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P1 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2009.2
Data: 22 de setembro de 2009
Nome: Matr´\u131cula:
Assinatura: Turma:
Questa\u2dco Valor Nota Revisa\u2dco
1 1.5
2 2.5
3 2.0
4 2.0
teste 2.0
Total 10.0
Instruc¸o\u2dces
\u2022 Mantenha seu celular desligado durante toda a prova.
\u2022 Na\u2dco e´ permitido usar nenhum tipo de calculadora.
\u2022 Na\u2dco destaque as folhas da prova.
\u2022 A prova pode ser resolvida a la´pis, caneta azul ou caneta preta.
Na\u2dco use caneta vermelha ou verde. Respostas devem ser dadas a caneta.
\u2022 Voce\u2c6 na\u2dco tem o direito de consultar anotac¸o\u2dces.
\u2022 Todas as respostas devem ser justificadas.
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1. Considere a co\u2c6nica dada pela equac¸a\u2dco
x2 + y2 \u2212 2xy \u2212 x\u2212 y = 0
(a) (0.5) Fac¸a uma rotac¸a\u2dco de eixos de forma a eliminar o termo em xy.
Qual a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica no novo sistema?
(b) (0.5) Quais os para\u2c6metros da co\u2c6nica? Os para\u2c6metros de uma co\u2c6nica
sa\u2dco os semi-eixos maior a e menor b no caso de elipse ou hipe´rbole e
dista\u2c6ncia entre foco e diretriz p no caso de para´bola.
(c) (0.5) Fac¸a um esboc¸o da co\u2c6nica.
2. Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = x3 + (y \u2212 2)3 \u2212 y2.
(a) (1.0) Escreva a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de f no ponto
(1, 2).
(b) (0.5) Calcule o valor da aproximac¸a\u2dco linear de Taylor de em (1, 2)
no ponto (1.01, 1.99).
(c) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva de n´\u131vel \u22123 no
ponto (1, 2).
3. Considere a superf´\u131cie S descrita pela equac¸a\u2dco
xy + xz2 + 2yz2 + 4z3 = 0.
(a) (1.0) Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente a` S no ponto (\u22121,\u22123, 1).
(b) (1.0) Encontre um ponto P de S de forma que o plano tangente a` S
em P seja horizontal.
4. Considere a curva parametrizada \u3b1(t) = (t3 + 1, t2 \u2212 2t+ 1).
(a) (1.0) Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
(b) (1.0) Dada uma func¸a\u2dco f : R2 \u2192 R satisfazendo \u2202f\u2202x (1, 1) = \u22121 e
\u2202f
\u2202y (1, 1) = 3, calcule
d
dt (f(\u3b1(t)) em t = 0.
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