CAMADA LIMITE
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CAMADA LIMITE


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Universidade Federal de Uberlândia 
 Faculdade de Engenharia Química 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UMA REVISÃO SOBRE A TEORIA DA CAMADA LIMITE 
HIDRODINÂMICA DESENVOLVIDA PELO ESCOAMENTO 
DE UM FLUIDO NEWTONIANO INCOMPRESSÍVEL 
PARALELAMENTE A UMA PLACA PLANA 
 
A solução de Blasius 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. João Jorge Ribeiro Damasceno 
Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 1
Seja o escoamento isotérmico de um fluido newtoniano incompressível paralelamente a 
uma placa plana, posicionada horizontalmente, de comprimento L e largura W. Utilizando-se 
as equações da continuidade e do movimento é possível obter informações sobre esse 
escoamento, que é o ponto de partida para o estudo da camada limite hidrodinâmica 
desenvolvida sobre a placa. 
 
Define-se como camada limite hidrodinâmica o lugar geométrico do espaço no qual 
ocorrem modificações no vetor velocidade do fluido. Na Figura 1 é apresentada uma vista 
esquemática do escoamento, na qual \u3b4(x) é a espessura da camada limite, x e y são, 
respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical. Deve-se observar que fora da camada 
limite o escoamento é uniforme, pois fluido escoa como se fosse um fluido invíscito 
(viscosidade nula). 
 
 
y 
x 
\u3b4(x) 
v\u221e 
 
Figura 1 \u2013 Vista esquemática do escoamento de um fluido newtoniano paralelamente à placa 
plana. 
 
Para a resolução do problema é necessária a adoção de hipóteses simplificadoras. Sejam 
as seguintes hipóteses 
\u2022 o ângulo de incidência do fluido à placa é nulo; 
\u2022 a largura da placa é muito maior que seu comprimento (W<<L); 
\u2022 o fenômeno é isotérmico e está em regime permanente; 
\u2022 o fluido é newtoniano e incompressível; 
\u2022 a velocidade na direção x fora da camada limite é uniforme e igual a v\u221e; 
 
Percebe-se que se a placa tiver profundidade muito grande vz = 0, o que leva a: 
 
 )y,x(vv e )y,x(vv com vv yyxxyx ==+= yx eev . 
 
A equação da continuidade deve ser utilizada para fornecer informações úteis a respeito 
do perfil de velocidades. 
 
0.
t
=\u3c1\u2207+\u2202
\u2202\u3c1 v . 
 
Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 2
Como o fluido em escoamento é incompressível, a equação da continuidade se resume 
a: 
 
0
z
v
y
v
x
v. zyx =\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\u2207 v , 
 
e, como já dito, vz = 0 tem-se então 
 
0
y
v
x
v yx =\u2202
\u2202+\u2202
\u2202 . (1) 
 
Uma vez que a componente horizontal da velocidade diminui ao longo da coordenada 
horizontal 
 
0
x
vx <\u2202
\u2202 , 
 
é óbvio que 0
y
vy >\u2202
\u2202
, o que indica que ocorre saída de fluido da camada limite. 
 
 
Visto que o fluido é newtoniano e incompressível e o sistema é isotérmico, pode-se 
utilizar a equação de Navier-Stokes para estudar o transporte de quantidade de movimento no 
problema: 
 
gvv \u3c1+\u2207µ+\u2212\u2207=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1\u3c1 2P
Dt
D . 
 
em que P é a pressão estática, µ é a viscosidade dinâmica do fluido e g é o vetor intensidade 
de campo gravitacional. 
 
As três componentes da equação de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas 
retangulares são: 
 
\u2022 componente x 
 
x2
x
2
2
x
2
2
x
2
x
z
x
y
x
x
x g
z
v
y
v
x
v
x
P
z
vv
y
vv
x
vv
t
v \u3c1+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202µ+\u2202
\u2202\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u3c1 , 
 
\u2022 componente y 
 
y2
y
2
2
y
2
2
y
2
z
yz
y
y
y
x
y g
z
v
y
v
x
v
y
P
z
vv
y
v
v
x
v
v
t
v \u3c1+\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202µ+\u2202
\u2202\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u3c1 , 
 
 
 
Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 3
 
\u2022 componente z 
 
z2
z
2
2
z
2
2
z
2
z
z
z
y
z
x
z g
z
v
y
v
x
v
z
P
z
vv
y
vv
x
vv
t
v \u3c1+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202µ+\u2202
\u2202\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u3c1 
 
Aplicando as hipóteses consideradas e definindo a pressão piezométrica como sendo 
\u3be = P + \u3c1gy , obtêm-se os seguintes resultados: 
 
\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202µ+\u2202
\u2202\u3be\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u3c1 2x
2
2
x
2
x
y
x
x y
v
x
v
xy
vv
x
vv , (2) 
 
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202µ+\u2202
\u2202\u3be\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202\u3c1 2y
2
2
y
2
y
y
y
x y
v
x
v
yy
v
v
x
v
v , (3) 
 
0
z
=\u2202
\u2202\u3be . (4) 
 
Considerando agora as seguintes simplificações: 
 
\u2022 devido à pequena espessura da camada limite, 0
y
\u2248\u2202
\u2202\u3be . 
 
\u2022 a parcela difusiva 2x
2
x
v
\u2202
\u2202µ é desprezível face à convectiva 
x
vv xx \u2202
\u2202\u3c1 ; 
 
\u2022 a parcela difusiva 2y
2
y
v
\u2202
\u2202µ é desprezível face à convectiva 
y
v
v yy \u2202
\u2202\u3c1 ; 
 
 obtém-se nas equações (2) e (3) 
 
2
x
2
x
y
x
x y
v
x
1
y
vv
x
vv \u2202
\u2202\u3bd+\u2202
\u2202\u3be
\u3c1\u2212=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202 , (5) 
 
2
y
2
y
y
y
x x
v
y
v
v
x
v
v \u2202
\u2202\u3bd=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
 , (6) 
 
em que \u3bd = µ / \u3c1 é a difusividade de quantidade de movimento ou viscosidade cinemática. 
 
Como, por simplificação, \u3be só varia com x, pode-se calcular tal dependência funcional 
fora da camada limite (y variável) e o resultado será válido para o interior da camada limite. 
Fora da camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis (escoamento invíscito) e pode-se 
utilizar a equação de Bernoulli para fluidos ideais: 
 
Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 4
0dvvgdxdP =++\u3c1 \u221e\u221e , 
 
e tem-se 
 
dx
dv
v
dx
d \u221e
\u221e\u3c1\u2212=\u3be . (7) 
 
Como o ângulo de incidência do fluido à placa é nulo, v\u221e é uma constante e tem-se 0dx
d =\u3be . 
 
Assim, o seguinte sistema de equações diferenciais parciais descreve a camada limite 
hidrodinâmica formada sobre uma placa plana: 
 
2
x
2
x
y
x
x y
v
y
vv
x
vv \u2202
\u2202\u3bd=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202 , (8)
 
2
y
2
y
y
y
x x
v
y
v
v
x
v
v \u2202
\u2202\u3bd=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
 , (9)
 
0
y
v
x
v yx =\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
 . (10) 
 
Admitindo finalmente que a Eq. (9) envolve valores muito menores que os da Eq. (8), 
pode-se desprezá-la na solução do problema. Nessas condições o sistema a ser resolvido será 
 
2
x
2
x
y
x
x y
v
y
v
v
x
v
v \u2202
\u2202\u3bd=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
 , (11)
 
0
y
v
x
v yx =\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
 . (12) 
 
Para que o problema seja matematicamente bem posto são necessárias duas condições 
de contorno de vx em relação à y e uma de vx em relação à x ou vy em relação a y . Isso é 
possível graças à Equação (12), que permite eliminar a condição de contorno em vy com 
relação à y . Assim, podem ser relacionadas as seguintes condições de contorno: 
\u2022 a velocidade do fluido sobre a placa é nula para qualquer posição horizontal, ( ) 00y,xvx == , 
\u2022 a velocidade do fluido fora da camada limite é igual à sua velocidade antes de encontrar 
a placa (v\u221e) , ( ) \u221e=\u221e\u2192 vy,xvx 
\u2022 a velocidade do fluido antes desse sofrer a ação da placa é, para qualquer posição vertical 
igual a v\u221e ( ) \u221e== vy,0xvx ou ( ) 00y,xvy == 
 
Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 5
Blasius resolveu o sistema constituído pelas equações (11) e (12) pelo método da 
similaridade, utilizando o conceito da função corrente, \u3c8, que é definida de tal forma que: 
 
 
x
v , 
y
v yx \u2202
\u2202\u3c8\u2212=\u2202
\u2202\u3c8= , 
 
cuja definição satisfaz automaticamente à equação da continuidade (uma vez que para uma 
função exata a ordem de diferenciação é irrelevante): 
 
0
xyyxxyyxy
v
x
v 22yx =\u2202\u2202
\u3c8\u2202\u2212\u2202\u2202
\u3c8\u2202=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202\u3c8
\u2202
\u2202\u2212\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2202
\u2202\u3c8
\u2202
\u2202=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202 
 
Blasius realizou ainda a seguinte troca de variáveis: 
 
\u2022 variável dependente: ( ) ( )
\u221e\u3bd
\u3c8=\u3b7
xv