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# Calculo Vetorial

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```por:
\u2212\u2192
rot ~FP =
(
\u2202A3
\u2202y
(P )\u2212 \u2202A2
\u2202z
(P )
)
~i+
(
\u2202A1
\u2202z
(P )\u2212 \u2202A3
\u2202x
(P )
)
~j +
(
\u2202A2
\u2202x
(P )\u2212 \u2202A1
\u2202y
(P )
)
~k
Pode ser calculado atrave´s do determinante simbo´lico:
\u2212\u2192
rot ~F =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
\u2202
\u2202x
\u2202
\u2202y
\u2202
\u2202z
A1 A2 A3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
No plano: ~F (x, y) = A1(x, y)~i+A2(x, y)~j
\u2212\u2192
rot ~F (x, y) =
[
\u2202A2
\u2202x
(x, y)\u2212 \u2202A1
\u2202y
(x, y)
]
~k
Exerc´\u131cios resolvidos
1. ~F (x, y, z) = \u2212y~i+ x~j
\u2212\u2192
rot ~F =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
\u2202
\u2202x
\u2202
\u2202y
\u2202
\u2202z
\u2212y x 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = 2
~k (rotac¸a\u2dco pura)
2. ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k
\u2212\u2192
rot ~F = 0
Exerc´\u131cios propostos
1. Sejam \u3c6(x, y, z) = x2yz3 e ~F (x, y, z) = xz~i\u2212 y2~j + 2x2y~k
Calcular:
a) ~grad \u3c6 b) div ~F c)
\u2212\u2192
rot ~F d) div (\u3c6 ~F ) e)
\u2212\u2192
rot (\u3c6 ~F )
48
2. Prove que div(
\u2212\u2192
rot ~F ) = 0 , onde ~F = A1~i + A2~j + A3~k , com derivadas parciais segundas
cont´\u131nuas.
3. Prove que
\u2212\u2192
rot ( ~grad f) = 0, onde f \u2208 C2.
\u2014 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2014
Observac¸a\u2dco:
Consideremos o operador \u2207 (nabla) definido por:
\u2207 =~i \u2202
\u2202x
+~j
\u2202
\u2202y
+ ~k
\u2202
\u2202z
.
Enta\u2dco:
\u2202f
\u2202x
+ j
\u2202f
\u2202y
+ k
\u2202f
\u2202z
=
(
~i
\u2202
\u2202x
+~j
\u2202
\u2202y
+ ~k
\u2202
\u2202z
)
f = \u2207f ,
notac¸a\u2dco que ja´ v´\u131nhamos usando para o gradiente.
As notac¸o\u2dces abaixo, encontradas em muitos textos, sa\u2dco sugestivas:
div ~F = \u2207 q ~F
\u2212\u2192
rot ~F = \u2207× ~F .
Com a introduc¸a\u2dco do rotacional, podemos resumir alguns resultados ja´ alcanc¸ados (Teoremas
4, 8 e 11) do seguinte modo:
Seja ~F um campo vetorial de classe C1 num paralelep´\u131pedo < = [a, b]× [c, d]× [e, f ]. As seguintes
afirmac¸o\u2dces sa\u2dco equivalentes:
1. ~F e´ conservativo em <.
2. rot ~F = ~0 em <.
3.
\u222b
\u3b3
~F q d~r = 0 para qualquer curva fechada \u3b3 \u2282 <, suave por partes.
4.
\u222b
\u3b3
~F q d~r e´ independente da curva suave por partes \u3b3 \u2282 < , ligando dois pontos em < .
De fato:
(1) \u21d0\u21d2 (2) - (Teorema 11)
(1)\u21d0\u21d2 (4) - (=\u21d2 Teorema 4); (\u21d0= Teorema 8)
(3) \u21d0\u21d2 (4) - ( Exer´\u131cio 4, pg. 26)
49
1.6 Teoremas: Gauss - Stokes
Suponhamos A, B, \u393, D nas condic¸o\u2dces do teorema de Green (Teo. 13). Enta\u2dco:\u222b
\u3b3
\u222b\u222b
D
(
\u2202A
\u2202x
+
\u2202B
\u2202y
)
dx dy
~\u3b7
~T
\u3b3
p
s
\ufb03
D
?
Colocando
~F (x, y) = \u2212B(x, y)~i+A(x, y)~j
~V (x, y) = A(x, y)~i+B(x, y)~j
a equac¸a\u2dco acima fica: \u222e
\u3b3
~F q d~r = \u222b\u222b
D
div ~V dx dy .
Lembrando que \u222e
\u3b3
~F q d~r = \u222e
\u3b3
~F q ~T ds
(vide observac¸a\u2dco apo´s a interpretac¸a\u2dco da integral de linha como trabalho).
e notando que
~F q ~T = ~V q ~\u3b7 (*)
obtemos \u222e
\u3b3
~V q ~\u3b7 ds = \u222b\u222b
D
div ~V dx dy
Prova de (\u2217):
Seja ~\u3b7 = (a, b) e ~T = (\u2212b, a) ( rotac¸a\u2dco de 900 de ~\u3b7 no sentido anti-hora´rio ).
Temos: ~F = (\u2212B,A) e ~V = (A,B).
Assim: ~F q ~T = Bb+Aa = ~V q ~\u3b7.
O teorema de Green, na formulac¸a\u2dco anterior, admite uma extensa\u2dco.
Teorema 18 (da Diverge\u2c6ncia (ou Teorema de Gauss)). Seja \u2126 um so´lido limitado por uma
superf´\u131cie fechada S , formada por um nu´mero finito de superf´\u131cies suaves e seja ~\u3b7 a normal externa
50
unita´ria. Se as componentes de ~V (x, y, z) tem derivadas parciais cont´\u131nuas num aberto contendo
\u2126 , enta\u2dco: \u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b\u222b
\u2126
div~V dx dy dz
\u2126
x
z
~\u3b7
S
y
~\u3b7
q
W
q 3
¼
6
j
Lembremos, antes de prosseguir, o Teorema do Valor Me´dio do Ca´lculo Integral:
Seja f : [a, b]\u2192 R cont´\u131nua. Enta\u2dco, existe c \u2208 (a, b) tal que
\u222b b
a
f(x)dx = f(c) · (b\u2212 a).
Resultado ana´logo continua va´lido para integrais triplas. Mais especificamente:
g : E \u2192 R cont´\u131nua na esfera E . Enta\u2dco existe P0 no interior de E tal que:\u222b\u222b\u222b
E
g(x, y, z)dx dy dz = g(P0) · vol(E)
Interpretac¸a\u2dco F´\u131sica da Diverge\u2c6ncia
P - ponto arbitra´rio.
B\u3b5 - bola fechada de centro P , raio \u3b5 > 0, imersa em um flu´\u131do.
S\u3b5 - superf´\u131cie de B\u3b5 .
~V (x, y, z) - velocidade do flu´\u131do no ponto (x, y, z), com derivadas parciais cont´\u131nuas.
Pelo teorema da Diverge\u2c6ncia, temos:\u222b\u222b
S\u3b5
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b\u222b
B\u3b5
div ~V dx dy dz (*)
Logo,
\u222b\u222b\u222b
B\u3b5
div ~V dx dy dz = fluxo para fora de S\u3b5 .
Aplicando o Teorema do Valor Me´dio para o segundo membro de (\u2217) , temos:\u222b\u222b
S\u3b5
~V q ~\u3b7 dS = div ~VP\u3b5 · vol(B\u3b5)
51
P
\u3b2\u3b5
P\u3b5
¸
q
q
onde P\u3b5 \u2208 B\u3b5 , ou seja:
div ~VP\u3b5 =
\u222b\u222b
S\u3b5
~V q ~\u3b7 dS
vol (B\u3b5)
Fazendo \u3b5\u2192 0 temos que P\u3b5 \u2192 P e assim
div ~VP = lim
\u3b5\u21920
\u222b\u222b
S\u3b5
~V q ~\u3b7 dS
vol (B\u3b5)
def.
== intensidade do fluxo em P
Assim: div ~VP e´ o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre uma esfera de centro em
P , quando o raio da esfera tende a zero.
Se conhecermos div ~VP e tomamos uma pequena esfera de centro em P , temos:
vol. do flu´\u131do para fora por unidade de tempo
vol. da esfera
' div ~VP
Logo: Se div ~VP > 0 enta\u2dco o flu´\u131do \u201cse afasta\u201d de P , isto e´, P e´ uma fonte. Se div ~VP < 0
enta\u2dco o flu´\u131do \u201cse aproxima\u201d de P , isto e´, P e´ um poc¸o ou sumidouro.
Se div ~VP = 0, \u2200P , dizemos que o flu´\u131do e´ incompress´\u131vel.
div ~V = 0 e´ chamada equac¸a\u2dco de continuidade dos flu´\u131dos incompress´\u131veis.
Observac¸a\u2dco:
Podemos repetir o racioc´\u131nio acima para fluxo magne´tico ou ele´trico.
Exerc´\u131cios resolvidos
1. Comprove o teorema da diverge\u2c6ncia para o caso:
\u2126 - tetraedro limitado pelos planos coordenados e por x+ y + z = 1.
~V (x, y, z) = 3x2~i+ xy~j + z~k
Resoluc¸a\u2dco:
52
div ~V (x, y, z) = 6x+ x+ 1 = 7x+ 1
Consideremos:
y
x
S3
z
S4 : x+ y + z = 1
S2
S1
?
*
µM
z
)
6
\u222b
\u2126
div ~V dx dy dz =
\u222b 1
0
(7x+ 1)dx
\u222b 1\u2212x
0
dy
\u222b 1\u2212x\u2212y
0
dz = · · · = 1
8\u222b\u222b
S1
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b
S1
(3x2~i+ xy~j + 0~k) q (\u2212~k)dS = 0
\u222b\u222b
S2
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b
S2
(0~i+ 0~j + z~k) q (\u2212~i)dS = 0
\u222b\u222b
S3
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b
S3
(3x2~i+ 0~j + z~k) q (\u2212~j)dS = 0
S4 : z = f(x, y) = 1\u2212 x\u2212 y, (x, y) \u2208 S1\u222b\u222b
S4
~V q ~\u3b7 dS Teo.15==== \u222b\u222b
S1
(\u2212v1 · fx \u2212 v2 · fy + v3)dx dy =
=
\u222b 1
0
dx
\u222b 1\u2212x
0
[
3x2 + xy + (1\u2212 x\u2212 y)] dx dy = · · · = 1
8
Logo,\u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b\u222b
\u2126
div ~V dx dy dz
2. Sejam: \u2126 - so´lido limitado por x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3
~V (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k e
Use o teorema da diverge\u2c6ncia para calcular o fluxo
\u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS .
Resoluc¸a\u2dco:
53
z = 3
z = 0
x
y
2
z
ª
-
6
Sem calcular, sabemos que
\u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS > 0. Por que?
Calculando:\u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b\u222b
\u2126
3 dx dy dz = 3.vol(\u2126) = 3.12pi = 36pi
3. Idem ao exerc´\u131cio anterior, com ~V (x, y, z) = \u2212y~i+ x~j.
Resoluc¸a\u2dco:
Sem calcular, sabemos que
\u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS = 0. Por que?
Calculando:\u222b\u222b
S
~V q ~\u3b7 dS = \u222b\u222b\u222b
\u2126
0 dx dy dz = 0
Exerc´\u131cios propostos 1.6 - A
1. Se \u2126 e´ o cubo unita´rio [0, 1]× [0, 1]× [0, 1], calcule o fluxo de ~V (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k para
fora de \u2126 .
2. Calcule o fluxo de ~V = x~i+ 2y2~j + 3z2~k para fora do so´lido \u2126 : x2 + y2 \u2264 9 , 0 \u2264 z \u2264 1.
\u2014 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2014
Voltemos a examinar o Teorema de Green.
Suponhamos A , B , \u3b3 , D nas condic¸o\u2dces do Teorema. Enta\u2dco:\u222b
\u3b3
\u222b\u222b
D
(
\u2202B
\u2202x
\u2212 \u2202A
\u2202y
)
dx dy (\u2217)
54
Lembrando que se ~V (x, y) = A(x, y)~i+B(x, y)~j , enta\u2dco
\u2212\u2192
rot ~V (x, y) =
[
\u2202B
\u2202x
(x, y)\u2212 \u2202A
\u2202y
(x, y)
]
~k ,
podemos reescrever a fo´rmula (*) acima como:
\u222e
\u3b3
~V q d~r = \u222b\u222b
D
(
\u2212\u2192
rot ~V ) q ~k dx dy
O teorema de Green, na formulac¸a\u2dco anterior, admite uma extensa\u2dco.
Teorema 19 (de Stokes). Seja S : z = f(x, y) superf´\u131cie suave que se projeta numa regia\u2dco \u2126 do
plano xy , nas condic¸o\u2dces do Teorema de Green.
~\u3b7 - normal unita´ria superior
\u393 - curva que delimita \u2126 orientada no sentido positivo.
Seja \u3b3 a imagem de \u393 por f , orientada no mesmo sentido de \u393 .
Se as componentes de ~V tem derivadas parciais cont´\u131nuas num aberto contendo S , enta\u2dco:\u222b
\u3b3
~V q d~r = \u222b\u222b
S
(
\u2212\u2192
rot ~V ) q ~\u3b7 dS
z
~\u3b7
S
\u3b3
y
x -```