sel310-A23 Guia met planos paral Sel310 612
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Guia Metálico de 2 Planos Paralelos
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
\ufffd Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
\ufffd Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
\ufffd solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL30/05/2012
Incidência Normal
x
z
y
X
rE
rH
rk \u3c3 \u2192\u221e
z
x
y
E
rE
rHrk \u3c3 \u2192\u221e
30/05/2012 3SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
iE
iH
ik
SK
n
z
iE
iH ik
n
SK
(a) (b)
Polarização Perpendicular Polarização Paralela
Incidência Oblíqua
x
z
y
X
rE
rH r
k
\u3c3 \u2192\u221e
i\u3b8
z
x
y
E
rE
rH
rk
\u3c3 \u2192\u221e
i\u3b8
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4
iE
iH
ik
(a)
i\u3b8
iE
iH
ik
(b)
i\u3b8
Polarização Perpendicular Polarização Paralela
Guiamento
\ufffdFinalidade : Conduzir energia eletromagnética
de um ponto para outro
\ufffdModos de Propagação 
\u2022 Arranjo único de campos elétrico e magnético que
\u2022 Satisfaz todas as equações de Maxwell
\u2022 Satisfaz as condições de contorno impostas pela \u2022 Satisfaz as condições de contorno impostas pela 
geometria da estrutura
\u2022 Os vários modos correspondem às diferentes soluções 
das equações de onda
\ufffdComo obter as soluções 
\u2022 Resolvendo a equação de onda
30/05/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Classificação dos Modos-1
Modo TEM (eletro magnético transversal)
0
z z
E H= =
Componentes de E e H diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
30/05/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modo TE (elétrico transversal)
0 ; 0E Hz z= \u2260
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
Classificação dos Modos-2
Modo TM (magnétrico transversal)
0 ; 0H Ez z= \u2260
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
30/05/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modos Híbridos HE ou EH
0 ; 0H Ez z\u2260 \u2260
Possuem 5 ou 6 componentes de campos
Classificação dos Modos-3
Modo TM (magnétrico transversal)
0 ; 0H Ez z= \u2260
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
30/05/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modos Híbridos HE ou EH
0 ; 0H Ez z\u2260 \u2260
Possuem 5 ou 6 componentes de campos
Forma e Notação dos Campos-1
Suposições 
Guias sem perdas:
Dielétricos ideais (sem perdas)
Metais condutores perfeitos
exp( )j t\u3c9Fator de variação temporal: 
exp( )jk z\u2212Fator de variação espacial: 
30/05/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Os campos são da forma
( ) ( ) ( ), , , ( , ) , zjk zx y zE x y z E x y x E x y y E x y z e
\u2212\uf8ee \uf8f9= + +\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
\u275 \u275 \u275
exp( )
z
jk z\u2212Fator de variação espacial: 
Forma e Notação dos Campos-2
z
H
jk H j E\u3c9 \u3b5
\u2202
+ =
e
z
j jk
t z
\u3c9
\u2202 \u2202
= = \u2212
\u2202 \u2202
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell H j D\u3c9\u2207× =
30/05/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
jk H j E
y
H
jk H j E
x
H H
j E
x y
\u3c9 \u3b5
\u3c9 \u3b5
\u3c9 \u3b5
+ =
\u2202
\u2202
\u2212 \u2212 =
\u2202
\u2202 \u2202
\u2212 =
\u2202 \u2202
Forma e Notação dos Campos-3
e
z
j jk
t z
\u3c9
\u2202 \u2202
= = \u2212
\u2202 \u2202
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell E j B\u3c9\u2207× = \u2212
z
E
jk E j H\u3c9µ
\u2202
+ = \u2212
30/05/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
E
jk E j H
y
E
jk E j H
x
E E
j H
x y
\u3c9µ
\u3c9µ
\u3c9µ
\u2202
+ = \u2212
\u2202
\u2202
\u2212 \u2212 = \u2212
\u2202
\u2202 \u2202
\u2212 =
\u2202 \u2202
Guia metálico e sistema de coordenadas
metal
metal
y
b
\u2192\u221e
30/05/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
Componentes dos Campos (1)
0
z
z y x
H
jk H j E
y
x
\u3c9 \u3b5
\u2202
+ =
\u2202
\u2202
=
\u2202
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 13
z
z x y
z x
z y x
z x y
z
x
z
y
k H E
H
j E
y
H
jk H j E
x
H H
j E
x y
\u3c9 \u3b5
\u3c9
\u3c9 \u3b5
\u3b5 \u3b5\u3c9
\u2202
\u2212 \u2212 = \u2192
\u2202
\u2202 \u2202
\u2212
\u2202
= \u2212
\u2202
== \u2192 \u2212
\u2202 \u2202 \u2202
Componentes dos Campos (2)
0
z
z y x
E
jk E j H
x
\u3c9µ
\u2202
+ = \u2212
\u2202
\u2202
=
\u2202
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 14
z
z x y
z y x
z x y
z x x
zz
jk E j H
y
k
E
jk E j H
x
E
E H
E
j
E
j H
x y
H
y
\u3c9µ
\u3c9\u3c9 µ
\u3c9µ
µ
\u3c9µ
\u2202
\u2212 \u2212 = \u2212 \u2192
\u2202
\u2202 \u2202
\u2212
+
= \u2192
\u2202 \u2202
= \u2212
\u2202
=
\u2202
= \u2212
\u2202
Componentes dos Campos (3)
z
z y
z y
x
z
x
x
H
jk H j E
y
k H E
H
j E
y
\u3c9 \u3b5
\u3c9 \u3b5
\u3c9 \u3b5
\u2202
+ =
\u2202
= \u2212
\u2202
= \u2212
\u2202
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 15
z
z y x
z x y
x
z
E
jk E j H
y
k E H
E
j
y
H
y
\u3c9µ
\u3c9µ
\u3c9µ
\u2202
+ = \u2212
\u2202
=
\u2202
= \u2212
\u2202
\u2202
Componentes dos Campos (4)
z
x
y x
z
k
H E
E
H
y
j
µ
\u3c9
\u3c9
µ
=
\u2202
=
\u2202
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16
z
y x
z
x
k
E H
Hj
E
y
y
\u3c9
\u3c9
\u3b5
\u3c9
µ
\u3b5
=
\u2202
\u2202
= \u2212
\u2202
Equações de onda
 ; z
z
z
x
y
x
x
y
z
H
jk
k Ej
H j E
y
H E H
y\u3c9µ \u3c9µ
\u3c9 \u3b5
\u2202
= =
\u2202
\u2202
+ =
\u2202
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 17
( )
2
2 2
2
, 0
z
y
x
x
x
z y
k E H
y
\u3c9µ \u3c9µ
\u3c9 µ\u3b5
\uf8ee \uf8f9\u2202\uf8ef \uf8fa+ \u2212 =\uf8ef \uf8fa
\u2202
\u2202\uf8f0 \uf8fb
Soluções TE e TM
 ; ; Modos 
 ; ; Modos M
TE
T
x
y
z
z
y
x
H E E
E H H
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18
z
y
x
b
\u2192\u221e
Soluções TE e TM
( )
2
2 2
2
Modos TE 
0
 ;z x
y
z x
x z
k Ej
H E H
y
k E
y
\u3c9 µ\u3b5
\u3c9µ \u3c9µ
\uf8ee \uf8f9\u2202\uf8ef \uf8fa+ \u2212 =\uf8ef \uf8fa\u2202\uf8f0 \uf8fb
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4 \u2202\uf8f4\uf8f4 = =\uf8f4 \u2202\uf8f4\uf8f4\uf8f3
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
( )
2
2 2
2
Modos
 ; 
 T
0
 M
z x
y
z x
x z
y
k H
k Hj
E H E
y
y
\u3c9\u3b5 \u3c9\u3b5
\u3c9 µ
\u3c9µ \u3c9µ
\u3b5
\uf8ee \uf8f9\u2202
\u2202
= \u2212 =
\uf8ef \uf8fa+ \u2212 =\uf8ef
\u2202\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8fa\u2202\uf8f0 \uf8fb
\u2202
Soluções TE-1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, sen cos exp
Condições de contorno
, 0
x
x y y z
E
E y z A k y B k y jk z
y z
\uf8ee \uf8f9= + \u2212\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 20
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0,
, exp
, sen
0
, 0
0
exp
y
x y
x
x z
z
y b
E
E y z B jk z
E y z A k
y z
y jk z
B
=
=
= \u2212 = \u2192
= \u2212
=
=
Soluções TE-2
( ) ( ) ( )
( )
0,
, sen exp
Condições de contorno
, 0
x y
b
x
y
z
E y z A k y jk z
yE z
=
=
=
\u2212
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 21
( ) ( ) ( )
( )
, se
: nº de onda 
n exp
sen 0 , 0,1,2
transversal
y b
x y z
y
y y
E y z A k b jk z
k b m
k
b
m
k
\u3c0
=
= \u2212
= =\u2192 = \u2026
Soluções TE-3
( ) ( ) ( ) 10 V m
 
, sen exp 
x y z
E y z E k y jk z
m
k
\u3c0
\u2212\u2212 \u22c5=
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 22
 
1,2 ( 0 é solução 
: nº de onda transv
triv
ersa
al)
l
i
y
y
m
m
k
b
k
m
\u3c0
=
=
=\u2026
Relação de dispersão
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
1
2
2
0
0
V m, sen exp 
x y z
z x
k E
y
E y z E k y jk z
\u3c9 µ\u3b5
\u2212
\uf8ee \uf8f9\u2202\uf8ef \uf8fa+ \u2212 =\uf8ef \uf8fa\u2202\uf8f0 \uf8fb
\u22c5
\u2202
\u2192 \u2212
= \u2212
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
( )
2
2
2
2 2
2
2
2
0
: r0 elação de dispers oã
z
x
y
y
y z
k
k
y
k k E
kµ
\u3c9 µ
\u3c9 \u3b5
\u3b5
\u2202
\u2192 \u2212
\u2202
\uf8ee \uf8f9\u2212 + \u2212 =
\u2212 \u2212 =
\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Constante de propagação
2 2
2
2
2
1
0
y z
m
kk\u3c9
\u3c0
µ\u3b5
\u2212
\uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec \uf8f7= \u2212
\u2212 \u2212 =
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24
2
2
2
1 m
z
m
k k
b
k \u3c9
\u3c0
µ\u3b5
\u2212
\uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec \uf8f7= \u2212\uf8ec
=
\uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8
Velocidade de fase
1 m s
z
f
v
k
\u3c9 \u2212\u22c5=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 25
( )
2
2
1m 
z
m
k
b
\u3c0
\u3c9 µ\u3b5 \u2212
\uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec \uf8f7= \u2212\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8
Frequência de corte
( )
2
2
1
2 2
Condição de propagação: deve ser nº real e positivo
m
: condição de corte