Aula 6 - Função Exponencial

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Função Exponencial
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, trataremos da função exponencial por meio de sua definição e 
seus gráficos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir uma função exponencial.•
Construir gráficos das funções exponenciais.•
Criar modelos usando funções exponenciais.•
DESAFIO
Sofia aplicou o valor de R$1200,00 em renda fixa durante 6 anos em uma instituição bancária a 
uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Considerando que a fórmula dos juros 
compostos é dada por: 
M = C(1 + i)t 
C = capital investido 
M = montante final 
i = taxa unitária 
t = tempo de aplicação
Defina: 
a) O saldo ao final de 12 meses. 
b) O montante final da aplicação.
DICA: Como a taxa é ao mês, lembre de transformar o prazo de anos para meses. Também é 
importante saber que a taxa centesimal de 1,5% é equivalente à taxa unitária de 0,015.
INFOGRÁFICO
As funções exponenciais são usadas para descrever eventos que crescem ou decrescem 
rapidamente. Acompanhe o infográfico para identificar as características dos gráficos da função 
exponencial.
CONTEÚDO DO LIVRO
A equação y = 2x é um exemplo de um grupo especial de funções: as funções 
exponenciais. Acompanhe o capítulo Função Exponencial do livro Fundamentos de 
Matemática. Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa unidade.
Boa leitura
FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA
Rafael Stefani
Função exponencial
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir uma função exponencial.
 � Construir gráficos das funções exponenciais.
 � Aplicar modelos usando funções exponenciais.
Introdução
Neste capítulo você vai aprender sobre as funções exponenciais, estu-
dando suas características, propriedades e representação gráfica. Também 
vai conhecer a ampla aplicação de funções exponenciais em algumas 
das diversas áreas de concentração das ciências.
Função exponencial
Funções exponenciais são aquelas que trazem a variável independente, por 
exemplo x, como um expoente. Tendo como domínio o conjunto dos números 
reais, uma função exponencial genérica pode ser descrita por:
f(x) = ax
em que a > 0, a ≠ 1 e a ∈R.
Foi excluído o caso em que a = 1 uma vez que, nessa hipótese, seja qual 
for o expoente, a função será sempre constante, com f(x) = 1, ∀x.
Você pode conferir alguns exemplos numéricos de funções exponenciais 
a seguir:
f(x) = 5x; f(x) = ; f(x) = 7–x12( )
x
Em uma função exponencial,
f(x) = 8x
a variável independente x indica quantas vezes o número 8 irá se repetir 
em uma multiplicação. Por exemplo, supondo x = 3 para esta mesma função, 
teremos:
f(3) = 83 = 8 × 8 × 8
f(3) = 512
De maneira mais genérica, a expressão anna indica que o número a será 
multiplicado por ele mesmo n vezes:
an = a × a × ... × a com n fatores
Para obter o valor da função em um valor de x específico, basta colocar o 
referido valor no lugar da variável independente. Por exemplo, seja a função:
f(x) = 8x
Se x = 1 → f(x) = f(1) = 81; logo, para x = 1 → f(1) = 8 ou y = 8.
Se x = 5 → f(x)= f(5) = 85; logo, para x = 5 → f(5) = 32.768 ou y = 32.768.
E assim por diante.
Além disso, vamos ver, a seguir, algumas propriedades das funções 
exponenciais.
Propriedades de uma função exponencial
Considerando os números a e b positivos e x e n ∈ R:
axan = a(x+n) – multiplicação de potências de mesma base:
Exemplo:
2325 = 2(3 + 5) = 28
bn
bx = b
(n – x) – divisão de potências de mesma base:
Função exponencial2
Exemplo:
54
52
= 5(4 – 2) = 52
(ab)x = axbx – multiplicação elevada a um expoente:
Exemplo:
(2 × 3)5 = 25 × 35
a
b( )
n an
bn=
 – divisão elevada a um expoente:
Exemplo:
8
3
86
36( )
6
=
(ax)n = axn – potência de potência:
Exemplo:
(73)4 = 73×4 = 712
b–n = = 
1
b( )
n 1
bn – expoentes negativos:
Exemplo:
2–3 = =
1
2( )
3
1
23
ax/n = √bx
n
 – raízes:
Exemplo:
57/4 = √574
3Função exponencial
Inúmeros processos ou acontecimentos do nosso dia a dia podem obedecer a padrões 
com características exponenciais. É muito importante conhecer e aplicar esse tipo de 
função para resolver problemas aplicando esses modelos. Você verá isto com mais 
detalhes em uma das seções a seguir.
Gráficos de funções exponenciais
Para traçar o gráfico de funções exponenciais, como ocorre em qualquer outro 
tipo de função, basta atribuir valores para a variável independente. Ao substituir 
o valor pretendido na função, você poderá calcular o valor correspondente da 
função, naquele ponto.
Outra característica importante das funções exponenciais é o crescimento, 
ou decrescimento de seu gráfico. 
Para a função genérica
f(n) = bn
Se b > 1 esta função é dita crescente. Se 0 < b < 1, a função é decrescente. 
Observe a Figura 1 e entenda um pouco mais este conceito.
Figura 1. Gráficos de funções exponenciais, crescente e decrescente.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 41).
x
y
y = 2x4
–2 –1 1 2
y = 2x é crescente
1
4
y
1
–2 –1 1 2
x
y = é decrescente12( )
x
y = 12( )
x
Função exponencial4
Vamos, agora, construir o gráfico de uma função exponencial. Supondo 
a função f(x) = 2x vamos, inicialmente, construir a tabela de valores que 
relacionará x e sua correspondente f (x), conforme proposto no Quadro 1.
x -2 -1 0 1 2 3
y = f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8
Quadro 1. Tabela de valores para desenhar gráfico de uma função exponencial
Colocando estes pares no plano cartesiano, você pode verificar na Figura 2.
Figura 2. Gráfico da função (x) = 2x.
Fonte: Safier (2011, p. 157).
y
8
6
4
2
x
321–1–2
Caso você se depare com funções do tipo f(x) = (3x + 2)x, o método de resolução deverá 
seguir as regras básicas da matemática: substituir os valores de x, resolver a expressões 
dentro dos parênteses e depois resolver a exponenciação. Assim, f(3) = (3 × 3 + 2)3 = 113.
5Função exponencial
Modelos com funções exponenciais
Criar modelos matemáticos de situações e sistemas diversos pode ser muito útil 
para prever o crescimento ou decrescimento de determinado evento. Funções 
exponenciais têm muitas aplicações nestes modelos matemáticos. 
Segundo Safier (2011) alguns destes modelos já estudados são:
Juros compostos:
Se temos um investimento de P Reais, a uma taxa anual de juros r, sendo 
estes juros creditados na conta do investidor n vezes ao ano; o valor resultante 
(A), gerado em um período t de tempo, é modelo pela função:
( )A(t) = P 1 + rn
nt
Juros compostos contínuos:
Se temos um investimento de P Reais, a uma taxa anual de juros r, sendo 
estes juros creditados na conta do investidor continuamente; o valor resultante 
(A), gerado em um período t de tempo, é modelado pela função:
A(t) = P e r t
Crescimento populacional ilimitado:
Uma população N, com número N0 de indivíduos iniciais, sendo conside-
rada como crescente e sem limites, em qualquer instante t posterior, pode ser 
calculada por (sendo a taxa de crescimento k uma constante a determinar):
N(t) = N0e
kt
Crescimento populacional logístico:
Uma população N, com número N0 de indivíduos iniciais, sendo considerada 
como crescente e com limite de P indivíduos, devido a recursos limitados, 
em qualquer instante t posterior, pode ser calculada por (sendo a taxa de 
crescimento k uma constante a determinar):
N(t) =
N0P
N0 + (P – N0)e
–k t
Função exponencial6
Como exemplo, vamos observar as situações descritas a seguir:
Considere um capital de R$ 9.000,00 aplicado a uma taxa de 15% ao ano, ca-
pitalizados mensalmente, durante seis anos. Ao final do período, considerando 
a aplicação com juros compostos, o valor resultante gerado no período seria:
( )A(t) = P 1 + rn
nt
A(6) = 9.000 1 + = 22.013,280,1512( )
12 × 6
Portanto, ao final de seis anos, o valor resultante será de R$ 22.013,28.
Um pequeno país, em 1970, possuía 200.000 habitantes. Após novo levan-
tamento, 40 anos depois, suapopulação era de 235.000. Qual será a população 
estimada em 2030?
Como não há qualquer restrição ao crescimento populacional deste país, 
vamos utilizar a relação N(t) = N0 e 
kt .Para tanto, precisamos determinar as 
constantes N0 e k.
Assim,
N(0) = N0e
k · 0
200000 = N0
Para definir a constante k:
N(40) = 200.000 ek · 40
235.000 = 200.000 ek · 40
ek · 40 =
235.000
200.000
e40k = 1,175
40k = ln 1,175
40k = 0,1613
k = 0,0040325
7Função exponencial
Logo, no ano de 2030, 60 anos depois da nossa referência, a população será:
N(60) = 200.000e0,0040325×600
N(60) = 254.746,10
A matemática possui uma área de concentração específica de observação e modela-
gem de situação e sistemas. Esta área possui aplicações em diversas ciências, como a 
engenharia, medicina, biologia, educação física. A modelagem matemática é uma área 
sempre muito importante. Outros exemplos do que ela pode estudar são a absorção 
de determinada substância ou medicamento pelo corpo humano, a eficiência no 
trabalho, o crescimento bacteriano, entre outras.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
AYRES, F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
Função exponencial8
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Agora você assistirá um vídeo sobre os principais assuntos da unidade.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Encontre todos os x para que f(x) = 27 na função f(x)=35x.
A) 3/5.
B) -3/5.
C) 3.
D) -3.
E) 15.
2) A solução correta para a equação exponencial é: 23x-1=32
A) -2.
B) 2.
C) 1.
D) -1.
E) 3.
3) A solução correta para a equação exponencial é: 
112x+5 = 1
A) 5.
B) 2/5.
C) -(2/5).
D) 5/2.
E) -(5/2).
4) Analisando os gráficos de funções de crescimento e decaimento exponenciais, pode-se 
afirmar que:
A) Os gráficos nunca interceptam o eixo vertical (eixo y).
B) Os gráficos interceptam os eixos horizontal e vertical.
C) Os gráficos nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x).
D) Os gráficos são retas paralelas ao eixo vertical.
E) Os gráficos são parábolas.
O aparelho de ar-condicionado de um escritório estragou. A função que descreve a 5) 
temperatura ambiente (em graus Celsius) em função de t, o tempo transcorrido em horas, 
desde a quebra do ar-condicionado, é: 
 
Considere que To é a temperatura interna do escritório enquanto a refrigeração 
funcionava, e Text é a temperatura externa (suponha constante). E sabendo que To = 21°C 
e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do escritório transcorridas 4 horas desde a 
quebra do sistema de ar-condicionado.
A) T(4) = 25.
B) T(4) = 2,5.
C) T(4) = 29,1.
D) T(4) = 19.
E) T(4) = 35.
NA PRÁTICA
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Equações Exponenciais
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