Lanna-Cap7
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Lanna-Cap7


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marginalidade que definem o
Cerne serão:
9,8 £ x(A) £ 10 18,8 £ x(A) + x(B) £ 19
9,8 £ x(B) £ 10 18,8 £ x(B) + x(C) £ 19
9,8 £ x(C) £ 10 18,8 £ x(A) + x(C) £ 19
Finalmente, a condição de efetividade será:
x(A) + x(B) + x(C) = 28,8
Como as condições que definem o cerne são idênticas a opção óbvia seria realizar-se um rateio
idêntico do custo do projeto conjunto entre os centros de custo. Isto faria com que x(A) = x(B) = x(C) =
28,8 / 3 = 9,6. Isto violaria porém as condições de racionalidade de aliança e ( em conseqüência, de acordo
com a consideração 2 anterior) as de marginalidade individual. Qualquer outro esquema de rateio violaria as
condições estabelecidas surgindo a situação de cerne vazio.
Neste exemplo qualquer aliança de dois centros de custo acarretará um custo conjunto de 19 que,
sendo rateado igualmente estabelecerá uma alocação de custo individual de 9,5, superior ao projeto conjunto,
sob o ponto de vista destes centros de custo. No entanto, sob o ponto de vista da sociedade como um todo
esta opção é ineficiente economicamente já que o terceiro centro de custo que é alijado do projeto terá que
pagar 10 no projeto individual resultando em um custo final igual a 29, superior aos 28,8 do projeto conjunto.
Esta ineficiência poderá ser tratada de duas maneiras. No primeiro caso o poder público subsidiaria o
projeto conjunto em 0,3 e permitiria que cada centro de custo paga-se 9,5. Este seria um caso em que um
quarto centro de custo seria introduzido no problema de rateio. No outro caso os centros de custo A e B, por
exemplo, formariam uma aliança pagando 9,5 cada e proporiam ao centro de custo C que se juntasse a eles
pagando seu custo incremental de 9,8. Como este custo é menor que o custo alternativo de C, igual a 10, ele
aceitaria.
A interferência exemplificada do poder público poderá ser introduzida na formulação de várias
formas, conduzindo a diversas opções de relaxação a seguir apresentadas.
Cerne mínimo
Nesta abordagem a participação do poder público seria minimizada o suficiente para tornar a aliança
global atrativa. Chamando de z esta participação o problema seria formulado adotando-se unicamente as
condições de racionalidade como é apresentado abaixo:
Min { z } sujeito a:
 n
 å x(i) + z = C(N)
i=1
x(i) £ C(i)
 å x(i) £ C(S)
iÌS
com x(i) e z não negativos.
A. Eduardo Lanna (1999) Gestão das Águas
Capítulo 7 - Instrumentos de Gestão das Águas: Rateio de Custo
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A abordagem do Cerne Mínimo pode ser entendida também sob uma ótica tributária. Suponha que o
poder público em vez de subsidiar o projeto resolva taxar os centros de custo de alianças que resolvam se
separar do projeto conjunto. Sendo esta taxa igual a z a formulação ficará como:
Min { z } sujeito a:
 n
 å x(i) = C(N)
i=1
x(i) £ C(i) + z
å x(i) £ C(S) + z
iÌS
com x(i) e z não negativos.
A lógica do procedimento é a seguinte. Algumas alianças ou centros de custo tem custos tão baixos
que inviabilizam a existência do cerne. A taxa z "relaxa" a restrição correspondente permitindo exatamente no
limite a viabilização do rateio em uma aliança global. Note-se que a taxa somente será aplicada às alianças ou
centros de custo desagregantes já que ela aumenta o valor limite superior da alocação e não a alocação
propriamente dita. Com isto, a taxação irá afetar apenas as alocações presentes em restrições que bloqueiam a
existência do cerne.
Outro enfoque: x(i) - C(i), i-1,...,N e \ufffd x(i) - C(S), i=1,...,S se forem positivos serão as "deseconomias"
impostas a i e S pela tributação, respectivamente. Ao se estipular que as deseconomias serão menores que z
pois outra forma de expressar as inequações é:
x(i) - C(i) £ z e x(S) - C(S) £ z
e, ao mesmo tempo, minimizar z, obtém-se o menor valor de deseconomia (tributo) para obter o cerne
mínimo.
Ambas formulações conduzirão aos mesmos resultados notando-se que no segundo caso os valores
de rateio de alguns centros de custo estarão acrescentados de parcela do valor z.
No exemplo anteriormente apresentado a formulação de subsídios dará como resultado x(A) = x(B)
= x(C) = 9,5 e z = 0,3. Na formulação de tributação o resultado será x(A) = x(B) = x(C) = 9,6 e z = 0,2,
denotando que a restrição relaxada é a de racionalidade de aliança. A taxa será aplicada a todos centros de
custo já que todos tem tendência a desagregação através de uma aliança de dois centros de custo. Ela será igual
a 0,1 sendo sua soma igual ao subsídio calculado pela formulação alternativa.
Cerne Mínimo com proporcionalidade ao número de centros de custo
Na situação anterior a taxa era aplicada a centros de custo ou alianças com tendências desagregantes,
independente do número de centros de custo ou de qualquer outro aspecto. Na abordagem em pauta a taxa
será estabelecida proporcionalmente ao número de centros de custo de cada aliança. O valor de z será
portanto a tributação que incidirá sobre cada centro de custo das alianças desagregadoras. Logo, a formulação
fica como:
Min { z } sujeito a:
 n
 å { x(i) } = C(N)
i=1
x(i) £ C(i) + z
 å { x(i) } £ C(S) + [S] . z
iÌS
com x(i) e z não negativos, sendo [S] o número de centros de custo da aliança S.
Nesse e nos demais casos a seguir apresentados não há equivalente na formulação de subsídios.
Cerne Mínimo com proporcionalidade à economia da aliança
Neste caso, a taxa será proporcional à economia proporcionada pela aliança. Quanto mais atraente ela
for, maior será a taxa. A formulação será:
A. Eduardo Lanna (1999) Gestão das Águas
Capítulo 7 - Instrumentos de Gestão das Águas: Rateio de Custo
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Min { z } sujeito a:
 n
 å { x(i) } = C(N)
i=1
x(i) £ C(i)
 å { x(i) } £ C(S) + [ å { C(i) } - C(S) ] . z
iÌS iÌS
com x(i) e z não negativos.
 O fator de ponderação neste caso, economia da aliança parcial, é dado pela diferença entre a soma
dos custos de cada centro de custo e o custo da aliança destes mesmos centros de custo. No caso de centro de
custo individual (ou seja, em que não há qualquer tipo de aliança) não existe economia e por isto não é
aplicada qualquer taxa. Supõem-se, portanto, que o bloqueio do cerne não ocorra nestes casos.
Cerne Mínimo com proporcionalidade às despesas justificáveis
As abordagens anteriores buscam anular os atrativos de diversas alianças não globais. A idéia do
cerne mínimo proporcional à economia da aliança, por exemplo, é penalizar mais o que for mais atraente
economicamente. A abordagem agora proposta faz que pague mais o centro de custo da aliança que melhor
condições tenha de fazê-lo. Esta condição de pagamento é dada pela despesa justificável, dada pelo menor
valor entre o custo alternativo ou o benefício de cada centro de custo. A formulação fica:
Min { z } sujeito a:
 n
 å { x(i) } = C(N)
i=1
x(i) £ C(i) . ( 1 + z )
 å { x(i) } £ C(S) . ( 1 + z )
iÌS
com x(i) e z não negativos.
Cerne Mínimo com proporcionalidade aos benefícios líquidos
Nesta outra opção possível, a taxa seria proporcional aos benefícios líquidos de cada centro de custo
ou aliança. A formulação seria:
Min { z } sujeito a:
 n
 å { x(i) } = C(N)
i=1
x(i) £ C(i) + [ C(i) - x(i) ] . z
 å { x(i) } £ C(S) + [ C(S)}] - x(i) ] . z
iÌS
com x(i) e z não negativos.
Resumo
Existirão diversas opções para estabelecimento da taxa que retire os atrativos das alianças parciais
desagregantes. Normalmente, a solução obtida com a taxa mínima é única.
Soluções múltiplas
O cerne vazio ocorre como exceção. A regra é a existência de múltiplas soluções para o rateio. O
problema pode ser resolvido pela inserção de um critério de eqüidade ao problema, dentro da ótica
apresentada por Lanna (1989).
Se nas formulações anteriores z pode ser negativo, os problemas de cerne vazio ou de soluções
múltiplas serão resolvidos de uma só vez. No caso de soluções múltiplas z será negativo tendo a forma de um
decréscimo do limite superior do rateio. Minimizar o valor negativo de z é o mesmo que maximizar o menor
decréscimo. Em outras palavras, supõem-se que exista um acordo entre os centros