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P4 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 \u2014 2010.1-gabarito
1. Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = x2 + y2 + 4xy.
(a) (1.0) A curva de n´\u131vel 3 de f e´ uma co\u2c6nica.
Esta co\u2c6nica e´ uma para´bola, elipse ou hipe´rbole?
Quais os para\u2c6metros?
Soluc¸a\u2dco: Fazendo a mudanc¸a de varia´veis
x =
\u221a
2
2
(x\u2212 y)
x =
\u221a
2
2
(x+ y)
obtemos a equac¸a\u2dco
3u3 \u2212 v2 = 3,
que corresponde a uma hipe´rbole com a = 1 e
b =
\u221a
3.
(b) (0.5) Esboce a curva de n´\u131vel 3 de f no plano xy,
indicando os eixos da co\u2c6nica e seus para\u2c6metros.
Soluc¸a\u2dco: Ver figura 1.
(c) (0.5) Esboce, em um mesmo gra´fico, as curvas
de n´\u131vel \u22123 e 0 de f .
Soluc¸a\u2dco: Apo´s a mudanc¸a de coordenadas, temos
a equac¸a\u2dco
3u3 \u2212 v2 = c.
Para c = 0, a curva de n´\u131vel e´ um par de retas
que se cruzam na origem. Para c = \u22123, temos
uma hipe´rbole. (ver figura 2).
1
x
K3 K2 K1
0
1 2 3
y
K3
K2
K1
1
2
3
2. Considere a func¸a\u2dco
f(x, y) = y4 + xy2 \u2212 x\u2212 1
definida em R2 e os pontos P1 = (0, 0) e P2 = (\u22122, 1).
(a) (1.0) Encontre as equac¸o\u2dces dos planos tangentes
ao gra´fico de f nestes pontos.
Soluc¸a\u2dco: Temos que \u2207f = (y2\u2212 1, 4y3 + 2xy) e
portanto \u2207f(P1) = (\u22121, 0), \u2207f(P2) = (0, 0). As
equac¸o\u2dces dos planos tangentes sa\u2dco portanto
z = \u22121\u2212 x
z = 0
(b) (1.0) Encontre as aproximac¸o\u2dces quadra´ticas de
Taylor de f em torno de P1 e de P2.
2
x
K3 K2 K1
0
1 2 3
y
K3
K2
K1
1
2
3
Soluc¸a\u2dco: Temos que
Hf(x, y) =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 2y
2y 12y2 + 2x
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
e portanto
Hf(P1) =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 0
0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb Hf(P2) =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 2
2 8
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Segue que
Q1(x, y) = \u22121\u2212 x
Q2(x, y) = 2(x+ 2)(y \u2212 1) + 4(y \u2212 1)2
(c) (1.0) Algum destes pontos e´ cr´\u131tico? Em caso
3
positivo, indique a natureza do ponto (ma´ximo
local, m\u131´nimo local ou sela).
Soluc¸a\u2dco: Apenas o ponto P2 e´ cr´\u131tico, pois seu
gradiente e´ nulo. Observamos que a matriz hes-
siana em P2 tem determinante negativo e por-
tanto P2 e´ ponto de sela.
3. Considere a func¸a\u2dco f(x, y, z) = x2 \u2212 4x + y2 + z2
definida sobre o elipso´ide so´lido
E = {(x, y, z) \u2208 R3| x
2
9
+
y2
4
+ z2 \u2264 1}.
(a) (0.5) Ache os pontos cr´\u131ticos de f no interior de
E.
Soluc¸a\u2dco: Temos que\u2207f(x, y, z) = (2x\u22124, 2y, 2z)
e portanto o u´nico ponto cr´\u131tico no interior de E
e´ P1 = (2, 0, 0).
(b) (1.0)Ache os candidatos a extremos na superf´\u131cie
do elipso´ide
(fronteira de E).
Soluc¸a\u2dco: Sendo g(x, y, z) = x
2
9 +
y2
4 + z
2, temos
que \u2207g = (2x9 , 2y4 , 2z). A equac¸a\u2dco de lagrange nos
diz enta\u2dco que
9(x\u2212 2) = \u3bbx
4y = \u3bby
z = \u3bbz
Se y 6= 0, temos que \u3bb = 4, z = 0, x = 185 , e
chegamos a um absurdo.
4
Se z 6= 0, temos que \u3bb = 1, y = 0, x = 94 ,
z = ±
\u221a
7
4 . Obtemos enta\u2dco os candidatos P2 =
(94 , 0,
\u221a
7
4 ) e P3 = (
9
4 , 0,\u2212
\u221a
7
4 ).
Se y = z = 0, temos que x = ±3. Temos enta\u2dco
os candidatos P4 = (3, 0, 0) e P5 = (\u22123, 0, 0).
(c) (0.5) Encontre os valores ma´ximo e m\u131´nimo de
f em E.
Soluc¸a\u2dco: Como o dom\u131´nio e´ compacto e f e´
cont´\u131nua, existem ma´ximos e m\u131´nimos globais.
Como os candidatos sa\u2dco P1, P2, P3, P4 e P5, pre-
cisamos apenas avaliar a func¸a\u2dco nestes pontos.
Temos f(P1) = \u22124, f(P2) = f(P3) = \u221272 , f(P4) =
\u22123,f(P5) = 21 e portanto P1 e´ m\u131´nimo global, P5
e´ ma´ximo global.
4. Sendo
R = {(x, y) \u2208 R2| x2 + y2 \u2264 4, 1 \u2264 y \u2264 2},
calcule:
(a) (1.5) A a´rea de R.
Soluc¸a\u2dco: A a´rea da regia\u2dco e´ a a´rea de um setor
circular de a\u2c6ngulo 2pi3 e raio 2, A1 =
2pi4
6 =
4pi
3 ,
menos a a´rea de um tria\u2c6ngulo, A2 =
\u221a
3. Por-
tanto A = A1 \u2212 A2 = 4pi3 \u2212
\u221a
3.
(b) (1.5) A coordenada y do centro´ide de R.
Soluc¸a\u2dco: Integrando f(x, y) = y no setor circu-
lar temos
I1 =
\u222b 5pi
6
\u3b8=pi6
\u222b 2
r=0
r sin(\u3b8) · rdrd\u3b8 = 8
\u221a
3
3
.
5
Integrando no tria\u2c6ngulo temos
I2 =
\u222b 1
y=0
\u222b \u221a3y
x=\u2212\u221a3y
ydxdy =
2
\u221a
3
3
.
Portanto I = I1 \u2212 I2 = 2
\u221a
3. Segue que
z =
6
\u221a
3
4pi \u2212 3\u221a3 .
6