0)(0, 0)
q
-
6
x
y
-
6
onde \u393 e´ a curva indicada ao lado
Assim:
f(x, y) =
\u222b x
0
sen t dt+
\u222b y
0
(x+ et)dt = xy + ey \u2212 cosx
23
Logo, \u2207f(x, y) = ~F (x, y) = (y + senx, x+ ey) e portanto\u222b
\u3b3
(y + senx)dx+ (x+ ey)dy =
\u222b
\u3b3
\u2207f q d~r = f(pi, 0)\u2212 f(0, 1) = 3\u2212 e
3. Considere ~F (x, y, z) = y2~i+ (2xy+ e3z)~j +3y e3z ~k. Encontre uma func¸a\u2dco f tal que \u2207f = ~F .
Resoluc¸a\u2dco:
Queremos f(x, y, z) tal que:
fx(x, y, z) = y2 (1)
fy(x, y, z) = 2xy + e3z (2)
fz(x, y, z) = 3y e3z (3)
Integrando (1) com respeito a x , obtemos:
f(x, y, z) = xy2 + \u3c6(y, z) (4)
Assim fy(x, y, z) = 2xy + \u3c6y(y, z).
Comparando com (2) obtemos
\u3c6y(y, z) = e3z.
Logo \u3c6(y, z) = y e3z + h(z) .
Reescrevendo (4):
f(x, y, z) = xy2 + y e3z + h(z).
Diferenciando com relac¸a\u2dco a z e comparando com (3) obtemos h\u2032(z) = 0 e assim
h(z) = K.
Logo: f(x, y, z) = xy2 + y e3z +K e´ tal que \u2207f = ~F .
4. Seja ~F um campo de quadrado inverso tal que
~F (x, y, z) =
c
\u2016~r\u20163 ~r , onde
~r = x~i+ y~j + z~k e c e´ uma constante. Sejam P1 e P2 pontos cujas dista\u2c6ncias a` origem sa\u2dco
d1 e d2 , respectivamente.
24
Expresse em termos de d1 e d2 o trabalho realizado por ~F ao longo de uma curva suave por
partes unindo P1 a P2.
Resoluc¸a\u2dco:
~F (x, y, z) =
c
(x2 + y2 + z2)3/2
(x, y, z)
x
y
P2
d2
d1
P1z
z
¼
6
: r
r
Notemos que
\u2016F (x, y, z)\u2016 = |c|
x2 + y2 + z2
, ou seja, ~F e´ do tipo quadrado inverso.
Observemos enta\u2dco que ~F (x, y, z) = \u2207f(x, y, z) onde f(x, y, z) = \u2212c
[x2 + y2 + z2]1/2
.
Assim:
W = f(P2)\u2212 f(P1) = \u2212c
d2
+
c
d1
=
c(d2 \u2212 d1)
d1d2
.
\u2014 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2014
Exerc´\u131cios propostos 1.2
1. Calcular
\u222e
\u3b3
\u2212y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy , onde \u3b3 e´ a fronteira do disco unita´rio, centro em (2, 0).
2. Calcular
\u222b
\u3b3
(3x2y \u2212 senx)dx+ x3dy onde \u3b3 e´ a curva \u3b3(t) = ((1\u2212 pi)t2 + pi , t), t \u2208 [0, 1]
3. Calcular
\u222b
\u3b3
x dy + y dx onde \u3b3 e´ uma curva suave unindo (1,1) a (2,3).
4. Prove: Se ~F e´ um campo vetorial cont´\u131nuo definido numa regia\u2dco \u2126 \u2282 Rn, enta\u2dco sa\u2dco equiva-
lentes:
(a)
\u222b
\u3b3
~F q d~r = 0 para qualquer curva fechada \u3b3 \u2282 \u2126 .
25
(b)
\u222b
\u3b3
~F q d~r e´ independente do caminho suave por partes, \u3b3 , ligando dois pontos
em \u2126 .
5. Calcular o trabalho realizado pelo campo ~F (x, y) = (2 \u2212 5x + y)~i + x~j ao deslocarmos uma
part´\u131cula de massa unita´ria ao longo do tria\u2c6ngulo de ve´rtices (2,2), (3,1) e (3,2), no sentido
anti-hora´rio.
1.3 Teorema de Green
Definic¸a\u2dco 12. Uma regia\u2dco B \u2282 R2 e´ dita uma regia\u2dco simples se toda reta paralela a um dos
eixos coordenados corta a fronteira de B em um segmento ou, no ma´ximo, em dois pontos.
regia\u2dco simples
-
6
regio\u2dces simples
unia\u2dco finita de
6
-
m
-
6
regia\u2dco na\u2dco simples
Teorema 13 (de Green). Seja D regia\u2dco plana limitada, que e´ reunia\u2dco finita de regio\u2dces simples,
cada uma com fronteira constitu´\u131da de uma curva suave por partes. Se A(x, y) e B(x, y) sa\u2dco de
classe C1 num aberto contendo D e a sua fronteira \u3b3 , enta\u2dco:\u222b
\u3b3
A(x, y)dx+B(x, y)dy =
\u222b \u222b
D
[
\u2202B
\u2202x
(x, y)\u2212 \u2202A
\u2202y
(x, y)
]
dx dy
onde \u3b3 e´ percorrida deixando D sempre a` esquerda (dizemos \u3b3-orientada positivamente).
De maneira abreviada: \u222b
\u3b3
Adx+B dy =
\u222b \u222b
D
(
\u2202B
\u2202x
\u2212 \u2202A
\u2202y
)
dx dy
26
\u3b3
\u3b3
D
\u3b3
*°
* *
Prova:
1o¯ Caso:
Suponhamos D-regia\u2dco simples (com o aspecto abaixo, por exemplo)
y
b
a
x
6
x = h2(y)
x = h1(y)
µ
D
6
-
-
O
®
\u222b \u222b
D
\u2202B
\u2202x
(x, y)dx dy =
\u222b b
a
dy
\u222b h2(y)
h1(y)
\u2202B
\u2202x
(x, y)dx =
=
\u222b b
a
[B(h2(y), y)\u2212B(h1(y), y)] dy =
=
\u222b b
a
B(h2(y), y)dy +
\u222b a
b
B(h1(y), y)dy =
\u222b
\u3b3
B(x, y)dy
A u´ltima igualdade ocorre, uma vez que a parte paralela ao eixo x em nada contribui com a
integral.
Analogamente, \u222b
\u3b3
A(x, y)dx = \u2212
\u222b \u222b
D
\u2202A
\u2202y
(x, y)dx dy
A soma destas igualdades fornece a prova deste primeiro caso.
2o¯ Caso:
Suponhamos D = D1 \u222a · · · \u222a Dn reunia\u2dco finita de regio\u2dces simples, cada uma com uma fronteira
constitu´\u131da de uma curva suave por partes \u3b3i , i = 1, . . . , n .
27
Temos ja´ provado: \u222b
\u3b3i
Adx+Bdy =
\u222b \u222b
Di
(
\u2202B
\u2202x
\u2212 \u2202A
\u2202y
)
dx dy
A soma das integrais sobre Di e´ uma integral sobre D . Logo,\u222b \u222b
D
(
\u2202B
\u2202x
\u2212 \u2202A
\u2202y
)
dx dy =
n\u2211
i=1
\u222b
\u3b3i
Adx+Bdy (*)
A fronteira de D e´ constitu´\u131da de partes das curvas \u3b3i .
Podem existir partes das curvas \u3b3i que na\u2dco fazem parte de \u3b3 , como mostra a figura a seguir.
D
x
y
@@R@@I
@
@
@@
?6
6?
\ufb00-
jYµ´
¶³
6
-
Y
:
ª
Estas partes sera\u2dco percorridas duas vezes, uma em cada sentido, em nada contribuindo com o
membro direito de (\u2217).
Logo, \u222b \u222b
D
(
\u2202B
\u2202x
\u2212 \u2202A
\u2202y
)
dx dy =
\u222b
\u3b3
Adx+Bdy
Aplicac¸a\u2dco: A´rea de uma regia\u2dco plana
Tomando-se A \u2261 0 e B(x, y) = x, temos A´rea de D =
\u222b \u222b
D
dx dy =
\u222b
\u3b3
x dy .
Tomando-se A(x, y) = \u2212y e B \u2261 0, temos A´rea de D =
\u222b \u222b
D
dx dy = \u2212
\u222b
\u3b3
y dx
Ainda, somando-se as duas igualdades anteriores temos A´rea de D = 1
2
\u222b
\u3b3
\u2212 y dx+ x dy .
Exerc´\u131cios resolvidos
1. Use o Teorema de Green para calcular
\u222e
\u3b3
(1 + 10xy + y2)dx + (6xy + 5x2)dy, onde \u3b3 e´ o
quadrado de ve´rtices (0, 0), (a, 0), (0, a) e (a, a).
28
Resoluc¸a\u2dco:\u222e
\u3b3
(1 + 10xy + y2)dx+ (6xy + 5x2)dy =
\u222b \u222b
R
[(6y + 10x)\u2212 (10x+ 2y)] dx dy =
=
\u222b \u222b
R
4y dx dy =
=
\u222b a
0
dy
\u222b a
0
4y dx = · · · = 2a3 .
x
y
R
6
-
\ufb00
6
-
?
2. Calcular
\u222b
\u3b3
x2y dx+ y3 dy, onde \u3b3 e´ a curva indicada na figura.
y3 = x2
y = x
x1
1
y
\u3b3
6
-
µ
ª
Resoluc¸a\u2dco:
Seja D a regia\u2dco limitada pela curva.
A(x, y) = x2y ,
\u2202A
\u2202y
(x, y) = x2
B(x, y) = y3 ,
\u2202B
\u2202x
(x, y) = 0
\u222b
\u3b3
x2y dx+ y3dy =
\u222b \u222b
D
\u2212x2dx dy = \u2212
\u222b 1
0
dx
\u222b x2/3
x
x2dy =
= \u2212
\u222b 1
0
(x8/3 \u2212 x3)dx = · · · = \u2212 1
44
.
3. Calcular a a´rea limitada pela el´\u131pse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 .
29
-
6
x
y
r r
b
a
\u3b3
1
Resoluc¸a\u2dco:
Seja \u3b3(t) = (a cos t , b sen t), t \u2208 [0, 2pi]
A´rea =
1
2
\u222b
\u3b3
ª x dy \u2212 y dx = 1
2
\u222b 2pi
0
(a cos t · b cos t+ b sen t · a sen t)dt =
=
1
2
\u222b 2pi
0
ab dt = pi ab
4. D = {(x, y) \u2208 R2 / x2 + y2 \u2264 1}
A(x, y) = A(r), B(x, y) = B(r) ; func¸o\u2dces de classe C1