Lanna-Cap7
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Lanna-Cap7


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do problema
1. Abordagem: por questões de funcionalidade optou-se pela adoção de uma formulação totalmente
desagregada; a alocação do custo de cada barragem aos centros de custo Energia, Controle de Cheias e
Transporte foi considerada de forma explícita.
2. Notação: o custo de cada barragem alocado a cada centro de custo é representado por 8 caracteres. O
primeiro caracter identifica o centro de custo sendo respectivamente E para Energia, C para Controle de
Cheias e T para o transporte. Os demais 2 caracteres identificam o nome da barragem, de acordo com a
seguinte notação:
BARRAGEM NOTAÇÃO
Naque
Descanço
Baguari I
Limeira
Resplendor II
Travessão 6.2
Aimorés II
Linhares
NA
DE
BA
LI
RE
TR
AI
LN
 
3. Definição matemática do cerne: o cerne foi definido pelas seguintes (in)equações:
 
· Condições de efetividade: a soma dos custos alocados a cada barragem deve ser igual ao seu custo total na
alternativa conjunta. Isto é expresso pelas inequações abaixo:
A. Eduardo Lanna (1999) Gestão das Águas
Capítulo 7 - Instrumentos de Gestão das Águas: Rateio de Custo
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1) ENA+TNA= 215,4
2) EDE+CDE= 124,2
3) EBA+TBA= 282,4
4) ELI+CLI= 124,8
5) ERE+TRE= 450,9
6) ETR+CTR= 215,4
7) EAI+TAI= 506,6
8) ELN+TLN= 361,6
· Condições de racionalidade: os custos alocados devem ser inferiores aos custos alternativos de cada
centro de custo. Estes custos foram tomados como aqueles da barragem de uso singular. Isto é
expresso pelas restrições:
10) ENA < 144,9
11) TNA < 104,2
12) EDE < 80,0
13) CDE < 97,7
14) EBA < 200,2
15) TBA < 137,3
16) ELI < 100,1
17) CLI < 67,8
18) ERE < 373,3
19) TRE < 179,7
20) ETR < 153,0
21) CTR < 103,7
22) EAI < 465,2
23) TAI < 199,1
24) ELN < 323,8
25) TLN < 164,4
· Condição de racionalidade de aliança: os custos alocados a cada centro de custo por conta de cada
barragem deveriam ser menores que seu custo total no projeto conjunto.
Verifica-se porém que estas condições são idênticas às de efetividade, apenas com a igualdade
mudada para inequaldade do tipo menor ou igual. Isto é devido a existirem no máximo dois centros de
custo por barragem. Nesta situação a restrição é redundante diante da condição de efetividade e pode ser
omitida.
· Condição de racionalidade alternativa: trata-se de uma restrição própria do problema considerado.
O centro de custo transporte tem como alternativa a construção de uma ferrovia. Logo, a soma
dos custos das barragens alocados ao transporte deve ser inferior ao custo desta ferrovia subtraído de
outros custos necessários à operação da hidrovia e não diretamente atribuíveis às barragens . Existem
ainda algumas dúvidas a respeito deste limite. Sendo assim, ele foi adotado preliminarmente como 1.114
milhões de dólares para efeitos de teste da metodologia, resultando na inequação:
8) TNA+TBA+TRE+TAI+TLN < 1140,0
Critérios de rateio em formulação desagregada.
Na situação em que é necessária a desagregação do rateio haverá possibilidade e, mesmo,
necessidade de adaptação dos critérios previamente apresentados. Não havendo qualquer adaptação os
critérios seriam aplicados sobre os custos totais alocados a um centro de custo, ou seja, sobre a soma das
alocações dos custos de cada componente de um mesmo centro de custo. A desvantagem é que não ficaria
explícito quanto cada centro de custo participaria nos investimentos de uma barragem específica, a não ser
que fosse estabelecido percentual constante para esta participação, igual ao obtido globalmente.
Neste caso não seria assegurado que as condições de racionalidade e de marginalidade seriam
obedecidas em cada barragem. Os rateios deverão ser portanto desagregados tanto para fornecerem a
informação sobre a participação em cada barragem quanto para assegurarem as condições especificadas.
Como antes, existem diversos critérios de rateio que poderão ser implementados, alguns dos quais serão
aqui apresentados e comentados. Eles serão divididos em 2 grupos. O primeiro agrega critérios que se
orientam pelos resultados obtidos em cada barragem. O segundo grupo apresenta os critérios voltados a
A. Eduardo Lanna (1999) Gestão das Águas
Capítulo 7 - Instrumentos de Gestão das Águas: Rateio de Custo
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distribuição dos custos totais alocados aos centros de custo. A integração de ambos critérios será
finalmente realizada, permitindo um controle hierárquico do rateio nos dois níveis.
Critérios orientados pela distribuição dos custos entre barragens
Nesse caso a preocupação se dirige aos custos alocados por barragem, sem consideração aos
valores globais assumidos por centro de custo.
Maximização do menor valor do desconto.
Por este critério busca-se maximizar o menor valor obtido pela diferença entre o custo individual
e o custo alocado considerando todas as barragens e seus centros de custo. A racionalidade do critério está
na suposição que os centros de custo buscarão analisar os descontos obtidos em cada barragem
isoladamente sendo negativamente afetados pelos pequenos descontos. Ele tende a igualar os descontos
obtidos em qualquer barragem na medida em que não haja violação de qualquer restrição.
Para o problema considerado a formulação é:
1) MAX Z sujeito a
2) ENA+TNA= 215,4
3) EDE+CDE= 124,2
4) EBA+TBA= 282,4
5) ELI+CLI= 124,8
6) ERE+TRE= 450,9
7) ETR+CTR= 215,4
8) EAI+TAI= 506,6
9) ELN+TLN= 361,6
10) ENA+Z1= 144,9
11) TNA+Z2= 104,2
12) EDE+Z3= 80,0
13) CDE+Z4= 97,7
14) EBA+Z5= 200,2
15) TBA+Z6= 137,3
16) ELI+Z7= 100,1
17) CLI+Z8= 67,8
18) ERE+Z9= 373,3
19) TRE+Z10= 179,7
20) ETR+Z11= 153,0
21) CTR+Z12= 103,7
22) EAI+Z13= 465,2
23) TAI+Z14= 199,1
24) ELN+Z15= 323,8
25) TLN+Z16= 164,4
26) TNA+TBA+TRE+TAI+TLN < 1140
27) - Z+Z1 > 0
28) - Z+Z2 > 0
29) - Z+Z3 > 0
30) - Z+Z4 > 0
31) - Z+Z5 > 0
32) - Z+Z6 > 0
33) - Z+Z7 > 0
34) - Z+Z8 > 0
35) - Z+Z9 > 0
36) - Z+Z10 > 0
37) - Z+Z11 > 0
38) - Z+Z12 > 0
39) - Z+Z13 > 0
40) - Z+Z14 > 0
41) - Z+Z15 > 0
42) - Z+Z16 > 0
Nesta formulação eliminou-se por simplicidade a alternativa de tratamento de Cerne Vazio. As
variáveis Z*, com * variando entre 1 e 16, definem os descontos obtidos por cada centro de custo em
cada barragem. As restrições 27 a 42 definem a variável Z como o limite inferior dos descontos. Como Z
é maximizado na Função-Objetivo a solução determinará o máximo valor para o menor desconto Z. Esta
solução é obtida na iteração 33 e os resultados indicam que o máximo valor de Z é 16,85 ou seja, este é o
desconto mínimo obtido. Os custos alocados são apresentados na tabela 19. O desconto mínimo é obtido
nas alocações identificadas na tabela 20. Ele atinge todas as alocações ao centro de custo Energia com
exceção de Limeira. O desconto mínimo atinge o centro de custo Controle de Cheias em Limeira e o
Transporte em Naque (Cachoeira Escura).
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Capítulo 7 - Instrumentos de Gestão das Águas: Rateio de Custo
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Tabela 19 - Rateio pelo critério da maximização do menor desconto.
BARRAGEM Centros de custo
ENERGIA TRANSPOR-
TE
CONTROLE
DE CHEIAS
Naque 128,051 87,351 --
Descanço 63,151 -- 61,05
Baguari 183,351 99.05 --
Limeira 73,85 -- 50,951
Resplendor 353,451 94,45 --
Travessão 136,151 -- 79,25
Aimorés 448,351 58,25 --
Linhares 306,951 58,25 --
TOTAL 1.696,30 393,75 191,25
INDIVIDUAL 1,840,50 784,70 269,20
Desconto 144,20 390,95 77,95
1 locais onde ocorrem os menores descontos
Ao pé da tabela 19 são apresentados os custos totais alocados a cada centro de custo, a soma dos
custos caso implantassem as barragens em uma base individual e o desconto total obtido. Nota-se que o
centro de custo Transporte foi privilegiado neste rateio em função de seu maior desconto total.
A falha deste critério é que a solução fica presa aos limites inferiores. O centro de custo
Transporte é grandemente privilegiado neste caso obtendo descontos em Aimorés e Linhares de
respectivamente 140,85 e 109,75. Rateios mais consistentes poderiam ser obtidos nestas barragens mas o
critério simplesmente ignora esta possibilidade.